专题03 实系数一元二次方程（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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复数是人类理性思维的演绎成果，它的产生首先是因为数学家解决数学自身问题的需要，在很长的一段时间内，人们并不清楚它与现实世界到底有怎样的联系；后来，数学家建立了复数与向量，即复数与几何的关联，在大学学习力学和电磁学时，会看到复数在其中的重要作用，复数在数学及其他科学领域中也越来越体现出它的重要性；现在，复数已经成为数学工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具；
一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
9.1 复数及其四则运算
9.1.1复数的引入与复数的四则运算；9.1.2复数的实部、虚部与共轭；
9.2 复数的几何意义
9.2.1复平面与复数的坐标表示；9.2.2复数的向量表示；9.2.3复数加法的平行四边形法则；9.2.4复数的模
9.3 实系数一元二次方程
9.3.1实数的平方根；9.3.2实数系一元二次方程；
*9.4 复数的三角形式
9.4.1复数的三角形式；
9.4.2三角形式下复数的乘除运算；9.4.3三角形式下复数的乘方与开方
【本章内容提要】
复数是我们继自然数、整数、有理数和实数的学习之后，新认识的一种数.
1、复数系与相关概念
（1）虚数单位，满足.
（2）复数的代数形式：（）.
（3）复数的相等：（）的充要条件是同时为；
复数（）的充要条件是且.
（4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是，虚部是；
虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数.；
（5） 复数的共轭：复数（）的共轭复数是；
（6）复数的模：复数（）的模是；
复数的模有如下性质：对、、，
，；；；（复数的三角不等式）.
2、复数的四则运算
（1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设
；．
（2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设，
.
本质：化简分式.
（3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）：设
；（）.
3、复数的坐标表示
（1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴.
（2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示.
（3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模.
（4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量.
（5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即.
4、实系数一元二次方程
给定方程（，），并令为其判别式，则
（1）当时，方程有两个不相等的实根；
（2）当时，方程有两个相等的实根（二重根）
（3）当时，方程有一对共轭虛根
*5、复数的三角形式
（1）复数的辐角：设复数对应复平面上的点，则以原点为顶点、轴的正半轴为始边、射线为终边的角称为的辐角，记作；满足的辐角称为的辐角主值，记为.
（2）复数的三角形式：设复数的模为，辐角为，则，复数的这种表示形式称为它的三角形式.（3）三角形式下复数的乘法与除法公式：给定三角形式的复数与，则
，（）.
（4）三角形式下复数的乘方与开方公式：给定三角形式的复数，则对任何正整数，有：；
的次方根，；
1、实数的平方根
已知，则在复数集C内；
当时，实数的实平方根为：；
当时，实数的两个共轭纯虚数为：；
2、复数的平方根
同样在复数集C内，如果满足：
则称是的一个平方根；
3、实系数一元二次方程
实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立．
【说明】求解复数集上的方程的方法：
（1）设化归为实数方程来解决（化归思想）；
（2）把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），
用复数的性质来变形（整体思想）；
（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）；
【注意】
（1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅在实数集上有效；
（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；
（3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；（不作要求）
（4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）
①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效；
如：，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用；
4、复数的平方根与立方根
满足条件：的叫做的平方根；
【特殊情况】设，当时，的实平方根；
当时，在复数范围的的平方根有两个：，
并且，它们是共轭的纯虚数；
满足条件：的叫做的立方根；
【特殊情况】解方程： ；
解析：由，
得或，即 或，
所以，的立方根为：或；
【说明】若复数、满足：，则称是的立方根。
同时，通过对以上求解过程的理解与反思；若记：，
则；结合“方程的解”的定义，可得结论：
（1）、，；（2）、，；
题型1、理解复数集C内实数的平方根
例1、（1）在复数范围内，的所有平方根为____________________
【提示】由题意利用虚数单位的运算性质，复数的开方运算，得出结论．
【答案】；
【解析】在复数范围内，，故的所有平方根为；
【说明】本题考查了复数范围虚数单位性质与方程根的定义；
（2）在复数范围内方程的根是
【提示】注意：题设前提与方程根的定义；
【答案】；
【解析】由题意，得，则
【说明】本题考查了在复数范围内求负实数的平方根；【归纳】一般地，负实数的平方根是和；
题型2、在复数集C内求复数的平方根
例2、（1）虚数的平方是（ ）
A．正实数B．虚数
C．负实数D．虚数或负实数
【提示】根据复数的乘法运算以及复数的分类即可判断；
【答案】D
【解析】设，则，
若，则，即负实数；
若，则，即虚数；
故选：D.
（2）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【提示】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论；
【答案】C
【解析】设复数的平方根为，则，
化简，所以，，解得
，或，，即复数的平方根为或，
故选：C
【说明】求复数的平方根主要是利用复数的代数形式与复数相等的交汇；
所以，在复数集C内，如果满足：
则称是的一个平方根；
题型3、对实系数一元二次方程的理解i
例3、（1）对于实系数一元二次方程在复数范围内其解是下列结论中不正确的是（ ）
A．若则
B．若则且
C．一定有
D．一定有
【说明】根据题意，利用一元二次方程求根公式和根与系数的关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可；
【答案】B；
【解析】解:对于A，当则，即A正确，
对于B，当则 ，，
则，且，即B错误，
对于C，由根与系数的关系可得，即C正确，
对于D，，即D正确，
故选B；
【说明】本题考查了一元二次方程求根公式和根与系数的关系，重点考查了运算能力；
（2）2022年1月，中国科学技术大学潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为
【答案】eq \f(－1＋\r(3)i,2) ，eq \f(－1－\r(3)i,2)；
【解析】由x3＝1得x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，即x＝1或x2＋x＋1＝0，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＝0，
即x＋eq \f(1,2)＝±eq \f(\r(3),2)i，解得x＝eq \f(－1＋\r(3)i,2)或eq \f(－1－\r(3)i,2).
【说明】实系数一元二次方程
实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立．
题型4、复数与方程
例4、已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
【解析】（1）把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＋b＝0，,a－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
（2）由（1）知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
【说明】1、对实系数二次方程来说，求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.
2、对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
3、求解复数集上的方程的方法：
（1）设化归为实数方程来解决（化归思想）；
（2）把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），
用复数的性质来变形（整体思想）；
（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）；
题型5、复数的平方根与立方根
例5、（1）解方程： ；
【解析】由，
得或，即 或，
所以，的立方根为：或；
【说明】若复数、满足：，则称是的立方根。
同时，通过对以上求解过程的理解与反思；若记：，
则；结合“方程的解”的定义，可得结论：
（1）、，；（2）、，；
（3）、，；注意巧用以上结论，简化计算。
（2）求的立方根.
【提示】设的立方根是（，），易得，对其展开由复数相等可得出x和y的值，从而求得答案；
【答案】，或
【解析】设的立方根是（，），则，
即，
由②，得或，代入①解得：
或或.
所以的立方根是，或；
【说明】本题考查复数相等，考查复数的运算，侧重考查对基础知识的理解和掌握；
复数的平方根与立方根
满足条件：的叫做的平方根；
【特殊情况】设，当时，的实平方根；
当时，在复数范围的的平方根有两个：，
并且，它们是共轭的纯虚数；
满足条件：的叫做的立方根；
题型6、有关复数实系数一元二次方程的综合题
例6、已知复数，为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【提示】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值；
（2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
题型7、有关复数的创新题
例7、（1）在①，②为纯虚数，③为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
已知复数为虚数单位，若__________，求实数的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.
（2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，求的值.
【提示】（1）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m的值；
（2）将代入方程求得.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】选条件①：因为，又，
所以，，解得.
选条件②：为纯虚数
，解得
选条件③：为非零实数，，解得.
（2）因为为实系数一元二次方程：的一个根，
，即，所以，
解得，；
题型8、误用判别式求复数方程
例8、已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________．
【答案】±2eq \r(2) ；
【解析】设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(xeq \\al(2,0)＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋kx0＋2＝0，,2x0＋k＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\r(2)，,k＝－2\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\r(2)，,k＝2\r(2)，))
所以k的值为－2eq \r(2)或2eq \r(2).
【特别提醒】1、求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2eq \r(3)或k≤－2eq \r(3).需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
2、复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
题型9、与复数相关的综合题
例9、（1）欧拉公式exi＝cs x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的序号是
①复数e2i对应的点位于第三象限
②eeq \f(π,2)i为纯虚数
③复数eq \f(exi,\r(3)＋i)的模长等于eq \f(1,2)
④eeq \f(π,6)i的共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
【答案】②③；
【解析】对于①，e2i＝cs 2＋isin 2，∵2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴cs 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故①错误；
对于②，eeq \f(π,2)i＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)＝i，可得eeq \f(π,2)i为纯虚数，故②正确；
对于③，eq \f(exi,\r(3)＋i)＝eq \f(cs x＋isin x,\r(3)＋i)＝eq \f(（cs x＋isin x）（\r(3)－i）,（\r(3)＋i）（\r(3)－i）)＝eq \f(\r(3)cs x＋sin x,4)＋eq \f(\r(3)sin x－cs x,4)i，
可得其模长为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)cs x＋sin x,4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)sin x－cs x,4)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)，故③正确；
对于④，eeq \f(π,6)i＝cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i，可得eeq \f(π,6)i的共轭复数为eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，故④错误.
（2）已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.
①当x为何值时，复数z的模最小？
②当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值及取得最小值时m，n的值；
【解析】①由题意得|z|＝eq \r((x－2)2＋(x＋2)2)＝eq \r(2x2＋8)≥2eq \r(2)，显然当x＝0时，复数z的模最小，
最小值为2eq \r(2).
②由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2,2)．
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2，即m＋eq \f(n,2)＝1.
又mn>0，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(n,2)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(m,n)＋eq \f(n,2m)≥eq \f(3,2)＋eq \r(2).当且仅当eq \f(m,n)＝eq \f(n,2m)，即n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2且mn>0，所以当eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)取最小值eq \f(3,2)＋eq \r(2)时，m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2.
题型10、与复数相关的新定义题
例10、复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.

（1）设复数，，求、的三角形式；
（2）设复数，，其中，求；
（3）在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
【提示】（1）直接利用复数的乘除法计算即可；
（2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可；
（3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）
,
；
（2）设，的模为，的模为，，
对于有，，
对于有，，
所以，
所以，
，
所以无意义，即的角的终边在轴上，
又，
所以，
即
（3）
如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，
所以，
即，
即
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.

【说明】 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1、复数的平方根是
【提示】设的平方根为，则，化简后根据复数相等列方程组求解即可.
【答案】或
【解析】设的平方根为，则，即，
从而解得或
所以复数的平方根是或，
2、请写出复数的一个平方根 （只需写出其中一个）
【提示】利用待定系数法，结合复数的四则运算及相等性质即可得解.
【答案】（或，答案不唯一）.
【详解】依题意，设复数的平方根为，
则，
所以，解得或，
所以复数的平方根为或，
故答案为：（或，答案不唯一）
3、在复数范围内的平方根是
【答案】
【解析】因为，
复数范围内的平方根为，
故答案为：
4、在复数集内方程x2－ix＋i－1＝0的解为 .
【答案】x1＝1，x2＝－1＋i；
【解析】因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，
所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.
设(m＋ni)2＝3－4i，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－n2＝3，,2mn＝－4，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝1.))
所以3－4i的平方根为±(2－i)，
所以x＝eq \f(－b＋“Δ的平方根”,2a)＝eq \f(i±（2－i）,2×1)，
得x1＝eq \f(i＋2－i,2)＝1，x2＝eq \f(i－2＋i,2)＝－1＋i，
即原方程的根为x1＝1，x2＝－1＋i.
5、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.
【答案】2＋3i；13；
【解析】设方程的另外一根为x，
则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，
a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
6、2022年1月，中国科学技术大学潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为
【答案】eq \f(－1＋\r(3)i,2) ；eq \f(－1－\r(3)i,2)；
【解析】由x3＝1得x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，
即x＝1或x2＋x＋1＝0，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＝0，
即x＋eq \f(1,2)＝±eq \f(\r(3),2)i，
解得x＝eq \f(－1＋\r(3)i,2)或eq \f(－1－\r(3)i,2).
7、已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【提示】利用复数相等可求参数的值.
【答案】D
【解析】因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，
所以，整理得到: 即，
故选：D.
8、在复数范围内方程x2－5|x|＋6＝0的解的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C；
【解析】设x＝a＋bi(a，b∈R)，
那么原方程即为(a＋bi)2－5eq \r(a2＋b2)＋6＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2－5\r(a2＋b2)＋6＝0，,2ab＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝±2，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝±3，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝±1.))
9、已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根．
（1）求实数a，b的值；
（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
【解析】（1）把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得
(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴a＝2，b＝2.
（2）设另一个根为x2，由根与系数的关系，得i－1＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
10、已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．
【解析】（1）∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2－6b＋9＝0，,a＝b.))解得a＝b＝3.
（2）设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3＋3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2eq \r(2)为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，
|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝eq \r(2)，半径r＝2eq \r(2)，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝eq \r(2)；