[数学]福建省福州市六校2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学]福建省福州市六校2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以.故选：A.
2. 复数，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，所以.故选：C.
3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A. 22B. 10C. 8D. 4
【答案】D
【解析】是等差数列，，解得：．
故选：D．
4. 已知在R上可导的函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图知：、上，上，
又、上，上，
∴的解集为.
故选：B
5. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
当时，
，即
解得
所以“”是的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，
，，
解得.
故选：A.
7. 中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故所求概率为.
故选：B
8. 已知，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】定义域为R，
，
所以函数为偶函数，又因为，
时，，
时，，
故，
所以在上单调递增，
则不等，
即解得:.
所以不等式的解集为.故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 展开式中系数最大的为
【答案】BD
【解析】展开式通项公式为：，
对于A，令，则，A错误；
对于B，令，则；
令，则；
，B正确；
对于C，令得：，，C错误；
对于D，为正数，为负数，
又，，，，
展开式中系数最大的为，D正确.
故选：BD.
10. 从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A中，由题意得，第一次取到白球的概率，所以A正确；
对于B中，由，，
则有，
所以 B正确
对于C中，在已知第二次取出1个红球的条件下，第一次取得1个白球，，所以C不正确；
对于D中，由事件是以下4个互斥事件的和：，，，，
则
，所以D正确.
故选：ABD
11. 设函数，，给定下列命题，正确的是（ ）
A. 不等式的解集为；
B. 函数在单调递增，在单调递减；
C. 若时，总有恒成立，则；
D. 若函数有两个极值点，则实数.
【答案】AC
【解析】的导数为，
则，,
对于A，，即解得，故正确；
对于B， ，当x时在单调递增，故错误；
对于C， 可化为：
设，又
∴在上单调递减，
∴在上恒成立，
即，又在单调递增，在上单调递减，
，
∴故正确；
对于D，若函数有两个极值点，则有两个零点，
即，，
又在单调递增，在上单调递减，
，时，即2a，a，故错误；
故选：AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12. 已知展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为__________.
【答案】
【解析】由题意得，解得，
故展开式通项公式为，
令得，
故展开式中含项的系数为.
故答案为：
13. 函数的单调递减区间是__________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故答案为：.
14. 已知数列满足①②.则______________；设为的前项和，则__________.（结果用指数幂表示）
【答案】①23 ②
【解析】由得得；
当为奇数时，，令，则，
当为偶数时，，令，
则，
则，
当时，，所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
则
当为奇数时，由，则，
所以，
当偶数时，由，则，所以，
所以，
所以，
.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处有极小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在只有一个零点，求的取值范围．
解：（1）

由在处有极小值
得，解得，
此时，
单调递减，
单调递增，
满足在处取极小值，
∴；
（2）由（1）得，
∴
函数在只有一个零点
在只有一个交点
由（1）得令得，
∴在上单调递减，在单调递增
∴在处有极小值
，
∴的取值范围是.
16. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
（1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：
（2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
解：（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，
解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，
解得，
所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为.
（2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件为“这道题被答对”，
则，，，，，，
由全概率公式可得.
17. 在中，内角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求边上的中线长.
解：（1），∴由正弦定理得：，
，∴，
∴，即，
，∴，
∴，
（2）， ，
中，由余弦定理得
，所以，
设的中点为，则 ，
两边同时平方得：
=
所以 ，所以.
18. 已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，.
第一行
第二行
第三行
……
第行
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）由题意，设第一行的公差为，第三列的公比为，
则由，，可得，
∴，∴，又，
∴，∴，
∴；
（2）∵.
∴.
19. 已知函数（）
（1）当时，讨论函数的单调性.
（2）若有两个极值点
①求的取值范围
②证明：
解：（1）当时，，（）
，
令，
如图表示关系如下，
在上单调递减，在上单调递增.
（2）①
，
因为有两个极值点
即：在有两个不相等的实根，
所以，
所以，
②由①得
要证
即证：，
只需证
令
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又因为
由零点存在性定理得：，使得，
即，
所以，单调递增.
时，，单调递减.
则
因为在上单调递增
所以
所以，即得证.
1
3
0
0
单调递增
单调递减
单调递增