福建省泉州第五中学2024届高三下学期适应性监测（二）数学试题

这是一份福建省泉州第五中学2024届高三下学期适应性监测（二）数学试题，共15页。试卷主要包含了考生作答时，将答案答在答题卡上，已知，若，则的最小值等于，若，且与存在且唯一，则，已知函数，则，设是复数，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共19题，满分150分，共6页。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ）
A． B． C．2.4 D．2.5
2．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ）
A．直线平面PCD B．直线AF与平面PBC所成角的最小值是
C．直线直线PC D．三棱锥的体积随BF的增大而减小
5．2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7．若，且与存在且唯一，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过的直线l，使得取到最大值
D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．在上的最大值为 B．为偶函数
C．为奇函数 D．在上单调递减
10．设是复数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
11．定义在R的函数满足：任意，则（ ）
A．恒成立
B．可能是周期函数，且没有最小正周期
C．若在R上单调，则一定是奇函数
D．若在R上单调，则存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件A为“五名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选安全防范服务”，则________．
13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为_________．
14．在四面体ABCD中，，且，则该四面体的外接球表面积为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
己知数列和的各项为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
16．（15分）
如图，四棱锥中，平面ABCD，底面是边长为2的菱形，，点E、F、G分别为线段CD、PD、PB的中点．
（1）证明：平面PAD；
（2）求平面AFG与平面PBC夹角的余弦值；
（3）设直线PC与平面AFG的交点为Q，求四边形AFQG的面积．
17．（15分）
在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱．
（1）求的概率；
（2）求X的方差；
（3）若，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？
18．（17分）
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．
例如，数3721也可以表示为：
一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为
．
其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．
（1）令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
（2）若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）
（3）十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？
如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
19．（17分）
已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线AB的方程为．
（1）请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
（2）若直线AB经过点，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，，若，求的值；
（3）点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：的外接圆过焦点F．
泉州五中2024届高中毕业班高考适应性监测（二）
数学参考答案
一、选择题：
二、填空题：
12． 13．1215 14．
三、解答题：
15．（1）当时，， 1分
由，知，两式相减得
， 2分
（舍）或，即，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列， 4分
． 5分
又． 6分
（2）
7分
则
当n为偶数时； 10分
当n为奇数时，． 12分
所以 13分
16．解：（1）取线段AB的中点M，连接ME、MG，
点E为线段CD的中点，
，
又平面PAD，平面PAD
平面PAD， 2分
中，点G为线段PB的中点，点M为线段AB的中点，
，又平面PAD，平面PAD
平面PAD， 3分
又
∴平面平面PAD，又平面MEG
平面PAD 5分
（2）设平面AFG与平面PBC夹角为，连接BD和AC交于点O，过点O作直线OH垂直于平面ABCD，
如图，以O为坐标原点，以向量为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设平面AFG的法向量为，则，取 7分
设平面PBC的法向量为，则，取 8分
则，即平面AFG与平面PBC夹角的余弦值为． 10分
（3）设，
则，故，
依题意可得向量与共面，由平面向量基本定理可得，存在实数m，n，使得 12分
得，故，故，又 13分
14分
故四边形AFQG的面积为． 15分
17解：（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设分别表示主持人打开1，2，3，4号箱子，
则，且两两互斥．
由题意可知，事件的概率都是，，． 4分
由全概率公式，得． 5分
（2）依题意可得
，同理可得， 6分
故X的分布列为：
7分
9分
（3）在主持人打开1号箱的条件下，4号箱、2号箱、3号箱里有奖品的概率分别为
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选4号或3号箱． 15分
18．（1）解：将集合B中的元素都乘以，
得集合
中的最大数为．在10进制中，从624起从大到小排列的第100个数是，这就是中的元素按从大到小顺序排列的第100个数，
所以第100个数为． 5分
（2）解：，．
∴从到中，对应的二进制数从到中，最多六位数．最高位只能是1，
∴0的个数只能是1个，2个，3个，4个，5个，
或或或或或，
有共6个；
有个；
有个；
有个；
有个；
有个．
． 11分
（3）解：假设存在这样的k进制数，
则
①要想使且，∴x，y，z中必有大于9的数，则；
②
综上，
所以，
综上可知，满足题意的k进制数有3个，分别为：． 17分
19．（1）解：若同时满足①②：由，可得AB过焦点，
当时，而，所以①②不同时成立
若同时满足①③由①，可得AB过焦点，
因为直线AB的方程为，不可能过焦点，所以①③不同时成立
只能同时满足条件②③，因为②；
且直线AB的方程为，所以，解得．
所以抛物线C的标准方程为． 5分
（2）解：设直线AB的方程为，
联立方程组，整理得，
则．因为，直线AN，BN的斜率之和为0，
即，
所以，
即，
所以，即． 10分
（3）解：设过点A，B，E的三条切线分别为，倾斜角分别为，
令，
由得：
所以，
联立直线方程可得
联立直线方程可得
又，
． 17分
部分选择题填空题的解答：
6．解：由题设，设，则，
当单调递减，当单调递增，
所以，即，
综上，，即，所以，
设P是直线上的点，是圆上的点，
而目标式为，
由，故．故选：A．
7．解：由，得，即，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，所以，
（或，两解中有一解大于经验证此情况不存在）
所以，经检验符合题意，所以，
因为，所以，所以，
则，解得，
所以．故选：B．
8．解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
对于B项：设直线，与双曲线联立，得：
，
设，由根与系数关系得：，
所以线段PQ中点，
将直线，与渐近线联立得点S坐标为，
将直线与渐近线联立得点R坐标为，
所以线段RS中点，
所以线段PQ与线段RS的中点重合．所以，对任意的直线l，都有，故B项不正确；
对于C项：因为为定值，当k越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷，
所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；
对于D项：联立直线l与渐近线，解得,
联立直线l与渐近线，解得由题可知，，
，解得，所以，故D项正确．故选D．
11．解：A．令，则，于是恒成立
B．符合题意，是周期函数，且没有最小正周期
C．令，则，解得或，
时，令，于是，这与在R上单调矛盾，
所以，同理，所以，令，则，
所以，则一定是奇函数
D．由B，若在R上单调，则，若，则，
令，则，这与在R上单调矛盾，
所以不存在，同理，不存在．
14．解：如图，作平面ABC，连接AH，HB，HC，
易得，因平面DAH，
所以平面DAH，平面DAH，故，
由题可得，则．
不妨设，则有①，
中，由余弦定理，，
在中，②，
将两式相减化简即得：．
取线段AC中点E，过点E作平面ABC，
其中点O为外接球的球心，设外接球半径为R，
由余弦定理求得，
在直角梯形HEOD中，，由计算可得：，
则该四面体的外接球表面积为．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
D
C
C
C
B
B
D
BD
BC
ABC
X
1
3
4
P
k
x
y
z
①
12
81
13
5
11
11
②
18
54
19
2
14
11
③
27
36
28
1
7
19