2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷附答案

这是一份2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷附答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a2）5＝a7
C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．（3分）一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ）
A．1B．0.8C．0.6D．0.5
5．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m≥4C．m≥﹣4且m≠2D．m≤4且m≠2
6．（3分）已知关于x的分式方程﹣2＝无解（ ）
A．k＝2或k＝﹣1B．k＝﹣2C．k＝2或k＝1D．k＝﹣1
7．（3分）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（ ）
A．4.5B．3.5C．3D．2.5
9．（3分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，垂足为M，AM交BD于点N，BD＝8，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，交CD于点N，连接BD．则下列结论：
①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点；④BN＝BMHD，则S△BND＝S△AHM．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形．
14．（3分）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
15．（3分）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CAD＝ °．
17．（3分）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AD＝1，点P为CD的中点，则BP的最大值是 ．
19．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上 ．
20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…），第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……2024的坐标是 ．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中m＝cs60°．
22．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值，请说明理由．
24．（7分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，结合图解答下列问题：
（1）频数分布表中m＝ ，扇形统计图中n＝ ；
（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在 组别；
（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？
25．（8分）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象
（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）；
（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
26．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，探究线段BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图①，当∠BAC＝90°时，探究如下：
由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，则CN＝BP且∠PBM＝90°，连接PM，可得MP＝MN，在Rt△PBM中2+BP2＝MP2，则有BM2+NC2＝MN2．
（2）当∠BAC＝60°时，如图②：当∠BAC＝120°时，如图③，并选择图②或图③进行证明．
27．（10分）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元
（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
（2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，OA的长度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S．
（1）求点A的坐标；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝6时，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在；若不存在，说明理由．
1．C．
2．B．
3．C．
4．D．
5．D．
6．A．
7．B．
8．A．
9．C．
10．A．
11．1.3908×1012．
12．x≥4．
13．AC＝BD（答案不唯一）．
14．．
15．﹣≤a＜0．
16．65．
17．90．
18．2．
19．、或10．
20．（1，3）．
21．解：原式＝
＝
＝4﹣m，
当m＝cs60°＝时，
原式＝3﹣＝．
22．解：（1）△A1B1C5如图所示，B1的坐标为（2，2）；
（2）△AB2C2如图所示，B8的坐标为（﹣3，0）；
（3）∵AB＝＝，∠BAB2＝90°，
∴点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长为：＝．
23．解：（1）将B（1，0），5）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+7．
（2）令y＝0，则0＝﹣x4﹣2x+3，
解得：x5＝﹣3，x2＝7，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝8，
∵C（0，3），
∴OC＝8，
过点P作PE⊥x轴于点E，
设P（x，﹣x2﹣2x+5），且在第二象限内，
∴OE＝﹣x，AE＝3+x，
∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC
＝AE×PE×OA×OC
＝（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+（3﹣x2﹣4x+3）（﹣x）×3×3
＝（x+）2+
∵＜0，
∴S有最大值，
∴当x＝时，S有最大值，
此时点P的坐标为（，）．
24．解：（1）由题意可得，3÷6%＝50，
m＝50﹣5﹣20﹣14﹣5＝8，
扇形统计图中C组所在的百分比＝＝40%，
∴n＝40，
故答案为：50，40；
（2）被抽取的50名学生立定跳远成绩按从小到大的顺序排列第25个和第26 个的平均数，3+8＜25
被抽取的50名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；
（3）600×＝228（名），
答：估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人．
25．解：（1）甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5＝30（km/h）；乙货车的速度是（225﹣105）×8÷6＝40（km/h）．
故答案为：30，40．
（2）∵3.4+0.5＝7（h），6﹣0.8＝5.5（h），
∴点E（5，105），225）．
设线段对应的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数．
将坐标E（4，105）和F（5.7，
得，
解得，
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x﹣215（4≤x≤5.7）．
（3）线段CM对应的函数表达式为y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），
线段MN对应的函数表达式为y＝105+40（x﹣7）＝40x﹣15（3＜x≤6），
线段OD对应的函数表达式为y＝30x（7≤x≤3.5）．
当2≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，解得x＝；
当3＜x≤3.3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，解得x＝；
当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，80x﹣215＝40x﹣15；
∴出发h或、乙两货车与配货站的距离相等．
26．解：图②的结论是BM2+NC2+BM•NC＝MN8．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN、QM，垂足为H，
∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，
∴△ACN≌△ABQ（SAS），
∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，
又∵∠CAN+∠BAM＝30°，
∴∠BAM+∠QAB＝30°，
即∠QAM＝∠MAN，
又∵AM＝AM，
∴△AQM≌△ANM（SAS），
∴MN＝QM；
∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，
∴∠QBH＝60°，
∴∠BQH＝30°，
∴BH＝BQBQ，
∴HM＝BM+BH＝BM+BQ，
在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM4，即（BQ）7+（BM+BQ）5＝QM2，
整理得BM2+BQ7+BM•BQ＝QM2．
∴BM2+NC4+BM•NC＝MN2．
图③的结论是：BM2+NC3﹣BM•NC＝MN2．
证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN、QM，垂足为H，
∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，
∴△ACN≌△ABQ（SAS），
∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，
又∵∠CAN+∠BAM＝60°，
∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，
又∵AM＝AM，
∴△AQM≌△ANM（SAS），
∴MN＝QM，
在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，
∴BH＝BQBQ，
HM＝BM﹣BH＝BM﹣BQ，
在Rt△QHM中，可得：QH2+HM5＝QM2，即（BQ）2+（BM﹣BQ）2＝QM2，
整理得BM2+BQ2﹣BM•BQ＝QM2．
∴BM5+NC2﹣BM•NC＝MN2．
27．解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元；
（2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买m）个乙种品牌毽子，
根据题意得：，
解得：≤m≤64，
又∵m，（100﹣，
∴m可以为60，62，
∴学校共有3种购买方案，
方案7：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；
方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；
方案5：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子；
（3）学校选择方案1商家可获得的总利润为2×60+4×10＝340（元）；
学校选择方案2商家可获得的总利润为7×62+4×7＝338（元）；
学校选择方案2商家可获得的总利润为5×64+4×3＝336（元）．
∵340＞338＞336，
∴在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，商家获得利润最大．
28．解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，
∵OA的长度是x5﹣5x﹣6＝5的根，
∴OA＝6，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，
过点A作AC⊥x轴，垂足为C，
在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，
∴∠OAC＝30°，
∴OC＝OA＝，
∴AC＝＝＝3，
∴点A的坐标为A（6，3）；
（2）当2＜t≤2时，过P作PD⊥x轴，
∴OP＝2t，OQ＝7t，
∴OD＝t，
∴PD＝＝＝t，
∴S＝OQ•PD＝t＝t3，
当2＜t≤3时，过Q作QE⊥OA，
∵∠A＝60°，
∴∠AQE＝30°，
又AQ＝12﹣4t，
∴AE＝6﹣t，QE＝﹣t，
又OP＝2t，
∴S＝×2t××（6﹣t2+6t；
当3＜t＜3.4时，过O作OF⊥AB，
∴PO＝18﹣（2t+3t）＝18﹣8t，
同理可得，BF＝，
∴OF＝＝3，
∴S＝×2t+27；
综上所述S＝；
（3）当t2＝60时，
解得t＝6，
∴OP＝2×2＝6，
过点P作PG⊥x轴于点G，则OG＝，
∴PG＝＝＝2，
∴点P的坐标为（2，2）；
当OP为边时，将OP沿轴向下平移4个单位得N（6，2，此时M（3，四边形POMN是菱形，2+3），4）；如图，
作点P关于轴的对称点N（﹣2，3），当M（0，5，四边形PMNO是蒌形；
当OP为对角线时，设OP的中点为T，交y轴于点M，使TN＝TM，过点N作NH⊥x轴于点H，
则∠MOT＝∠NOT＝∠HON＝30°，OT＝2，
∴ON＝7TN，
∴ON2＝OT2+TN6，
即ON2＝22+（ON）8，
解得，ON＝，
∴NH＝，OH＝2，
N（2，）；
当﹣t7+6t＝8，
解得t＝2，不符合题意；
当﹣t+27时，
解得t＝2＜3，
不符合题意，此情况不存在；
综上，点N的坐标为N（2），N（2，2，N（﹣2，2），）．组别
分组（cm）
频数
A
50＜x≤100
3
B
100＜x≤150
m
C
150＜x≤200
20
D
200＜x≤250
14
E
250＜x≤300
5