2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型一 第12题二次函数的图象与性质 (含答案)

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天津近10年中考命题规律
近10年考查10次，考查题型有选择题(9次)和填空题(1次)．考查的知识点有：①二次函数的性质(7次)；②二次函数图象与系数a、b、c的关系(5次)；③二次函数图象的平移与对称变换(1次)；④二次函数的解析式的确定(1次)；⑤二次函数与一元二次方程的关系(5次)．
类型一 二次函数的性质
典例精讲
例 1 y＝x2＋(1－a)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时， y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A. a≤－5 B. a＝3
C. a≥3 D. a≥5
【思维教练】要确定a的取值范围，先根据对称轴是否在1≤x≤3内分情况讨论，当对称轴不在1≤x≤3内时，由y轴在x＝1时取得最大值可知对称轴一定在1≤x≤3的右边，解出a的取值范围；当对称轴在1≤x≤3内时，再解出a的取值范围，综合分析即可求得a的取值范围．
针对演练
1. 二次函数y＝eq \f(1,2)(x＋4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( )
A. 向上，直线x＝4，(4，5)
B. 向下，直线x＝－4，(－4，5)
C. 向上，直线x＝4，(4，－5)
D. 向上，直线x＝－4，(－4，5)
2. 在平面直角坐标系中，若点A(a，b)关于x轴对称的点在第三象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当y＞n时，x的取值范围是m－3＜x＜1－m，且该二次函数的图象经过P(3，t2＋10)，Q(d，6t)两点，则d的值可能是( )
A. 0 B. －1
C. －4 D. －9
4. 已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－2a＋9(a 是常数)的图象与x轴没有公共点，且当x＜－2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A. a＞－2 B. a＜4
C. －2≤a＜4 D. －2＜a≤4
5. 已知A、B两点的坐标分别为(3，－4)、(0，－2)，线段AB上有一动点M(m，n)，过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a(x－1)2＋2于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点．若x1A. －4≤a<－eq \f(3,2) B. －4C. －eq \f(3,2)≤a<0 D. －eq \f(3,2)6. 在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，y与x的部分对应值如下表：
有下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点(－1，－2)；④当0＜x＜2时，y＞2.其中，正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. 关于二次函数y＝ax2－4ax－5(a≠0)的三个结论：①图象与y轴的交点为(0，－5)；②对任意实数m，都有x1＝2＋m与x2＝2－m对应的函数值相等；③若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则－eq \f(4,3)＜a≤－1或1≤a＜eq \f(4,3).其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
类型二 二次函数图象的平移与对称变换
典例精讲
例 2 已知抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点A，顶点为M，平移该抛物线，若平移后点A的对应点A′恰好落在x轴的正半轴上，点M的对应点为M′，且MM′＝5，则平移后的抛物线的解析式为( )
A. y＝x2－10x＋24 B. y＝x2＋10x＋24
C. y＝x2＋10x－24 D. y＝x2－10x－24
【思维教练】抛物线的对称变换可看作其顶点的对称变换，要牢记在平移时，二次项系数a不改变，根据MM′的长即可确定抛物线的变换情况，然后设顶点式，代入最终顶点M′的坐标即可求得解析式．
针对演练
1. 将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是( )
A. a＜3 B. a＞3
C. a＜5 D. a＞5
2. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋nx－2关于y轴对称的抛物线的对称轴与该抛物线的对称轴相距8个单位长度，则n的值为 ( )
A. 8 B. －4或8
C. －8或8 D. －8
3. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4x＋2的对称轴为直线x＝2，将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线，则新的抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为 ( )
A. y＝－x2＋2x＋2 B. y＝－x2＋2x－2
C. y＝－x2－2x＋2 D. y＝－x2－2x－2
4. 已知抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点．则k的值是( )
A. －5或2 B. －5
C. 2 D. －2
类型三 二次函数图象与系数a、b、c的关系
典例精讲
例 3 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为A(x1，0)，－20；②8a＋c<0；③5a＋b＋2c>0，其中正确结论的个数是( )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
【思维教练】①要确定bc的正负，已知a的正负，根据对称轴的位置和抛物线与x轴交点A的位置，分别确定b，c的正负即可；②要确定8a＋c的正负，由对称轴可知a与b的数量关系，再利用当x＝－2时，确定4a－2b＋c的正负，结合a与b的数量关系即可求解；③要确定5a＋b＋2c的正负，利用当x＝－1时，确定a－b＋c的正负，再结合a与b的数量关系确定3a＋c的正负，最后再利用a与b的数量关系即可求解．
针对演练
1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的图象如图所示．有下列结论：①b>a；②若－1A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
第1题图
2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，当x ＜－1时，y随着x的增大而减小．有下列结论：①abc>0；②若点A(－3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；③a＋b＞0. 其中正确结论的个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A, B两点，其中点A在点(3, 0)的右侧，直线y＝－eq \f(1,2)x＋c经过A，B两点．有下列结论：①c>eq \f(3,2)；②2a＋2b＋c>0；③－eq \f(1,2)A. ① B. ①②
C. ②③ D. ①②③
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)，顶点在x轴下方，且到x轴的距离大于1.有下列结论：①ac＜0；②b＋c＞0；③a>eq \f(1,4).其中正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)交x轴于A(－2，0)和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC.下列结论：①c＝2b－2；②a＝eq \f(1,2)；③b＝ac＋1；④eq \f(a＋b,c)＜0.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
第5题图
6. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①b＝2a；②4a＋2b＋c＞0；③若n>m>0，则x＝1＋m时的函数值小于x＝1－n时的函数值；④点(－eq \f(c,2a)，0)一定在此抛物线上．其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第6题图
7. 函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(－1，n)，其中n＞0.有下列结论：①a－b＋c＜0；②16a＋c＝4b；③函数y＝ax2＋bx＋c在x＝1和x＝－2处的函数值相等；④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，若－3＜x1＜1＜x2，则y1＞y2.其中，正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
8. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数， a≠0)经过点(2, 0)，且对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③4a＋2b ＋3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(eq \f(c,2a)，0)；⑤4am2 ＋4bm－b≥0.其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
第8题图
类型四 二次函数与一元二次方程的关系
典例精讲
例 4 已知抛物线y＝x2＋bx＋1的对称轴是直线x＝1，且x2＋bx＋1－m＝0(m为实数)在0＜x＜3范围内有实数根，则m的取值范围是( )
A. 0≤m＜1 B. 0＜m≤3
C. 1≤m≤3 D. 0≤m＜4
【思维教练】已知抛物线的对称轴即可求出b的值，进而确定抛物线的解析式，已知方程在x的某一范围内有实数根，要确定m的取值范围，利用二次函数与一元二次方程的关系知，只需确定抛物线在该范围内的函数值的取值范围即可．
针对演练
1. 已知抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋(b＋2)x＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是( )
A. 3≤t＜19 B. 2≤t≤15
C. 6＜t＜11 D. 2≤t＜6
2. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点分别为点A(－1，0)，B，对称轴为直线x＝1，则一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的根为( )
第2题图
A. 1和eq \f(1,3)
B. －1和eq \f(1,3)
C. －1和－eq \f(1,3)
D. 1和－eq \f(1,3)
3. 已知抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax2＋2ax＝m(m＞0)的一个根为－4，而关于x的方程ax2＋2ax＝n(0＜n＜m)有两个整数根，则这两个根的积是( )
A. 0 B. －3
C. －6 D. －8
参考答案
类型一 二次函数的性质
典例精讲
例 1 D 【解析】当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，由y在x＝1时取得最大值可知对称轴一定在1≤x≤3的右边，∴x＝eq \f(a－1,2)≥3，即a≥7；当对称轴在1≤x≤3内时，∵当对称轴在1≤x≤3中点左边时，在x＝3时取得最大值，不符合题意，∴对称轴在1≤x≤3中点的右边，∴x＝eq \f(a－1,2)≥eq \f(1＋3,2)＝2，解得a≥5，综上所述，a的取值范围是a≥5.
针对演练
1. D 【解析】∵在二次函数y＝eq \f(1,2)(x＋4)2＋5中，a＝eq \f(1,2)>0，∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝－4，顶点坐标为(－4，5)．
2. A 【解析】∵点A(a，b)关于x轴对称的点在第三象限，∴点A在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴－eq \f(b,2a)>0，eq \f(4a－b2,4a)＞0，∴抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点在第一象限．
3. D 【解析】由题意可得抛物线开口向下，∴抛物线对称轴为直线x＝eq \f(m－3＋1－m,2)＝－1.∵yP－yQ＝t2＋10－6t＝(t－3)2＋1＞0，∴yP＞yQ，∴3－(－1)＜|d－(－1)|，即d＋1＞4或d＋1＜－4，解得d＞3或d＜－5.
4. C 【解析】∵二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－2a＋9＝(x－a)2－2a＋8，∴二次函数的对称轴为直线x＝a，开口向上，最小值为－2a＋8.∵图象与x轴没有交点，∴－2a＋8＞0，∴a＜4.∵当x＜－2时，y随x的增大而减小，∴a≥－2，则－2≤a＜4.
5. C 【解析】由题意得线段AB(B点除外)位于第四象限，∴过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，∵抛物线y＝a(x－1)2＋2的顶点坐标为(1，2)，此顶点位于第一象限，∴a<0，画出函数图象如解图，结合图象可知，若x1－2，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2≥－4,a＋2>－2))，解得a≥－eq \f(3,2)，又∵a<0，∴－eq \f(3,2)≤a<0.
第5题解图
6. C 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(0，2)，(1，4)和(3，2)，∴代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝2,a＋b＋c＝4,9a＋3b＋c＝2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1,b＝3,c＝2))，∴y＝－x2＋3x＋2，∴抛物线开口向下，①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(3,2)，∴当x>eq \f(3,2)时，y随x的增大而减小，②错误；∵当x＝－1时，y＝－1－3＋2＝－2，③正确；∵(0，2)和(3，2)是关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线开口向下，当02，∴当02.④正确．综上所述，正确结论的个数是3个．
7. D 【解析】将x＝0代入y＝ax2－4ax－5得，y＝－5，∴图象与y轴的交点为(0，－5)，故①正确；抛物线对称轴为－eq \f(b,2a)＝－eq \f(－4a,2a)＝2，∴x1＝2＋m与x2＝2－m对应的函数值相等，故②正确；∵函数图象的对称轴为直线x＝2，∴当3≤x≤4时，对应y的整数值有4个，函数图象单调递增或单调递减．当x＝3时，y＝9a－12a－5＝－3a－5，当x＝4时，y＝－5，当a>0时，－5＞－3a－5，由题意得－9<－3a－5≤－8，解得1≤a类型二 二次函数图象的平移与对称变换
典例精讲
例 2 A 【解析】令x＝0，得y＝－3，则点A(0，－3)，∵点A的对应点A′恰好落在x轴的正半轴上，∴抛物线向上平移了3个单位，且向右平移，∵MM′＝5，∴抛物线向右平移了4个单位，由题可得M(1，－4)，∴M′(5，－1)，∴平移后的抛物线的解析式为y＝(x－5)2－1＝x2－10x＋24.
针对演练
1. C 【解析】∵y＝x2－4x＋a＝(x－2)2－4＋a，∴将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式为y＝(x－2＋1)2－4＋a＋1＝(x－1)2＋a－3.∵直线y＝2与平移后的函数图象有两个交点，∴a－3＜2，∴a＜5，即a的取值范围是a＜5.
2. C 【解析】∵抛物线y＝x2＋nx－2＝(x＋eq \f(n,2))2－eq \f(n2,4)－2，∴与该抛物线关于y轴对称的抛物线为y＝(x－eq \f(n,2))2－eq \f(n2,4)－2，∵两条抛物线的对称轴相距8个单位长度，∴|eq \f(n,2)－(－eq \f(n,2))|＝8，解得n＝8或n＝－8.
3. C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴－eq \f(b,2a)＝－eq \f(－4,2a)＝2，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2.∵抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴新抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3，顶点坐标为(1，－3)，∴顶点关于原点对称的坐标为(－1，3)，将点(－1，3)代入顶点式得y＝－(x＋1)2＋3＝－x2－2x＋2.
4. B 【解析】将抛物线y＝x2＋kx－k2向右平移3个单位，得y＝(x－3)2＋k(x－3)－k2，再向上平移1个单位，得y＝(x－3)2＋k(x－3)－k2＋1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点，∴0＝(0－3)2＋k(0－3)－k2＋1，即k2＋3k－10＝0，解得k＝－5或k＝2，∵抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，∴x＝－eq \f(k,2)＞0，∴k＜0，∴k＝－5.
类型三 二次函数图象与系数a、b、c的关系
典例精讲
例 3 D 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为A(x1，0)，－20，∵a<0，∴b＝－2a>0，∴bc>0，①正确；∵当x＝－2时，y＝4a－2b＋c<0，∴4a＋4a＋c<0，即8a＋c<0，②正确；当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，∵b＝－2a，∴a＋2a＋c>0，∴3a＋c>0，∵c>0，∴5a－2a＋2c>0，∴5a＋b＋2c>0，③正确，综上所述，正确结论的个数是3个．
针对演练
1. D 【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵－eq \f(b,2a)＞0，∴b＞0，∴b＞a，故①正确；设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜x2，若－12. C 【解析】∵ 抛物线经过点(－1，0)和(m，0)，且10.∵y＝a(x＋1)(x－m)＝ax2＋(1－m)ax－am，∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(1－m,2)>0，在y轴的右侧，∴b＝a(1－m)<0，c＝－am<0，∴abc>0，故①正确；∵抛物线经过点(－1，0)和(m，0)，且13－x，－3离对称轴较3离对称轴远，点A(－3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，抛物线开口向上，∴y1>y2，故②错误；∵00，故③正确，综上所述，正确结论的个数是2个．
3. D 【解析】∵直线y＝－eq \f(1,2)x＋c过点A且点A在(3，0)的右侧，∴直线过第一、二、四象限，∴c>0，∴抛物线开口向下．∴a＜0.∵－eq \f(b,2a)＝1，∴b＝－2a＞0.∵直线y＝－eq \f(1,2)x＋c经过点A，点A在点(3，0)的右侧，∴－eq \f(1,2)×3＋c＞0，∴c＞eq \f(3,2)，故①正确；∵a＜0，c＞0，b＝－2a，∴2a＋2b＋c＝2a－4a＋c＝－2a＋c＞0，故②正确；当x＝3时，9a＋3b＋c＞－eq \f(3,2)＋c，∴9a＋3b＞－eq \f(3,2)，∴3a＞－eq \f(3,2)，∴a＞－eq \f(1,2)，∴－eq \f(1,2)＜a＜0，故③正确．
4. B 【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0,25a＋5b＋c＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－6a,c＝5a))，∴y＝ax2－6ax＋5a.∵抛物线与x轴有两个不同交点，且顶点在x轴的下方，∴二次函数图象的开口向上，∴a＞0，c＝5a＞0，∴ac＞0，①错误；∵b＝－6a，c＝5a＞0，∴b＋c＝－a＜0，②错误；∵二次函数图象的对称轴为直线x＝eq \f(1＋5,2)＝3，顶点在x轴下方，且到x轴的距离大于1，∴当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝9a－18a＋5a＝－4a<－1，解得a>eq \f(1,4)，③正确．
5. D 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c中，点C(0，c)(c<0)，∴OB＝OC＝|c|＝－c，∴B(－c，0)，将A(－2，0)，B(－c，0)代入y＝ax2＋bx＋c中得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋c＝0,ac2－bc＋c＝0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋c＝0,b＝ac＋1))，将b＝ac＋1代入4a－2b＋c＝0得4a－2ac－2＋c＝0，即(2a－1)(2－c)＝0，∴a＝eq \f(1,2)或c＝2，∵c<0，∴c＝2不成立，∴a＝eq \f(1,2)，将a＝eq \f(1,2)代入4a－2b＋c＝0中得4×eq \f(1,2)－2b＋c＝2－2b＋c＝0，∴c＝2b－2，①，②，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a>0，c<0.∵对称轴在y轴左侧，∴－eq \f(b,2a)<0，∴b>0，∴a＋b>0，∵c<0，∴eq \f(a＋b,c)<0，④正确，综上所述，正确结论的个数为4个．
6. C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－eq \f(b,2a)＝1，∴b＝－2a，①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点(－2，0)关于直线x＝1的对称点的坐标为(4，0)，∵抛物线开口向下，∴当x＝2时，y>0，∴4a＋2b＋c>0，②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1－n的点的对称点的横坐标为1＋n，∵n>m>0，∴1＋n>1＋m，∴x＝1＋m时的函数值大于x＝1－n时的函数值，③错误；∵b＝－2a，∴抛物线为y＝ax2－2ax＋c，∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，∴4a＋4a＋c＝0，即8a＋c＝0，∴c＝－8a，∴－eq \f(c,2a)＝4，∵点(－2，0)的对称点是(4，0)，∴点(－eq \f(c,2a)，0)一定在此抛物线上，④正确，综上所述，正确结论的个数为2个．
7. B 【解析】根据题意，画出图形如解图，∵函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点坐标为(－1，n)，∴把x＝－1代入得n＝a－b＋c，∵n＞0，∴a－b＋c＞0，故①错误；∵对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0)，∴函数图象与x轴另一个交点坐标为(－4，0)，∴当x＝－4时，y＝0，把x＝－4代入函数得16a－4b＋c＝0，即16a＋c＝4b，故②正确；∵对称轴为直线x＝－1，∴x＝1与x＝－3的函数值相等，故③错误；观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，∵－3＜x1＜1，x2＞1，∴M点距离对称轴的距离小于2，N点距离对称轴的距离大于2，∴y1＞y2，故④正确，综上所述，正确结论的个数为2个．
第7题解图
8. D 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝eq \f(1,2)，∴b＝－a＜0，∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；∵b＝－a，∴a＋b＝0，故②错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(2，0)，∴4a＋2b＋c＝0，∴4a＋2b＋3c＝4a＋2b＋c＋2c＝2c＜0，故③正确；∵b＝－a，∴抛物线为y＝ax2－ax＋c.∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(2，0)，∴4a－2a＋c＝0，即2a＋c＝0，∴c＝－2a，∴eq \f(c,2a)＝－1.∵点(2，0)关于抛物线对称轴对称的点是(－1，0)，∴点(－1，0)在抛物线上，即抛物线一定经过(eq \f(c,2a)，0)，故④正确；由题意知当x＝eq \f(1,2)时，函数有最小值，∴对于任意实数m，都有am2＋bm＋c≥eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b＋c，整理得4am2＋4bm－a－2b≥0，又∵b＝－a，∴4am2＋4bm＋b－2b≥0，即4am2＋4bm－b≥0，故⑤正确，综上所述，正确的结论有4个．
类型四 二次函数与一元二次方程的关系
典例精讲
例 4 D 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2)＝1，解得b＝－2，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1，x2＋bx＋1－m＝0的解即为y＝x2－2x＋1与直线y＝m交点的横坐标，∵x2＋bx＋1－m＝0(m为实数)在0＜x＜3范围内有实数根，∴抛物线y＝x2－2x＋1与直线y＝m在0＜x＜3范围内有交点，∵当0＜x＜3时，抛物线y＝x2－2x＋1的取值范围为0≤y＜4，∴0≤m＜4.
针对演练
1. A 【解析】∵抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，∴－eq \f(b,2)＝1，解得b＝－2，∴关于x的一元二次方程x2＋(b＋2)x＋3－t＝0(t为实数)化为x2＝t－3，关于x的一元二次方程x2＋(b＋2)x＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，即y＝x2与y＝t－3在－12. B 【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴一个交点为(－1，0)，对称轴为直线x＝1，∴－eq \f(b,2a)＝1，∴b＝－2a，二次函数的图象与x轴另一个交点坐标为(3，0)，∴y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，∴c＝－3a，∴cx2＋bx＋a＝－3ax2－2ax＋a＝0，解得x＝－1或x＝eq \f(1,3).
3. B 【解析】抛物线y＝ax2＋2ax的对称轴为直线x＝－eq \f(2a,2a)＝－1，∵抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，∴a＞0，抛物线的开口向上，当y＝0时，ax2＋2ax＝0，解得x1＝0，x2＝－2，即抛物线y＝ax2＋2ax与x轴的交点坐标为(0，0)，(－2，0)，如解图，∵关于x的方程ax2＋2ax＝m(m＞0)的一个根为－4，∴关于x的方程ax2＋2ax＝m(m＞0)的另一个根为2，∵关于x的方程ax2＋2ax＝n(0＜n＜m)有两个整数根，∴关于x的方程ax2＋2ax＝n(0＜n＜m)的两个整数根为x1＝－3，x2＝1，∴这两个根的积是－3.
第3题解图
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
－2
…