2023-2024学年初中下学期八年级数学期末模拟卷1- （全解全析）

这是一份2023-2024学年初中下学期八年级数学期末模拟卷1- （全解全析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解】：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．使式子3x+2有意义的实数x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞−23C．x≥−32D．x≥−23
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解】：根据题意，得
3x+2≥0，
解得，x≥−23；
故选：D．
3．技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为S甲2＝12（cm2），S乙2＝a（cm2），检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（ ）
A．10B．13C．14D．16
【分析】根据方差的定义进行判断．
【解】：∵苗高的平均数相同，乙地小麦比甲地小麦长得整齐，
∴S甲2＞S乙2，
即a＜12，选项A符合题意．
故选：A．
4．若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°列出方程，从而解决此题．
【解】：设这个多边形的边数为x．
由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．
∴x＝8．
故选：C．
5．点（2，﹣4）在反比例函数y=kx的图象上，以下结论正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第一、三象限
B．函数图象经过点（﹣1，﹣8）
C．若A（3，h），B（4，k）在图象上，则h＞k
D．若P（m，n）在图象上，则Q（n，m）也在图象上
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．
【解】：A、点（2，﹣4）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝2×（﹣4）＝﹣8，
∴函数图象分别位于第二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
B、将x＝﹣1代入y=−8x，得到y＝8≠﹣8，
∴函数图象不经过点（﹣1，﹣8），故本选项错误，不符合题意；
C、由于函数图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
D、如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
6．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中至少有两个角为直角B．一个三角形中没有一个角为直角
C．一个三角形中至少有两个角为锐角 D．一个三角形中至少有两个角为钝角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解】：反证法证明“一个三角形中最多有一个角为直角”时，应假设一个三角形中至少有两个角为直角，
故选：A．
7．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，连结BF；再分别以B，F为圆心，大于12BF长为半径画弧，两弧交于点G，连结AG并延长交BC于E．则以下结论：
①AE平分∠BAD；②BF平分∠ABC；③BF垂直平分线段AE；④BE＝BF．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】连结EF，由作图得AF＝AB，EF＝EB，可证明AE垂直平分BF，则∠BAE＝∠FAE，可判断①正确；由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA＝∠BAE，所以AB＝EB，则∠ABF＝∠EBF，可判断②正确；由AB＝EB，BF平分∠ABE，根据等腰三角形的“三线合一”得BF垂直平分线段AE，可判断③正确；由AF＝AB，EF＝EB，且AB＝EB，得AF＝AB＝EF＝EB，则四边形ABEF是菱形，若BE＝BF，则BE＝EF＝BF，所以∠BAD＝∠BEF＝60°，与已知条件不符，可判断④不正确，于是得到问题的答案．
【解】：连结EF，由作图得AF＝AB，EF＝EB，∴点A、点E都在BF的垂直平分线上，
∴AE垂直平分BF，∴∠BAE＝∠FAE，∴AE平分∠BAD，故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵BF⊥AE，∴∠ABF＝∠EBF，∴BF平分∠ABC，故②正确；
∵AB＝EB，BF平分∠ABE，∴BF垂直平分线段AE，故③正确；
∵AF＝AB，EF＝EB，且AB＝EB，∴AF＝AB＝EF＝EB，∴四边形ABEF是菱形，
∴∠BAD＝∠BEF，
若BE＝BF，则BE＝EF＝BF，∴∠BAD＝∠BEF＝60°，显然与已知条件不符，故④不正确，
故选：A．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实数根；③当a＞﹣1时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【解】：∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，Δ＝4+4a＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＝﹣a＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x=2±4+4a2=1±1+a，
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
9．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝6，则S1+S3＝（ ）
A．10B．12C．15D．16
【分析】图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝6，则S1+S3＝（ ）由OA：AB：BC＝1：2：3，得S1=k6，S4=26k=13k，S1+S4=12k，所以S2＝S4＝6，S5＝S1=k6，根据13k=6，解得k＝18，即得S5＝3，进而即可求得S1+S3＝k﹣S5＝18﹣3＝15．
【解】：∵OA：AB：BC＝1：2：3，S2＝6，∴S1=k6，S4=26k=13k，S1+S4=12k，
∴S2+S5=12k，∴S2＝S4＝6，S5＝S1=k6，∴13k=6，∴k＝18，∴S5＝S1＝3，∵S1+S5+S3＝k，
∴S1+S3＝k﹣S5＝18﹣3＝15．故选：C．
10．如图，矩形ABCD中，AB＞BC，E为AD上一点（不含点A），O为BD的中点，连接EO并延长，交BC于点F，点G为DC上一点，DG＝AE，连接EG，FG，甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．甲：存在点E，使EG⊥FG；乙：△EFG的面积存在最小值．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
【分析】假设存在点E，使EG⊥FG，如图，连接AC，先证明△AEO≌△CFO，得出AE＝CF，进而得出DG＝CF，再证明△DEG≌△CGF，得出DE＝CG，进而得出AD＝DC，这与已知AB＞BC相矛盾，即可得出不存在点E，使EG⊥FG，即甲的结论不正确；设AB＝CD＝4，BC＝AD＝3，AE＝DG＝x，则CF＝AE＝x，BF＝BC﹣CF＝3﹣x，CG＝CD﹣DG＝4﹣x，ED＝AD﹣AE＝3﹣x，进而得出S△EFG=x2−72x+6=(x−74)2+4716，得出当x=74时，S△EFG有最小值，即乙的结论正确；即可得出答案．
【解】：假设存在点E，使EG⊥FG，如图，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，且O是BD的中点，
∴AD∥BC，A，O，C三点共线，且O是AC的中点，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO，∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，∵AE＝DG，∴DG＝CF，∵EG⊥FG，∴∠EGD+∠FGC＝90°，
∵∠ADC＝90°，∴∠DEG+∠EGD＝90°，∴∠DEG＝∠CGF，
在△DEG和△CGF中，∠DEG=∠CGF∠EDC=∠GCF=90°DG=CF，∴△DEG≌△CGF（AAS），
∴DE＝CG，∵AE＝DG，∴AE+DE＝DG+CG，即AD＝DC，∵AB＞BC，∴CD＞AD，
∴不存在点E，使EG⊥FG，即甲的结论不正确；
设AB＝CD＝4，BC＝AD＝3，AE＝DG＝x，则CF＝AE＝x，BF＝BC﹣CF＝3﹣x，CG＝CD﹣DG＝4﹣x，ED＝AD﹣AE＝3﹣x，
∴S△EFG＝S矩形ABCD﹣S梯形AEFB﹣S△GCF﹣SEDG＝AB•BC−12（AE+BF）•AB−12GC•CF−12ED•DG
＝4×3−12（x+3﹣x）×4−12（4﹣x）•x−12（3﹣x）•x=x2−72x+6 =(x−74)2+4716，
∴当x=74时，S△EFG有最小值，即乙的结论正确；故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．用一个x的值说明“x2=x”是错误的，则x的值可以是 ﹣2（答案不唯一） ．
【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
【解】：∵“x2=x”是错误的，
∴x的值可以是﹣2（答案不唯一）．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
12．若关于x的方程x2﹣mx＝0的一个根是1，则m＝ 1 ．
【分析】由关于x的方程x2﹣mx＝0的一个根是1，得出将x＝1代入方程x2﹣mx＝0求出即可．
【解】：∵关于x的方程x2﹣mx＝0的一个根是1，代入方程x2﹣mx＝0得：
∴1﹣m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
13．已知反比例函数y=5x与一次函数y＝﹣x+6的图象交于点（a，b）．则1a+1b的值为 65 ．
【分析】把图象的交点（a，b）分别代入反比例函数y=5x与一次函数y＝﹣x+6，得到a和b的两个关系式，就可以求出答案．
【解】：把（a，b）分别代入反比例函数y=5x与一次函数y＝﹣x+6，得
ab＝5，a+b＝6，
∴1a+1b=a+bab=65．
故答案为：65．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于 A（1，y1）B（﹣3，y2）．请根据图象写出不等式x＞kx−b的解集 ﹣3＜x＜0和x＞1 ．
【分析】从函数图象看，当﹣3＜x＜0和x＞1时，一次函数y＝x+b的图象在反比例函数y=kx(k≠0)的图象的上方，从而求解．
【解】：从函数图象看，当﹣3＜x＜0和x＞1时，一次函数y＝x+b的图象在反比例函数y=kx(k≠0)的图象的上方，
故不等式x＞kx−b的解集为﹣3＜x＜0和x＞1．
故答案为：﹣3＜x＜0和x＞1．
15．如图是一张矩形纸片ABCD，点E在边BC上，且满足AB＝2BE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，EF的延长线与边CD交于点G．若CG＝DG，则CEBE= 34 ．
【分析】根据矩形的性质和翻折的性质证明HA＝HE，延长AD，EG交于点H，再证明△DHG≌△CEG（AAS），得HG＝EG，DH＝EC，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解】：在矩形ABCD中，CD＝AB＝2BE，AD∥BC，∴∠AEB＝∠HAE，由翻折可知：∠AEF＝∠AEB，
∴∠AEF＝∠HAE，∴HA＝HE，∵DG＝CG，∴CD＝2CG，设BE＝x，∴DG＝CG＝BE＝x，
∴CD＝AB＝2BE＝2x，如图，延长AD，EG交于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠HDG＝∠C＝90°，∠DHG＝∠CEG，在△DHG和△CEG中，∠HDG=∠C=90°∠DHG=∠CEGDG=CG，
∴△DHG≌△CEG（AAS），∴HG＝EG，DH＝EC，∴EH＝2EG，设EC＝a，∴DH＝EC＝a，
∴AD＝BC＝BE+EC＝x+a，∴EH＝AH＝AD+DH＝x+a+a＝x+2a，
∴EG=12EH=12x+a，
在Rt△EGC中，根据勾股定理得：EG2＝CG2+EC2，
∴（12x+a）2＝x2+a2，整理得34x2﹣ax＝0，∴a=34x，x＝0舍去，∴CE=34x，
∴CEBE=34xx=34．故答案为：34．
16．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上．若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则AF＝ 74 ．
【分析】连接DG，BD，根据等腰三角形的三线合一可知DG⊥BC，再利用翻折变化的性质AF＝GF，利用勾股定理解直角三角形DGC求GF长；过E作EH⊥CB于H，过A作AP⊥CB于P，连接AG交EF于Q，依据勾股定理即可得到AG的长，GQ，FQ的长，进而得到AF的值．
【解】：连接DG，BD，如图，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝BC＝CD，AD∥BC，
∵G为BC的中点，
∴DG⊥BC，CG＝1，
在Rt△CDG中，DG=3，
根据翻折变换可知AF＝FG，
∵AD∥BC，DG⊥BC，
∴DG⊥AD，
在Rt△DFG中，设FG＝m，则DF＝2﹣m，
∴DF2+DG2＝FG2，
∴（2﹣m）2+（3）2＝m2，
解得m=74，
∴AF＝FG＝m=74．
故答案为：74．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：（1）（5−7）（5+7）+3；（2）18−42+12×8−(1−2)2．
【分析】（1）根据平方差公式计算即可求解；
（2）先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
【解】：（1）（5−7）（5+7）+3
＝5﹣7+3
＝﹣2+3；
（2）18−42+12×8−(1−2)2
＝3﹣22+2﹣（1﹣22+2）
＝5﹣22−3+22
＝2．
18．下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：2x2+4x﹣6＝0，
二次项系数化为1，得x2+2x﹣3＝0．…第一步，
移项，得x2+2x＝3．…第二步，
配方，得x2+2x+4＝3+4，即（x+2）2＝7．…第三步，
由此，可得x+2=±7⋯第四步，
x1=2+7，x2=2−7⋯第五步．
任务：
（1）上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程化为两个一元一次方程，体现的数学思想是 降次 （填“消元”或“降次”）；其中配方法依据的一个数学公式是 a2±2ab+b2＝（a±b）2 ；
（2）“第二步”变形的依据是 等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式 ；
（3）上面小勇同学的解题过程中，从第 三 步开始出现错误，直接写出正确的解．
【分析】①结合解答过程，依据转化思想和完全平方公式求解即可；
②根据等式的基本性质求解即可；
③先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解】：①上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想；
其中配方法依据的一个数学公式是a2±2ab+b2＝（a±b）2，
故答案为：转化思想，a2±2ab+b2＝（a±b）2；
②“第二步”变形的依据是：等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式，
故答案为：等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式；
③上面小勇同学的解题过程中，从第三步开始出现错误，
正确过程如下：
∵2x2+4x﹣6＝0，
∴x2+2x﹣3＝0，
∴x2+2x＝3，
则x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，
由此，可得x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：三．
19．五一放假前，我市某中学举行了“喜迎二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100．
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 八 年级成绩更平衡，更稳定．
（2）直接写出图表中a，b，c的值：a＝ 40 ，b＝ 93 ，c＝ 96 •
（3）该校八年级共180人参加了此次竞赛活动，估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据方差的意义求解即可；
（2）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得a的值，然后根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数对应的百分比即可．
【解】：（1）∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%＝30%，
∴a%＝1﹣（20%+10%+30%）＝40%，即a＝40；
将七年级成绩重新排列为：80，82，86，89，90，96，96，96，99，100，
则这组数据的中位数b=90+962=93，c＝96，
故答案为：40、93、96；
（3）180×（1﹣20%﹣10%）＝126（人），
答：估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是126人．
20．如图，矩形ABCD中，AD＞AB，O是对角线BD的中点，过O的直线分别交AD，BC于点E，F，连结BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形．
（2）当EF⊥AD时，若矩形ABCD周长为20，▱BEDF的面积为12，求BD的长．
【分析】（1）先根据矩形的性质证得△BOF≌△DOE（ASA），得到BF＝DE，即可证得四边形BEDF是平行四边形；
（2）根据矩形 到现在得到AB＝EF，求得AB+BC＝AB+2BF=12×20＝10，得到AB＝10﹣2BF，根据平行四边形的面积公式列方程得到BF•（10﹣2BF）＝12，解得BF＝2或3，根据勾股定理即可得到结论．
【解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，DE∥BF，
∵点O是对角线BD的中点，
∴BO＝DO，
在△BOF和△DOE，
∠FBO=∠EDOBO=DO∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AD，
∴EF∥AB∥CD，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB＝EF，
∵BO＝DO，
∴BF＝CF，
∵矩形ABCD周长为20，
∴AB+BC＝AB+2BF=12×20＝10，
∴AB＝10﹣2BF，
∵▱BEDF的面积为12，
∴BF•EF＝BF•AB＝12，
∴BF•（10﹣2BF）＝12，
解得BF＝2或3，
∵AD＞AB，
∴AD＝6，AB＝4，
∴BD=62+42=213．
21．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
【分析】（1）直接根据待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意列函数关系式即可；
（3）将600代入w计算即可．
【解】：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：25k+b=7035k+b=50，解得k=−2b=120，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400，
∴x1＝30，x2＝50（舍），
∵20≤x≤38，
∴x＝30．
答：每件商品的售价应定为30元．
22．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，连接AE．
（1）如图1，当点D在线段BA的延长线上时，
①证明：四边形ABCE是平行四边形；②若点A为BD的中点，求四边形ACED的面积；
（2）如图2，当点D在线段BA上时，若点D为AB的中点，求CE的长．
【分析】（1）①由旋转得∠ACE＝∠BCD，EC＝AC，DC＝BC，而AB＝AC，所以EC＝AB，∠B＝∠ACB，因为∠CEA＝∠CAE=12（180°﹣∠ACE），∠B＝∠CDB=12（180°﹣∠BCD），所以∠CEA＝∠B，因为∠ACE＝180°﹣∠CEA﹣∠CAE，∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB，所以∠ACE＝∠CAB，则EC∥AB，即可证明四边形ABCE是平行四边形；
②由DC＝BC，点A为BD的中点，得AD＝AB＝AC，AC⊥BD，因为CE∥AB，CE＝AB，所以CE∥AD，CE＝AD，可证明四边形ACED是正方形，则CD⊥AE，CD＝AE＝BC＝4，即可求得四边形ACED的面积是8；
（2）作CH⊥AB于点H，由旋转得CE＝AC，EC＝BC＝4，则AB＝AC＝CE，BH＝DH，设BH＝DH＝m，则AD＝BD＝2BH＝2m，AH＝3m，AB＝AC＝2AD＝4m，由AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2＝CH2，得（4m）2﹣（3m）2＝42﹣m2，求得符合题意的m值为2，则CE＝AB＝42．
【解】（1）①证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC，
∴∠ACE＝∠BCD，EC＝AC，DC＝BC，
∴12（180°﹣∠ACE）=12（180°﹣∠BCD），
∵AB＝AC，
∴EC＝AB，∠B＝∠ACB，
∵∠CEA＝∠CAE=12（180°﹣∠ACE），∠B＝∠CDB=12（180°﹣∠BCD），
∴∠CEA＝∠B，
∴180°﹣2∠CEA＝180°﹣2∠B，
∵∠ACE＝180°﹣∠CEA﹣∠CAE，∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB，
∴∠ACE＝180°﹣2∠CEA，∠CAB＝180°﹣2∠B，
∴∠ACE＝∠CAB，
∴EC∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
②解：∵DC＝BC，点A为BD的中点，
∴AD＝AB＝AC，AC⊥BD，
∵CE∥AB，CE＝AB，
∴CE∥AD，CE＝AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AD＝AC，
∴四边形ACED是菱形，
∵∠CAD＝90°，
∴四边形ACED是正方形，
∴CD⊥AE，CD＝AE＝BC＝4，
∴S四边形ACED=12CD•AE=12×4×4＝8，
∴四边形ACED的面积是8．
（2）解：作CH⊥AB于点H，则∠BHC＝∠AHC＝90°，
由旋转得CE＝AC，EC＝BC＝4，
∴AB＝AC＝CE，BH＝DH，
设BH＝DH＝m，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD＝2BH＝2m，
∴AH＝AD+DH＝3m，AB＝AC＝2AD＝4m，
∵AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2＝CH2，
∴（4m）2﹣（3m）2＝42﹣m2，
解得m1=2，m2=−2（不符合题意，舍去），
∴CE＝AB＝42，
∴CE的长是42．
23．如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；
（2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用三角形全等求出点C坐标，由点C坐标求出反比例函数解析式即可；
（2）根据点AC为定点，分两种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时存在一个M点；②当AC为平行四边形的边时存在一个M点，求出点M坐标即可．
【解】：（1）如图1，作CE⊥x轴，垂足为E，
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△AOB和△BEC中，
∠OAB=∠EBC∠AOB=∠BEC=90°AB=BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴AO＝BE＝4，OB＝CE＝2，
∴OE＝OB+BE＝2+4＝6，
∴C（6，2），
∵C（6，2）在反比例函数图象上，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数解析式为：y=12x．
（2）在y轴上存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
根据（1）中求C点坐标，同理可得点D坐标（4，6），设直线OD解析式为y＝kx，代入点D坐标得：6＝4k，解得k=32，
∴直线OD解析式为：y=32x，
当AC为平行四边形的对角线时，在y=32x中，令x＝6，得y＝9，
∴N（6，9），
∴NC＝9﹣2＝7，
∵AMCN是平行四边形，
∴AM＝7，
∵OA＝4，
∴OM＝3，
∴M（0，﹣3）；
当AC为平行四边形的边时，
点A向上移动7个单位得到平行四边形MACN，
此时点M的坐标为（0，11）．
当点M、N在x轴下方时，M（0，﹣11）．
综上所述，符合条件的点M有3个，坐标为（0，﹣3）或（0，11）或（0，﹣11）．
24．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，请直接写出DE的长．
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证明△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【解】：（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝180°∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG，∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC=AB2+AC2=4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，AD=AD∠FAD=∠EADAF=AE，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x=53，
即DE=53．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4