江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

这是一份江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题，共11页。试卷主要包含了集合的子集的个数是，命题“”的否定是，若，且，则，设，则的大小顺序为，已知函数，已知函数，则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
本试卷共150分，考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合的子集的个数是（ ）
A.16 B.8 C.7 D.4
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.若，且，则（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.设，则的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
5.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. D.
8.已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A.当时，函数的定义域为
B.函数有最小值
C.当时，函数的值域为
D.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
11.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ）
A.函数为偶函数
B.函数的值域为
C.若，则的最小值为
D.不等式的解集为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则__________.
13.已知数列的前项和为，则当最小时，的值为__________.
14.已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有.当时，，则函数在区间上有__________个零点.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知集合.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
已知关于的函数，其中.
（1）当时，求的值域；
（2）若当时，函数的图象总在直线的上方，为整数，求的值.
17.（本小题满分15分）
某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
18.（本小题满分17分）
已知数列满足.记.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若，数列的前项和为，求证：.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，求函数极值；
（2）讨论在区间上单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
高二·数学（江西）·大联考·参考答案
选择题
1.D 2.D 3.A 4.A 5.C 6.A 7.B 8.A
9.AB 10.AC 11.BCD
填空题
12.8 13.6 14.6
提示：
1.易知集合有2个元素，集合的子集个数是.故选D.
2.命题“”为存在量词命题，其否定为：.故选D.
3.，令，则，即，又，得到.故选A.
4.由函数在上是单调递减函数，则，即，由函数在上是单调递增函数，则，即.故选A.
5.时，此木块在水平方向的瞬时速度为.故选C.
6.当时，显然成立，故充分性成立，设等差数列首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立，无法推出，可得必要性不成立，则“”是“”成立的充分不必要条件.故选A.
7.由题意可知，当时，，则，解得，当时，，即，则茶水泡制时间大的为.故选B.
8.设切点为，由可得，
在点处的切线的斜率为在点处的切线为：切线过点，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则，由可得，由可得：-1或在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是：.故选A.
9.对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确；对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确；对于C中，由，可得C错误；对于D中，由，可得D错误.故选AB.
10.对于A，当时，，令，解得-1或，则的定义域为，故A正确；对于B､C，当时，的值域为，无最小值，故B错误，C正确；对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，则，解得实数的取值范围是，故D错误.故选AC.
11.对于A，，显然，故错误；对于，由取整函数的定义知：函数的值域为，故B正确；对于C，由于，则，易知，而函数在上单调递增，当时，的最小值为，故C正确；对于D，，则，故，故D正确.故选BCD.
12.由函数，可得.
13.根据题意，数列中，，当时，有，当时，有，则当时，最小.当最小时，.
14.如图，的图象关于点对称，函数是定义域为的奇函数，，且.又，即函数的图象关于直线对称，且是函数的一个周期，.易知函数在上单调递增，且函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上.由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点.是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，函数的图象关于点中心对称，
函数在区间上有且仅有2个零点.函数在区间上没有零点，函数在区间上没有零点.结合，得函数在区间上有6个零点.
解答题
15.（1）集合或，
故.
（2），
当时，；
当时，或，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
16.（1）当时，，令，
则，
显然该二次函数在上单调递增，
的值域为.
（2）由题可知，在上恒成立.
，
又易知在上单调递增.
，
因此，解得，
又为整数，
或1.
17.（1）设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
18.（1）由，
可得
，
，
表示以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，可得，
记.则，
，
两式相减，可得，
即，
.
（3）由（1）知，
，
又，
.
19.（1）函数的定义域为，
当时，，
求导得，由，得，
由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值.
（2）由，
在时，，
若，
即在区间上单调递增；
若，
即在区间上单调递减；
若，令，
令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，
在上单调递减.
（3）方法1：
根据题意可知，
，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
，即.
方法2：
，
，
设，则，
设，则，
当单调递减；
当单调递增；
.