2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型一 分析判断函数图象题 (含答案)

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考向一 面积与线段之间的关系
典例精讲
例1 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是边AB上一点(点E与点B不重合)，点F是射线BC上一点，且∠EFB＝30°，设BE＝x，△BEF与正方形ABCD重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致为( )
例1题图
【分层分析】
第一段：当点F在线段BC上，此时，△BEF与正方形ABCD重叠部分即为________的面积，∵BE＝x，∠EFB＝30°，∴BF＝______，∴S＝______(______)；
第二段：当点F与点C重合时，BF＝________，BE＝________，此时S△BEF＝________；
第三段：当________时，点F在BC的延长线上，此时，△BEF与正方形ABCD重叠部分为________的面积，∵BE＝x，∠EFB＝30°，BC＝3，∴BF＝______，CF＝______，∴在Rt△CFG中，CG＝________，∴S＝________ (eq \r(3)＜x≤3)．综上所述，S关于x的函数图象如选项________所示．
满分技法
分析判断几何动点问题的函数图象题目，一般有两种类型：
1. 观察型(函数的图象有明显的增减性差异)：根据题目描述，只需确定函数值在每段函数图象上随着自变量的增减情况或变化的快慢即可得解：
(1)当函数值随着自变量增大而增大时，函数图象呈上升趋势，反之则呈下降趋势；
(2)当函数值随着自变量增大而不变时，函数图象与x轴平行．
2. 计算型：先根据自变量的取值范围对函数进行分段，再求出每段函数的解析式，最后由每段函数的解析式确定函数图象的形状．
辽宁近年中考真题精选
1. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P和点Q分别从点B和点C同时出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为点H，连接PH.设点P运动的距离为x(0第1题图
2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8 cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上，将正方形DEFG以每秒1 cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为S cm2，则能反映S与t的函数关系的图象是( )
第2题图
3. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点(点E不与点A、点B重合)，点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG.设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是( )
第3题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2eq \r(2)，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是( )
第4题图
5. 如图，Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AG⊥BC于点G，点D为BC边上一动点，DE⊥BC交射线CA于点E，作△DEC关于DE的轴对称图形得到△DEF，设CD的长为x，△DEF与△ABG重合部分的面积为y，下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是( )
第5题图
6. 如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是( )
第6题图
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N，设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是( )
第7题图
针对训练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点P从点A出发沿A→B→C的路径，点Q以相同的速度沿A→C的路径，运动到点C停止，连接PQ，设点P的运动路程为x，△APQ的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板，PF交线段AB于点M，PE交线段AC于点N，连接MN.设线段AM的长为x，△PMN的面积为y，在转动过程中，能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
第2题图
3. 如图，△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝4eq \r(5)，点D为AC中点，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A－B－C作匀速运动，点P与点C重合时停止运动．设点P的运动时间为x秒，△PBD的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
第3题图
4. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝12，S▱ABCD＝96，点E以每秒1个单位长度的速度沿C→A→B的路径匀速运动，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，G是BE的中点，连接FG，设△EFG的面积为S，点E运动的时间为t，则S与t之间的函数关系的图象大致是( )
第4题图
5. 如图，▱ABCD中，CD＝5，BC＝2，∠A＝60°，将纸片折叠，使点A落在射线AD上(记为点A′)，折痕与AB交于点P，设AP的长为x，折叠后纸片重叠部分的面积为y，下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是( )
第5题图
6. 如图，正方形ABCD的边长为2，点P是AD边上一动点且不与点D重合，连接CP，过点P作∠APE＝∠CPD，交直线BC于点E，设PD＝x，△PEC与正方形ABCD重合部分的面积为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
第6题图
7. 如图，在2×2的正方形网格中，动点P、Q同时从A、B两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点G停止．动点P的运动路线为A→M→F→G；动点Q的运动路线为B→N→C→G，连接PE、QE.设动点P运动时间为t(s)，△EPQ的面积为S，则S与t之间的函数关系用图象表示大致是( )
第7题图
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，AB＝4，以点B为直角顶点作Rt△EFG，点G在直线BD上且EG＝2，FG∥AB，将△EFG沿着BD向右平移，当点E与点D重合时停止平移，设点E平移的距离为x，菱形ABCD与△EFG重叠部分的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )
第8题图
考向二 线段与线段之间的关系
典例精讲
例2 如图，矩形ABCD的边AD与等边△EFG的边EG在同一直线上，AB＝eq \r(3)，BC＝1，EF＝3，当矩形ABCD从点A与点E重合时开始向右平移，直至点D与点G重合时平移停止．设矩形ABCD覆盖△EFG的三边的总长为y，平移距离为x，则y关于x的函数图象是( )
例2题图
【分层分析】根据题意得，根据平移距离的不同，需要进行分段讨论：
第一段：当0≤x≤1，如解图①，y＝________；
当________，如解图②，y＝________；
第二段：当____________，如解图③，y＝________；
第三段：当____________，如解图④，y＝________；
综合分段函数的图象与自变量的取值范围，选项A符合题意．
例2题解图
辽宁近年中考真题精选
1. 如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，PA－PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是( )
第1题图
2.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P，Q.设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
第2题图
针对训练
1. 两个斜边长为2的全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个△ABC的直角顶点A重合，若△ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边BC交于点E，F，设BF＝x，CE＝y，则y关于x的函数图象大致是( )
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ.设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是( )
第2题图
3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，连接AE，∠BAE的平分线交BC于点P，过P作PF⊥AE于点F，∠FPE的平分线交DC于点Q，设PF＝x，CQ＝y，则y关于x的函数图象大致是( )
第3题图
类型二 分析函数图象
考向一 判断实际问题中的相关结论
典例精讲
例3 甲车从A地匀速驶往B地，当甲车行驶0.5 h经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发，匀速驶往B地；当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地(甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动)．如图是行驶过程中两车与B地间的距离y(单位：km)与甲车从出发所用的时间x(单位：h)间的函数关系的图象，则下列说法：
①A地与B地的距离为240 km；
②B地与C地的距离为200 km；
③甲车的平均速度为80 km/h；
④乙车的平均速度为100 km/h；
⑤甲车到达B地的时间为3 h；
⑥乙车到达C地的时间为2 h；
⑦甲车、乙车第一次相遇的时间为0.5 h；
⑧甲车、乙车第二次相遇的时间为4 h；
其中，正确结论的序号是________．
例3题图
【分层分析】第一步：搞清楚x轴，y轴的意义．
根据题意知，题图中x轴表示的是______________，y轴表示的是______________，
则图中________是甲车的函数图象，________是乙车的函数图象；
第二步：找关键点(起点、拐点、交点)．
图象①中起点表示的是___________________________________________________，
与x轴交点表示的是___________________________________________________，
则甲车的速度为________ km/h，甲车行驶0.5 h的路程为________km，此时甲车距离B地的距离为________km，则n＝________；
图象②中起点表示的是________，乙车到达B地的时间为________h，行驶的时间为________h，乙车第二次到达C地的时间为________h，行驶时间为________h，行驶路程为________km，则乙车的速度为________，
则m＝________，乙车到达C点的时间为________h，乙车到达A点的时间为________h.
甲车、乙车共相遇________次，第一次相遇的时间为________，第二次相遇的时间为________．综上所述，正确的是________．
满分技法
解决此类问题，要明确题中所给两个对象的运动路线，从所求出发分析题中的已知条件，判断选项所给图象，得到正确结果．读懂图象要知道的几点：
1. 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量；
2. 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；
3. 拐点：图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；
4. 水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；
5. 交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”．
辽宁近年中考真题精选
1. 晓林和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓林继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．晓林和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1(米)，y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示，下列结论：
第1题图
①两人同行过程中的速度为200米/分；
②m的值是15，n的值是3000；
③晓林开始返回时与爸爸相距1800米；
④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．
其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：
第2题图
①A，B两村相距10 km；
②出发1.25 h后两人相遇；
③甲每小时比乙多骑行8 km；
④相遇后，乙又骑行了15 min或65 min时两人相距2 km.
其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
针对训练
1. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：
①甲乙两地相距100 km；
②快车的速度是60 km/h，慢车的速度是30 km/h；
③快车从甲地驶往乙地共用时eq \f(5,3) h;
④快车到达乙地时，慢车距甲地还有eq \f(100,3) km.
其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第1题图
2. 小明从家中去往A地，匀速前进，小明出发2 min后，小明的爸爸发现小明的身份证落在了家中，于是按照小明行驶的路线匀速追赶小明，爸爸将身份证送给小明后，又按原路原速返回. 当小明到达目的地时，爸爸恰好也同时到达家中. 小明和爸爸离家的距离y m与小明的行驶时间x min的函数关系图象如图所示，下列结论：
①小明家到A地的距离是1200 m；
②b＝720；
③小明爸爸的速度是144 m/min；
④小明爸爸出发2 min或4.4 min时两人相距120 m．其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

第2题图
考向二 函数图象与几何图形中的对应关系
典例精讲
例4 如图①，矩形ABCD中，连接AC，点P从顶点B出发沿B→A→C的路径匀速运动到点C停止，过点P作PE⊥CD垂足为点E，设点P的运动路程为x，PE长为y，若y与x之间的函数关系图象如图②所示，当x＝8时，PE的长为( )
A. 4－2eq \r(2) B. 4eq \r(2)－4 C. 2－eq \r(2) D. eq \r(2)－1
例4题图
【分层分析】第一步：搞清楚x轴、y轴的意义．
根据题意知，图②中的x轴表示的是____________，y轴表示的是________；
第二步：分析图形运动规律，找到“拐点”．
点P从顶点B出发沿B→A→C的路径匀速运动到点C停止，当点P在线段BA上运动时，PE的长度________(选填“增大”，“不变”或“减小”)，即y随x的增大而________；当点P在线段AC上时，PE的长度________，即y随x的增大而________；点A即为“拐点”．
第三步：找对应关系．
例4题解图
当点P由点B向点A运动时，PE的长度不变，∴BA＝________，如解图，当点P由点A向点C运动时，PE的长逐渐变小，BA＋AC＝________，∴AC＝__________，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝________，在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC＝________，∴AB＝CB，∴矩形ABCD是________，∴∠ACD＝________，
当x＝8时，易得点P在AC上，则CP＝__________，∴PE＝________．
满分技法
分析以几何问题为背景的函数图象：
(1)找特殊点，即找起点、终点、交点或转折点，理解图象在此点处的状态或变化；
(2)根据函数图象的分段情况，结合几何图形分别进行计算，直接求出相应自变量对应的函数值．
辽宁近年中考真题精选
1. 如图①，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图②所示，当x＝6时，PQ的值是( )
第1题图
A. 2 B. eq \f(9,5) C. eq \f(6,5) D. 1
针对训练
1. 如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x＋1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图②所示，那么矩形ABCD的面积为( )
第1题图
A. eq \r(5) B. 2eq \r(5) C. 8 D. 10
2.如图①，矩形ABCD中，AB＝6，点E为BC边上一动点，DE⊥FE，且DE＝EF，连接BF、DF，设CE＝x，BF＝y，y关于x函数关系式如图②所示，P为函数图象上任意一点，则P点纵坐标的最小值为( )
第2题图
A. eq \r(2) B. eq \r(3) C. eq \r(5)－1 D. eq \r(5)
参考答案
类型一 判断函数图象
考向一 面积与线段之间的关系
典例精讲
例1 A
【分层分析】△BEF，eq \r(3)x，eq \f(1,2)BE·BF＝eq \f(1,2)x·eq \r(3)x＝eq \f(\r(3),2)x2，0＜x≤eq \r(3)；3，eq \r(3)，eq \f(1,2)×eq \r(3)×3＝eq \f(3\r(3),2)；eq \r(3)＜x≤3，四边形BCGE，eq \r(3)x，eq \r(3)x－3，x－eq \r(3)，eq \f(（CG＋BE）·BC,2)＝eq \f(1,2)(x－eq \r(3)＋x)×3＝3x－eq \f(3\r(3),2)，A.
辽宁近年中考真题精选
1. A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∵∠A＝60°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°.∵点Q和点P的运动速度相同，∴CQ＝BP＝x，∴BQ＝2＋x，∵QH⊥BD于点H，∴BH＝eq \f(1,2)BQ＝eq \f(1,2)(2＋x)，如解图，过H作HG⊥BP于点G，则HG＝sin∠GBH·BH＝eq \f(\r(3),2)BH＝eq \f(\r(3),4)(2＋x)，∴S＝eq \f(1,2)BP·HG＝eq \f(1,2)x·eq \f(\r(3),4)(2＋x)＝eq \f(\r(3),8)x2＋eq \f(\r(3),4)x，图象是开口向上的抛物线，故选A.
第1题解图
2. B 【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠A＝45°.∵CH是AB边上的高，∴AH＝BH＝4，∠ACD＝∠BCD＝45°.∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝EF＝FG＝GH，∠CEF＝90°.∴∠EFC＝∠ECF＝45°. ∴EF＝CE.∴DE＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)AH＝2.从平移开始到点E落在BC边上的过程中，0≤t≤2，此时重叠部分是矩形，高为2，宽为t，∴S＝2t. 排除A，C；当点E在BC的右侧且点F落在BC上时，2＜t＜4，此时重叠部分是正方形面积减去等腰三角形的面积，且等腰三角形的直角边长为t－2，S＝4－eq \f(1,2)(t－2)2是开口向下对称轴为直线t＝2的抛物线. 故排除D.
3. B 【解析】由题意，易得△DAE≌△BAF，∴∠ADE＝∠ABF，∠AED＝∠AFB，DE＝BF，∵DE＝EG，∴GE＝BF.∵∠DAE＝90°，∠DEG＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，∠DEA＋∠GEB＝90°，∴∠ADE＝∠GEB，∴∠ABF＝∠GEB，∴GE∥BF，∴四边形BFEG是平行四边形．S▱BFEG＝2S△BEF＝2×eq \f(1,2)×BE·AF＝BE·AF；(1)当点E在线段AB上时，y＝x(1－x)＝－x2＋x＝－(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,4)(0＜x＜1)；(2)当点E在线段AB延长线上时，y＝x(x－1)＝(x－eq \f(1,2))2－eq \f(1,4)(x＞1)．故选B.
4. A 【解析】∵AC＝BC＝2eq \r(2)，∠ACB＝90°，∴AB＝4，∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝eq \f(1,2)AB＝2，当点P在AD上，即0≤x≤2时，∵AP＝x，∴BP＝4－x，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形PECF是矩形，PE＝eq \f(\r(2),2)AP＝eq \f(\r(2),2)x，PF＝eq \f(\r(2),2)PB＝eq \f(\r(2),2)·(4－x)，∴y＝eq \f(\r(2),2)x·eq \f(\r(2),2)(4－x)＝－eq \f(1,2)(x－2)2＋2，即当0≤x≤2时y与x的函数图象是顶点为(2，2)，开口向下的抛物线的一部分；当点P在CD上，即25. A 【解析】∵在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AG⊥BC，∴AG＝BG＝CG＝2，∵△DEF与△DEC关于DE轴对称，∴DF＝DC＝x，当点F在线段CG上时，0≤2x≤2，∴0≤x≤1，△DEF与△ABG没有重叠部分，此时y＝0；当点F在线段BG上时，2<2x≤4，∴16. D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝1，∵∠ADB＝60°，∴BD＝2.如解图①，当点P在边AD上，即0≤t≤1时，此时AP＝t，DQ＝2t，∴PD＝1－t，BQ＝2－2t，过点P作PE⊥BD于点E，则PE＝sin60°·PD＝eq \f(\r(3),2)(1－t)，∴S△PBQ＝eq \f(1,2)·BQ·PE＝eq \f(1,2)×(2－2t)×eq \f(\r(3),2)(1－t)＝eq \f(\r(3),2)(t－1)2，∵eq \f(\r(3),2)＞0，∴函数图象开口向上；如解图②，当点P在对角线BD上，即1＜t≤2时，则PD＝2(t－1)，BQ＝t－1，∴BP＝2－2(t－1)＝4－2t，过点P作PE⊥BC于点E，则PE＝sin60°·BP＝eq \f(\r(3),2)(4－2t)，∴S△PBQ＝eq \f(1,2)·BQ·PE＝eq \f(1,2)×(t－1)×eq \f(\r(3),2)(4－2t)＝－eq \f(\r(3),2)(t2－3t＋2)，∵－eq \f(\r(3),2)＜0，∴函数图象开口向下．故选D.
第6题解图
7. B 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠D＝90°，∵点E是CD的中点，∴DE＝3，∴tan∠AED＝eq \f(AD,DE)＝eq \f(4,3)，tan∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(3,4)，∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AED＝∠MAN，∠DAE＝∠F，∴tan∠MAN＝eq \f(4,3)，tanF＝eq \f(3,4)，如解图①，当点M在AB上时， 则AN＝x，∵MN⊥AF，∴tan∠MAN＝eq \f(MN,AN)＝eq \f(4,3)，∴MN＝eq \f(4,3)AN＝eq \f(4,3)x，∴S＝eq \f(1,2)·x·eq \f(4,3)x＝eq \f(2,3)x2；如解图②，当点M在BF上时，此时AN＝x，∵AD＝4，DE＝3，∴AE＝eq \r(42＋32)＝5.∵DE＝CE，∠DAE＝∠F，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，即AF＝2AE＝10，∴FN＝10－x，∵MN⊥AF，∴tanF＝eq \f(MN,FN)＝eq \f(3,4)，∴MN＝eq \f(3,4)FN＝eq \f(3,4)(10－x)，∴S＝eq \f(1,2)·x·eq \f(3,4)(10－x)＝－eq \f(3,8)x2＋eq \f(15,4)x.综上所述，能反映S与x之间函数关系的图象是B.故选B.
第7题解图
针对训练
1. C 【解析】由AB＝3，AC＝5知，BC＝4，则sinA＝eq \f(CB,AC)＝eq \f(4,5)，sinC＝eq \f(3,5)，当0≤x≤3时，如解图①，过点Q作QH⊥AB于点H，则y＝eq \f(1,2)AP·QH＝eq \f(1,2)AP·AQsinA＝eq \f(1,2)·x·x·eq \f(4,5)＝eq \f(2,5)x2，该函数图象为开口向上的二次函数，当3＜x≤5时，如解图②，过点P作PH⊥AC于点H，则y＝eq \f(1,2)AQ·PH＝eq \f(1,2)·x·PC·sinC＝eq \f(1,2)·x·(3＋4－x)×eq \f(3,5)＝－eq \f(3,10)x2＋eq \f(21,10)x，该函数图象为开口向下的二次函数，当5＜x≤7时，同理可得y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(21,2)，该函数图象为一次函数，故选C.
第1题解图
2. B 【解析】如解图，过点P作PW⊥AC，PR⊥AB，∴PW∥AB，PR∥AC，∵P为BC的中点，∴PW＝PR＝1，∵线段AM的长为x， 得BM＝2－x，∵BM＝AN，∴CN＝2－(2－x)＝x，∴y＝S△PMN＝S△ABC－S△PCN－S△PMB－S△NAM＝eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×x×1－eq \f(1,2)×1×(2－x)－eq \f(1,2)x(2－x)＝2－eq \f(1,2)x－1＋eq \f(1,2)x－x＋eq \f(1,2)x2＝eq \f(1,2)x2－x＋1，即y＝eq \f(1,2)x2－x＋1.
第2题解图
3. A 【解析】∵AB＝BC＝5，点D为AC中点，∴S△ABD＝S△BDC＝eq \f(1,2)S△ABC，BD⊥AC，AD＝CD＝eq \f(1,2)AC＝2eq \r(5)，∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(52－（2\r(5)）2)＝eq \r(5)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×4eq \r(5)×eq \r(5)＝10，∴S△ABD＝S△BDC＝5，设点D到AB的距离为h，∴eq \f(1,2)AB·h＝5，即eq \f(1,2)×5h＝5，解得h＝2，∴点D到AB的距离为2，同理可得点D到BC的距离为2，当P在AB上时，PB的长为5－x，高为2，∴S△PDB＝eq \f(1,2)×2×(5－x)＝5－x(0≤x≤5)；当P在BC上时，PB的长为x－5，高为2，∴S△PDB＝eq \f(1,2)×2(x－5)＝x－5(5＜x≤10)，故只有选项A符合题意．故选A.
4. B 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝12，∴CD＝10，BC＝12.∵S▱ABCD＝96＝BC·AH＝12AH，∴AH＝8，∴BH＝eq \r(AB2－AH2)＝6，∴CH＝BC－BH＝6，∴AC＝eq \r(AH2＋CH2)＝10.如解图①，当点E在CA上运动，即0≤t≤10时，CE＝t，∵sin∠ACH＝eq \f(AH,AC)＝eq \f(EF,CE)，即eq \f(8,10)＝eq \f(EF,t)，cs∠ACH＝eq \f(CH,AC)＝eq \f(CF,CE)，即eq \f(6,10)＝eq \f(CF,t)，∴EF＝eq \f(4,5)t，CF＝eq \f(3,5)t，∴BF＝BC－CF＝12－eq \f(3,5)t.∵点G是BE的中点，∴S＝eq \f(1,2)S△BEF＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×(12－eq \f(3,5)t)×eq \f(4,5)t＝－eq \f(3,25)t2＋eq \f(12,5)t＝－eq \f(3,25)(t－10)2＋12，此时S与t之间的函数关系的图象是开口向下的抛物线的一部分，且S随t的增大而增大；如解图②，当点E 在AB上运动，即10＜t≤20时，BE＝AB－AE＝10－(t－10)＝20－t，同理可得EF＝eq \f(4,5)(20－t)，BF＝eq \f(3,5)(20－t)．∵点G是BE的中点，∴S＝eq \f(1,2)S△BEF＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(3,5)(20－t)×eq \f(4,5)(20－t)＝eq \f(3,25)(t－20)2，此时S与t之间的函数关系的图象是开口向上的抛物线的一部分，且S随t的增大而减小．综上所述，S与t之间的函数关系的图象大致如选项B所示．
第4题解图
5. A 【解析】如解图①，当0≤x≤2时，∵∠A＝60°，AP＝A′P，∴△APA′是等边三角形，∵AP的长为x，∴EP＝eq \f(\r(3),2)x，A′E＝eq \f(1,2)x，折叠后纸片重叠部分的面积为y＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)x×eq \f(\r(3),2)x＝eq \f(\r(3),8)x2，如解图②，当2≤x≤4时，可得△APA′是等边三角形，∵AP的长为x，∴EP＝eq \f(\r(3),2)x，A′D＝x－2，折叠后纸片重叠部分的面积为y＝eq \f(\r(3),8)x2－eq \f(1,2)×(x－2)×eq \f(\r(3),2)(x－2)＝－eq \f(\r(3),8)x2＋eq \r(3)x－eq \r(3)，当4≤x≤5时，折叠后纸片重叠部分的面积为y是恒定值，故符合题意的图象是A.故选A.
第5题解图
6. A 【解析】当x≤1时，重合部分是△PEC，∴y＝eq \f(1,2)×AB·2x＝eq \f(1,2)×2·2x＝2x，图象是一次函数图象；当1＜x≤2时，如解图，重合部分的面积为△PEC的面积减去△BEF的面积，AP＝2－x，BE＝2x－2，易知△APF∽△BEF，∴eq \f(AP,EB)＝eq \f(AF,FB)，FB＝4－eq \f(4,x)，此时y＝2x－eq \f(1,2)(2x－2)(4－eq \f(4,x))＝－2x＋16－eq \f(16,x)，是一次函数与反比例函数的叠加函数．只有A符合条件．故选A.
第6题解图
7. A 【解析】当0≤t≤1时，如解图①，S＝eq \f(1,2)PQ·AP＝t，当t＝1时，S＝1，该函数为一次函数；当1＜t＜2时，如解图②，则点P、Q的坐标分别为(t－1，1)、(2，t)，设直线PQ交GE于点H，设直线PQ的表达式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝2k＋b,1＝（t－1）k＋b))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(t－1,3－t),b＝\f(－t2＋t＋2,3－t)))，故直线PQ的表达式为y＝eq \f(t－1,3－t)x＋eq \f(－t2＋t＋2,3－t)，当x＝1时，y＝eq \f(t－1,3－t)＋eq \f(－t2＋t＋2,3－t)＝HE，S＝eq \f(1,2)HE·(xQ－xP)＝eq \f(1,2)(eq \f(t－1,3－t)＋eq \f(－t2＋t＋2,3－t))(2－t＋1)＝－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(1,2)；该函数为开口向下的抛物线；当2≤t≤3时，如解图③，PF＝t－2，GQ ＝ 3－ t，∴PE＝ t－2＋1 ＝t－1，同理可得S＝eq \f(1,2)PE·GQ＝eq \f(1,2)(t－1)( 3－ t)＝－eq \f(1,2)t2＋2t－eq \f(3,2)；该函数为开口向下的抛物线，故选A.
第7题解图
8. B 【解析】设AB与EF交于点H，当点E在OB上运动时，如解图①，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠BAO＝30°.∵AB＝4，BE＝x，∴OB＝2，EH＝eq \r(3)x，∴y＝S△BEH＝eq \f(1,2)x·eq \r(3)x＝eq \f(\r(3),2)x2(0≤x≤2)，此时y与x的函数图象是开口向上的抛物线，且y随x的增大而增大；当点E在OD上运动时，如解图②，设AD与GF相交于点I，过点I作MN∥BD，交EF于点M，交AC于点N，则四边形OEMN为矩形，∴MN＝OE＝x－2，∴MI＝NI＝eq \f(1,2)(x－2)＝eq \f(1,2)x－1，∵DE＝BD－BE＝4－x，∴EH＝eq \r(3)(4－x)，∴FH＝2eq \r(3)－eq \r(3)(4－x)＝eq \r(3)x－2eq \r(3)，∴S△FHI＝eq \f(1,2)(eq \r(3)x－2eq \r(3))(eq \f(1,2)x－1)＝eq \f(\r(3),4)x2－eq \r(3)x＋eq \r(3)，∴y＝S△EFG－S△FHI＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)－eq \f(\r(3),4)x2＋eq \r(3)x－eq \r(3)＝－eq \f(\r(3),4)x2＋eq \r(3)x＋eq \r(3)(2＜x≤4)，此时y与x的函数图象是开口向下的抛物线，且y随x的增大而减小．综上所述，y与x的函数图象如选项B所示．
第8题解图
考向二 线段与线段之间的关系
例2 A
【分层分析】AE＋EH＝x＋2x＝3x；1＜x＜2，AD＋KH＝AD＋EK－EH＝1＋2－2(x－1)＝5－2x；2≤x≤3，AD ＋KH＝AD＋GK－GH＝1＋2－2(3－x)＝2x－3；3＜x≤4，DG＋GH＝DG＋2DG＝3DG＝3(4－x)＝－3x＋12.
辽宁近年中考真题精选
1. C 【解析】如解图，连接BP.∵AB为半圆O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠PBA＋∠PAB＝90°.∵CA⊥AB，∴∠DAP＋∠PAB＝90°，∴∠DAP＝∠PBA，∴△ADP∽△BPA，∴eq \f(PD,AP)＝eq \f(PA,AB) .设半圆O的半径为r，∴PD＝eq \f(x2,2r)，∴y＝－eq \f(x2,2r)＋x，∴图象为开口向下的抛物线．
第1题解图
2. A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴∠PBC＝∠DPB.∵∠A＝60°，∴∠C＝60°.∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝2，∴∠CBD＝∠CDB＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠DBQ＝∠PBC，∴∠DBQ＝∠DPB.∵∠PDC＝∠BDC＝60°，∴∠BDQ＝∠BDP＝120°，∴△BDQ∽△PDB，∴eq \f(BD,PD)＝eq \f(DQ,DB)，即xy＝BD2＝4，为定值，∴y与x成反比例函数关系．故选A.
针对训练
1. D 【解析】由题意得∠B＝∠C＝45°，∠EAF＝45°.∵∠AFB＝∠C＋∠CAF＝45°＋∠CAF，∠EAC＝∠CAF＋∠EAF＝∠CAF＋45°.∴∠AFB＝∠CAE.又∵∠B＝∠C，
∴△AFB∽△EAC.∴eq \f(CE,AB)＝eq \f(AC,BF).∵BC＝2，∠B＝∠C＝45°.∴AB＝AC＝eq \r(2).∴eq \f(y,\r(2))＝eq \f(\r(2),x)，即y＝eq \f(2,x).当点E与B重合时，BF取最小值，x＝1.∴x≥1，故选D.
2. C 【解析】在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2.当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DP＝x－3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32＋32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7－x，CQ＝7－x，∴y＝PQ2＝CP2＋CQ2＝2x2－28x＋98.故选C.
3. C 【解析】∵∠BAE的平分线交BC于点P，PB⊥AB，PF⊥AE，∵∠BAP＝∠FAP，∠ABP＝∠AFP＝90°，PB＝PF，∴△ABP≌△AFP(AAS)，∴BP＝PF＝x，∴∠APB＝∠APF，∵PQ平分∠FPC，故∠FPQ＝∠CPQ，∵∠APB＋∠APF＋∠FPQ＋∠CPQ＝180°，∴∠APF＋∠QPF＝90°，即AP⊥PQ，∵∠APB＋∠QPC＝90°，∠QPC＋∠PQC＝90°，∴∠APB＝∠PQC，∴tan∠APB＝tan∠PQC，则eq \f(AB,BP)＝eq \f(PC,QC)，∴eq \f(2,x)＝eq \f(2－x,y)，∴y＝－eq \f(1,2)x(x－2)，故选C.
类型二 分析函数图象
考向一 判断实际问题中的相关结论
例3 ①②③④⑤⑥⑦
【分层分析】甲车从A地出发所用的时间，行驶过程中两车与B地间的距离，图①，图②；
A地离B地的距离为240 km，甲车到达B地所用时间为3 h，240÷3＝80，80×0.5＝40 ，240－40＝200，200；
C地离B地的距离为200 km，m ，(m－0.5)，4.5 ，4，200×2＝400，400÷4＝100，2.5，4.5，eq \f(40,100)＋4.5＝4.9两，0.5 h，eq \f(49,18) h，①②③④⑤⑥⑦.
辽宁5年中考真题精
1. C 【解析】逐个分析如下：
综上所述，共有3个正确结论．
2. D 【解析】∵甲乙两人分别从A、B开始，且s表示的是两人之间的距离，∴当t＝0时s＝10 km，即A、B两村之间的距离为10 km.故①正确；两人相遇即s＝0，由图象可知，当t＝1.25时s＝0，此时两人第一次相遇，故出发1.25 h后两人相遇，故②正确；∵出发1.25 h后两队相遇，甲追上了乙，∴设甲的速度为a km/h，乙的速度为b km/h，则(a－b)×1.25＝10，解得a－b＝8 km/h.∴甲每小时比乙多骑行8 km.故③正确；相遇后，两人之间相距2 km，则当甲在乙前2 km处且甲未到C村时，设乙又骑行了t h，则at＝bt＋2，解得t＝eq \f(1,4)，即乙又骑行了15 min.由图象可知，当甲到达C村时，乙距离C村还有6 km，乙再骑行0.5小时到达C村，∴乙的速度为6÷0.5＝12 km/h，则甲的速度为12＋8＝20 km/h，∴甲从第一次相遇到到达C村共骑行20×(2－1.25)＝15 km，则乙再骑行13 km的时间为eq \f(13,12)×60＝65 min，故④正确．故正确结论的个数是4个．
针对训练
1. C 【解析】①由题图知甲乙两地相距100 km，故结论①正确；②由题图知，慢车从乙地驶往甲地用了2.5小时，则慢车的速度为eq \f(100,2.5)＝40 km/h，快车的速度为eq \f(100－40×1,1)＝60 km/h，故结论②错误；∵eq \f(100,60)＝eq \f(5,3)h，∴快车从甲地驶往乙地共用时eq \f(5,3) h，故结论③正确；100－40×eq \f(5,3)＝eq \f(100,3) km，故结论④正确．综上所述，正确的结论有3个．
2. C 【解析】由题意和图象可得A地和B地相距1200 m，故①正确；因为小明出发2 min后，小明的爸爸出发，所以a＝2，因为爸爸将身份证送给小明后，又按原路原速返回，所以爸爸行驶4 min后追上小明，又小明的速度为1200÷10＝120 m/min，所以b＝120×6＝720，故②正确；由题意和图象可知，小明的爸爸共行驶720×2＝1440 m，所以爸爸的速度为1440÷(10－2)＝180 m/min，故③错误；当爸爸出发后但没有追上小明时两人相距120 m，则180(x－2)＋120＝120x，解得，x＝4，当爸爸返回时两人相距120 m，则180(x－6)＋120(x－6)＝120，解得，x＝6.4，所以当小明爸爸出发2 min或4.4 min时两人相距120 m．故④正确. 综上所述确的结论有3个．
考向二 函数图象与几何图形中的对应关系
例4 A
【分层分析】点P的运动路程，线段PE的长度，不变，不变，减小，减小，4，4＋4eq \r(2)，4eq \r(2)，90°，4，正方形，45°，4＋4eq \r(2)－8＝4eq \r(2)－4，CP·sin45°＝(4eq \r(2)－4)×eq \f(\r(2),2)＝4－2eq \r(2).
辽宁近年中考真题精选
1. B 【解析】由题图②可知，AE＝3，BE＝7－3＝4，当x＝6时，如解图，点P在BE上，且AE＝PE＝3.∵AE⊥BE，PQ⊥CD，四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠EQP＝90°，∠AED＋∠BEC＝∠AED＋∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BEC，∴△ADE≌△EQP，∴DE＝QP＝y，易知△EPQ∽△EBC，∴eq \f(PQ,BC)＝eq \f(EP,EB)，即eq \f(y,BC)＝eq \f(3,4)，∴BC＝eq \f(4,3)y，∴AD＝eq \f(4,3)y，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2＋AD2＝AE2，即y2＋(eq \f(4,3)y)2＝32，解得y＝eq \f(9,5)(负值已舍去)．
第1题解图
针对训练
1. C 【解析】如解图所示，过点B、D分别作y＝2x＋1的平行线，交AD、BC于点E、F.由图象和题意可得AE＝4－3＝1，CF＝8－7＝1，BE＝DF＝eq \r(5)，BF＝DE＝7－4＝3，则AB＝eq \r(BE2－AE2)＝eq \r(5－1)＝2，BC＝BF＋CF＝3＋1＝4，∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝2×4＝8.故选C.
第1题解图
2. A 【解析】由函数图象可知，当E点和B点重合时，BF取得最大值为10，∴BF＝10，∴BD＝10，又∵CD＝6，∴BC＝eq \r(102－62)＝8，如解图①，过F点作FH⊥BC，交CB延长线于点H，在HC上截取HG＝FH，∴∠FGH＝45°，∵DE⊥EF，∴∠FEH＋∠DEC＝90°，∵∠C＝90°，∴∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，∴在△DEC和△EFH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠C＝∠H＝90°,∠EDC＝∠FEH,DE＝EF))，∴△DEC≌△EFH，∴FH＝EC＝HG＝x，HE＝DC＝6，如解图②，当BF⊥FG时，BF最小，此时，CG＝6，∴BG＝2，∴BF＝BG·sin∠FGH＝eq \r(2)，故选A.
序号
逐个分析
正误
①
由题图可知，晓林经过20分钟行走4000米，则速度是4000÷20＝200米/分，即两人同行的速度是200米/分
√
②
由晓林爸爸返回后晓林继续前行5分钟，得m＝20－5＝15，晓林15分钟行走200×15＝3000米，则n＝3000
√
③
根据题意，爸爸经过45－15＝30分钟返回到家，返程共走了3000米，则爸爸返回的速度是3000÷30＝100米/分，∴爸爸开始返回5分钟后，走过了5×100＝500米，则晓林开始返回时与爸爸的距离为1000＋500＝1500米，不是1800米
×
④
设运动时间为t分钟，晓林返回前，两人相距900米，则200×(t－15)＋100×(t－15)＝900，解得t＝18；当晓林返回后，两人相距900米，则由图象可知，晓林返回的速度为4000÷(45－20)＝160米/分，则160×(t－20)＋900＝100×(t－20)＋1500，解得t＝30，即运动18分钟或30分钟时，两人相距900米
√