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2024武汉部分重点中学高一下学期6月期末联考数学试题含解析
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这是一份2024武汉部分重点中学高一下学期6月期末联考数学试题含解析，文件包含湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题含解析docx、湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
命审题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 湖北省武昌实验中学
本试卷共5页，19题．满分150分．考试用时120分钟．
考试时间：2024年6月26日下午14：00—16：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3． 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4． 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A 1B. C. D.
3. 已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ）
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
4. 在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（ ）
A. 新数据的极差不可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若，则新数据的方差一定小于原数据方差
D. 若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
5. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
7. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，现将沿AC折起，并连接BD，使得平面平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这100位居民，下列说法正确的是（ ）
A. 6月份人均用电量人数最多的一组有40人
B. 6月份人均用电量在内有30人
C. 6月份人均用电量不低于20度的有50人
D. 在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在一组的人数为3
10. 将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ）
A. 底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体B. 底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体
C. 底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱D. 棱长为6cm的正四面体
11. 已知圆锥SO的底面半径为10cm，其母线SA长40cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（ ）
A. 截面SAB的最大面积为
B. 若，则直线SB与平面SOA夹角的正弦值为
C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
D. 若，且，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为18cm
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，，，，若D为BC边的中点，则______．
13. 某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______．
14. 如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点M为PB的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的余弦值．
17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
18. 如图所示，在三棱锥中，，．
（1）证明：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为．试问直线OB与平面ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由；
（3）在（2）的条件下，取OB中点为P，并取一点Q使得．当直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值．
19. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．
（1）当时，若向量，，求与所成角的余弦值；
（2）当时，证明：①；②；
（3）当，时，探究与的大小关系，并证明．
命审题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 湖北省武昌实验中学
本试卷共5页，19题．满分150分．考试用时120分钟．
考试时间：2024年6月26日下午14：00—16：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3． 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4． 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A 1B. C. D.
3. 已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ）
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
4. 在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（ ）
A. 新数据的极差不可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若，则新数据的方差一定小于原数据方差
D. 若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
5. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
7. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，现将沿AC折起，并连接BD，使得平面平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这100位居民，下列说法正确的是（ ）
A. 6月份人均用电量人数最多的一组有40人
B. 6月份人均用电量在内有30人
C. 6月份人均用电量不低于20度的有50人
D. 在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在一组的人数为3
10. 将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ）
A. 底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体B. 底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体
C. 底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱D. 棱长为6cm的正四面体
11. 已知圆锥SO的底面半径为10cm，其母线SA长40cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（ ）
A. 截面SAB的最大面积为
B. 若，则直线SB与平面SOA夹角的正弦值为
C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
D. 若，且，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为18cm
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，，，，若D为BC边的中点，则______．
13. 某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______．
14. 如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点M为PB的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的余弦值．
17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
18. 如图所示，在三棱锥中，，．
（1）证明：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为．试问直线OB与平面ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由；
（3）在（2）的条件下，取OB中点为P，并取一点Q使得．当直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值．
19. 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．
（1）当时，若向量，，求与所成角的余弦值；
（2）当时，证明：①；②；
（3）当，时，探究与的大小关系，并证明．
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