2022武汉部分重点中学高一下学期期中联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2021—2022学年度下学期期中联考

高一数学试卷

命题学校：武汉十一中命题教师：审题教师：

考试时间：2022年4月20日上午9:00—11:00试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．平面与平面平行的充分条件可以是（）

A．内有无穷多条直线都与平行

B．直线，，且直线a不在内，也不在内

C．直线，直线，且，

D．内的任何一条直线都与平行

2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则的虚部为（）

A．B．C．D．

3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（）

A．B．C．D．

4．已知外心是O，且，则在上的投影向量为（）

A．    B．    C．    D．

5．已知圆锥的底面半径为R，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）

A．    B．    C．    D．

6．点O是内一点，且满足．则的值为（）

A．B．C．D．

7．中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则为（）

A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．锐角三角形或钝角三角形    D．直角三角形

8．在直角中，斜边长为a，若所在平面内关于点A对称的两点P，Q满足，则的最大值为（）

A．0    B．     C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（）

A．若z为纯虚数，则实数a的值为2

B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是

C．实数是（为z的共钜复数）的充要条件

D．若，则实数a的值为2

10．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）

A． B．与相交C．D．与异面

11．已知是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）

A．的夹角是B．的夹角是或

C．或D．或

12．在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（）

A．平面与棱的交点是的三等分点

B．平面与棱的交点是的中点

C．平面与棱的交点是的三等分点

D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知．若向量___________．

14．一般地，的夹角可记为，已知，，，，，，，则_________．

15．在中，，则______．

16．圆锥底面半径与高均为3，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的体积为________，表面积为_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

17．（10分）已知复数，i为虚数单位．

（1）若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求；

（2）若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值．

18．（12分）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求的大小；

（2）若的面积，求的值．

19．（12分）已知中，点D在线段上，且，延长到C，使．设，．

（1）用表示向量；

（2）若向量与共线，求k的值．

20．（12分）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且选条件：_____________．

（1）求；

（2）作，使得四边形满足，求的取值范围．

21．（12分）如图，在五棱锥中，，F为棱上一点，且满足，平面与棱分别交于G，H．

（1）求证：；

（2）求的值．

22．（12分）正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，高为，如图水平放置，盛有水深为．

（1）求玻璃容器的体积；

（2）将一根长度为的搅棒l置入玻璃容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）

武汉市部分重点中学2021—2022学年度下学期期中联考

高一数学试卷参考答案与评分细则

13．     14．    15．      16．

17．解：（1）依题意可知

∴

（2）由条件可知：，整理得：

∵，∴解得或．

18．解：（1）原式可化为：，解之得：或（舍去）

∵，∴

（2），∴

由余弦定理得：

正弦定理得：，代入得

19．解：（1）∵A为的中点，∴，

可得，而

（2）由（1）得，

∵与共线，设即，

根据平面向量基本定理，得解之得．

20．解：若选①：由，根据正弦定理可得，

即，

即，

可得，因为，所以，

选②：由，根据正弦定理可得，

可得，即，

又由余弦定理，可得，

因为，所以，

若选③：由，可得，

即，可得，因为，所以，

以下同：（2）设，则，

在中，由正弦定理得，

可得．

在中，由正弦定理得，

可得

，

因为，可得，

当时，即，可得，

当时，即，可得，

所以C的取值范围是．

21．解：∵平面平面

∴平面

∵平面，平面平面

∴，又

∴

（2）设与交点M，则的中点为C，由（1）知．易知平面，平面

∴平面平面

又H为与平面的交点

∴

在中，如图，C为中点，由平面几何知识易知H为中点，故

另解：M，H，G共线又C为中点，

设，故，∴解得

22．解：（1）由题意可知，下底面面积为，上底面的面积，又台体的高为，

所以正六棱台的体积

（2）设搅棒在上的点为M，则，搅棒与水面的交点为N，在平面中，过点N作，交于点P，过点E作，交于点Q，

∵为正六棱台，∴，

∴为等腰梯形，画出平面的平面图，

∵，

∴，

由勾股定理得：，

∴，，，

根据正弦定理得：，∴，

∴，

∴

，

∴．

∴搅棒l没入水中部分的长度为．