江苏省华罗庚中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试卷

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二、多项选择题：9.BCD 10. AD 11.ACD
三、填空题：12. 13., 14.
15. 解: (I) 完成后的 2×2 列联表如下: 分
∵K2=49×13×20−8×8221×28×21×28=499≈5.444>5.024 分
能有 97.5% 的把握认为 “成绩与自主学习时间有关”;分
(II) 由(I) 中知大于等于 120 分且周自主学习时间不少于 12 小 时的频率是 1321 , 分
设从全校大于等于 120 分的学生中随机抽取 20 人, 这些人中周自主学习时 间不少于 12 小时的人数为随机变量 Y ,
依题意 Y∼B20,1321 , 分
∴EY=20×1321=26021 ,DY=20×1321×1−1321=2080441. 分
16.证明: (1) 因为 AD//BC,AD⊂ 平面 A1ADD1,BC⊄ 平面 A1ADD1 ,
所以 BC// 平面 A1ADD1 . ……3 分
又 BC⊂ 平面 B1BCC1 ,平面 A1ADD1∩ 平面 B1BCC1=l ,所以 l//BC . ……6 分
(2) 在 △BCD 中, BC=1,CD=2,∠BCD=π3 .
由余弦定理得, BD=3 ,则 CD2=BC2+BD2 ,得 BC⊥BD .
又 AD//BC ,则 AD⊥BD .因为 D1D⊥ 平面 ABCD ,……8 分
所以 D1D⊥AD,D1D⊥BD .
又 AD∩DD1=D ,所以 BD⊥ 平面 A1ADD1 .
以 DA,DB,DD1 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A2,0,0,B0,3,0,A11,0,1,AB=−2,3,0,AA1=−1,0,1 .……10 分
设平面 A1ABB1 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅AB=−2x+3y=0,n⋅AA1=−x+z=0,
令 x=1 ,得 z=1,y=23 ,所以 n=1,23,1 .
又 DB=0,3,0 是平面 A1ADD1 的一个法向量. ……13 分
记平面 A1ADD1 与平面 A1ABB1 的夹角为 θ ,则 csθ=DB⋅nDBn=23×103=105 ,
所以平面 A1ADD1 与平面 A1ABB1 的夹角的余弦值为 105 . ……15 分
17. 解法一:(1) f′x=−asinx−ex+1,f′0=−e …………-2 分
又 f0=a−e ,所以切线方程为 y=−ex−e+a ,…… ……-3 分
又切线过点 −1,2 ,得 2=e−e+a ,所以 a=2 …………-4 分
所以 fx=2csx−ex+1,f′x=−2sinx−ex+1 ,
当 x∈0,π 时, f′x0,gx 在 −2π3,−π4 单调递增;
当 x∈−π4,0 时, g′x1.4×34>1 )
所以 x∈−2π3,0 时,方程 gx=1 有 2 根,即 fx 在 −2π3,0 有 2 个零点.…… -15 分
解法二:(1) f′x=−asinx−ex+1,f′0=−e -2 分所以切线方程为 y=−ex−e+2 , -3 分
因此切点为 0,2−e ,得 2−e=a−e ,所以 a=2 , -4 分
所以 fx=2csx−ex+1,f′x=−2sinx−ex+1 ,
当 x∈0,π 时, f′x0, ℎ′−π2=−e1−π20 ,当 x∈x0,0 时, ℎ′x0,ℎ−π2=2−e1−π2>0,ℎ0=−e0 ,即 f′x>0 ,此时 fx 单调递增;
当 x∈x1,0 时, ℎx