2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数−1+2i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.把2π3弧度化成角度是( )
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘
3.已知向量a=(m,1)，b=(4,−2)，且b=−2a，则m=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
4.已知平面α，β和直线a，b，且α/​/β，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是( )
A. 平行或异面B. 平行C. 异面D. 相交
5.已知csα=−35，且α为第二象限角，则tanα=( )
A. −34B. 34C. −43D. 43
6.已知圆锥的高为8，底面半径为4，其顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )
A. 100πB. 68πC. 52πD. 50π
7.“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高MN，选择公园内某点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M的仰角∠MAN=45∘，C点的仰角∠CAB=30∘以及∠MAC=75∘，从C点测得∠MCA=60∘，已知山高BC=50m，则山高MN=( )m．
A. 50 2B. 50 3C. 75 2D. 75 3
8.已知圆心角为30∘的扇形AOB的半径为1，点C是AB上的一点，点D是线段OA上的一点，点E、F是线段OB上的两点，且四边形CDEF为矩形，则该矩形的最大面积为( )
A. 2− 3B. 2+ 3C. 1− 32D. 1+ 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=1+i，z2=1−i，则下列说法正确的有( )
A. z1=z2
B. |z1|=|z2|
C. z1z2=−i
D. 在复平面内z1，z2对应的点关于虚轴对称
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. A=2
B. ω=2
C. φ=−π6
D. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标向右平移π3个单位(纵坐标不变)得到的函数图象关于y轴对称
11.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(定体积为V).固定容器底面一边BC于地面上，BC=1，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是( )
A. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
B. 没有水的部分始终呈棱柱形
C. 棱A1D1一定与平面EFGH平行
D. 当容器倾斜如图所示时，BE⋅BF=2V(定值)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算(1+i)(2−i)= (其中i为虚数单位)．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点，则直线A1M与CD所成角的余弦值为 ．
14.已知O为△ABC内一点，且4OA+8OB+5OC=0，点M在△OBC内(不含边界)，若AM=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(−2,1)．
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若a+b与a−kb互相垂直，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=3cs(2x+π3).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．
(3)求f(x)的单调递减区间．
17.(本小题15分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．
(1)证明：AC1⊥BD．
(2)求三棱锥A−C1BD的体积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinAcsB+bsinAcsA= 3acsC.
(1)求角C的大小;
(2)若a=3，且AB⋅AC=1，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，已知直线l1/​/l2，A是l1，l2之间的一点，且AE⊥l1于点E，AF⊥l2于点F，AE=m，AF=n (m,n为常数)，点B、C分别为直线l1、l2上的动点，且AB⊥AC，设∠ACF=α．
(1)若α=π3，求△ABC的面积;
(2)当A恰好EF中点时，求△ABC的周长的最小值．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.C
6.A
7.B
8.C
9.AB
10.AC
11.BCD
12.3+i
13. 55
14.(1317,1)
15.解：解：(1)由a=(1,3)，b=(−2,1)，得a⋅b=1×(−2)+3×1=−2+3=1，
|a|= 12+32= 10，b= (−2)2+12= 5，
cs⟨a，b⟩=a|a|||b|=1 10⋅ 5= 210．
(2)若向量a+b与a−kb互相垂直，
则(a+b)⋅(a−kb)=a2−kb2+(1−k)a⋅b=10−5k+1−k=0
解得k=116．
16.解：(1)T=2π2=π，故f(x)的最小正周期为π．
(2)当2x+π3=2kπ，k∈Z时，x=−π6+kπ，k∈Z，cs(2x+π3)=1，得f(x)max=3，即f(x)最大值为3．
(3)由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z得−π6+kπ≤x≤kπ+π3，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是[−π6+kπ,kπ+π3]，k∈Z.
17.(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD⊥AC，
∵C1C⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，∴C1C⊥BD．
又∵C1C∩AC=C，C1C、AC⊂平面ACC1，
∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1，
∴AC1⊥BD．
(2)解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知C1C⊥平面ABD，
∴VA−C1BD=VC1−ABD=13SΔABD⋅CC1=13⋅12⋅AD⋅AB⋅CC1=13×12×2×2×2=43．
18.解：(1)因为asinAcsB+bsinAcsA= 3acsC，
又asinA=bsinB，
所以asinAcsB+asinBcsA= 3acsC，
即sinAcsB+sinBcsA= 3csC，
所以sinC= 3csC，即tanC= 3．
因为0(2)因为BA⋅AC=bccs(π−A)
=−bccsA=−1，即bccsA=1，
因为a2=b2+c2−2bccsA，所以b2+c2=9+2bccsA=11， ①
因为c2=a2+b2−2abcsC，所以b2−c2=3b−9， ②
联立 ① ②可得2b2−3b−2=0，解得b=2(舍值负去)，
故△ABC的面积为12absinC=12×3×2× 32=3 32．
19.解：(1)由题意，易得∠BAE=α=π3，∵AE⊥l1，AF⊥l2，且AE=m，AF=n，
∴AB=mcsπ3=2m，AC=nsinπ3=2 33n，
又∵AB⊥AC，∴SΔABC=12AB⋅AC=12×2m×2 33n=2 33mn；
(2)由题意有m=n>0，AB=msinα，AC=mcsα，BC= m2sin2α+m2cs2α=m 1sin2α+1cs2α=msinαcsα，
所以△ABC的周长f(α)=m(1sinα+1csα+1sinαcsα)=m(sinα+csα+1sinαcsα)，其中α∈(0,π2)，
设t=sinα+csα，则t=sinα+csα= 2sin(α+π4)∈(1, 2]，
所以sinαcsα=t2−12，所以y=m⋅t+1t2−12=2mt−1，t∈(1, 2]，
于是当t= 2时，f(α)min=2m 2−1=2m( 2+1)，
因此，周长的最小值为2m( 2+1)．