2023-2024学年安徽省皖北县中联盟联考高一下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年安徽省皖北县中联盟联考高一下学期期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A，B满足A∪B={1,3,5,7,9}，A∩B={1,7}，A={1,5,7}，则集合B中的元素个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.复数z=1+2i31−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a=(9,m2)，b=(−1,1)，则“m=−3”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′/​/B′C′，O′A′ =2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4 2
5.某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
6.函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A. (23π,76π)B. [23π,76π]C. (23π,76π]D. [23π,76π)
7.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2AA1，点O为底面ABCD的中心，则异面直线OB1与CC1所成的角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
8.已知△ABC中，AO=λAB+(1−λ)AC，且O为△ABC的外心.若BA在BC上的投影向量为μBC，且cs∠AOC∈[13,23]，则μ的取值范围为( )
A. [15,310]B. [23,56]C. [43,53]D. [15,35]
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在学校组织的《爱我中华》主题演讲比赛中，有10位评委对每位选手进行评分(评分互不相同)，将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列选项正确的是( )
A. 剩下评分的平均值变大B. 剩下评分的极差变小
C. 剩下评分的方差变小D. 剩下评分的中位数变大
10.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为2 2，则( )
A. 圆台的母线与底面所成的角为45∘
B. 圆台的侧面积为8 2π
C. 圆台的体积为143π
D. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为40π
11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论错误的是( )
A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B. 若BB′=3，sin∠ABB′=5 314，则A′B′=2
C. 若AB=2A′B′，则AB′= 10BB′
D. 若A′是AB′的中点，则△ABC的面积是△A′B′C′面积的5倍
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4:3:2:1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为 ．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
14.人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则其曼哈顿距离为d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|，余弦相似度为cs(A,B)=x1 x12+y12×x2 x22+y22+y1 x12+y12×y2 x22+y22，余弦距离为1−cs(A,B)．已知0<α<β<π2，M(13csα,13sinα)、N(8csβ,8sinβ)、P(13cs(α+β),13sin(α+β))、Q(5cs2β,5sin2β)，若cs(M,P)=35，cs(M,N)=1213，则d(M,Q)= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键部件的某项指标的情况，随机抽取了100件关键部件的该项指标数据，按[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求m的值;
(2)估计样本中指标数据的70%分位数．
16.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcsC+ccsB)tanB=2asinB.
(1)求B;
(2)若b=2，sin2B=6sinAsinC，求△ABC的周长．
17.(本小题12分)
某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分.甲答对每道题的概率为12，乙答对每道题的概率为p(0(1)求p的值;
(2)求甲、乙得分之和为30分的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，AD/​/BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD= 2CD=BC=2．
(1)求证：MN/​/平面ABCD;
(2)求证：CD⊥平面PBD;
(3)若直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为 33，求二面角B−PC−D的正切值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)满足f(x)=13f(x+3)+n，且f(1)=2，当x∈[3,6]时，f(x)=3x2−15x+ 30.函数g(x)=lg2(2+74x−1).
(1)求实数n的值;
(2)当x∈[0,3)时，求f(x)的解析式;
(3)设ℎ(x)=2sinx+λcs2x，是否存在实数λ，使不等式f[ℎ(x)]>g[ℎ(x)]在x∈[0,π2]时恒成立?若存在，求实数λ的取值范围;若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.B
6.C
7.C
8.B
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.60
13.6 2+4 5
14.725
15.解：(1)由图可知，5×(0.02+m+0.05+0.08+0.02)=1，
解得m=0.03．
(2)由频率分布直方图可知，数据小于25的指标数据所占比例为10%+15%+25%=50%，，
数据小于30的指标数据所占比例为10%+15%+25%+40% = 90%，
所以70%分位数一定在[25,30)内，由25+0.70−，
所以估计样本中指标数据的70%分位数为27.5．
16.解：(1)由正弦定理得(sinBcsC+sinCcsB)⋅sinBcsB=2sinAsinB，
即sin(B+C)⋅sinBcsB=2sinAsinB，sinAsinBcsB=2sinAsinB，
又sinAsinB≠0，所以csB=12，
又0(2)由sin2B=6sinAsinC得b2=6ac=4，所以ac=23，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，
所以(a+c)2=b2+3ac=4+2=6，所以a+c= 6，
故△ABC的周长为2+ 6．
17.解：(1)设A=“甲答对第一题”，B=“乙答对第一题”，则P(A)=12，P(B)=p，
因为A与B相互独立，所以A与B相互独立．
由于事件“第一题至少一人答对”的对立事件是“第一题甲、乙都答错”，
根据对立事件的性质，得第一题至少一人答对的概率为1−P(AB)=1−(1−12)(1−p)=12+12p，
由题意可知，12+12p=56，解得p=23．
(2)设A1表示甲答对1道题目，A2表示甲答对2道题目;B1表示乙答对1道题目，B2表示乙答对2道题目，则P(A1)=12×(1−12)+(1−12)×12=12，P(A2)=12×12=14;
P(B1)=23×(1−23)+(1−23)×23=49，P(B2)=23×23=49，
设C表示甲、乙得分之和为30分的事件，则C=A1B2+A2B1，
因为甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响，
所以A1与B2相互独立，A2与B1相互独立，且A1B2与A2B1互斥，
则P(C)=P(A1B2+A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=12×49+14×49=13．
18.解：(1)证明：法一：连接AC，
在△ACP中，因为M、N为对应边上的中点，
所以MN为中位线，MN//AC，
又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴MN/​/平面ABCD；
法二：设AB中点为S，BC中点为T，连接SM、ST、TN，
在△ABP中，因为S、M为对应边上的中点，
所以SM为中位线，SM//BP且SM=12BP，
同理，在△CBP中，TN//BP且TN=12BP，
∴TN//SM且TN=SM，
∴四边形TNMS为平行四边形，
∴MN//ST，
又MN⊄平面ABCD，ST⊂平面ABCD，
∴MN/​/平面ABCD；
(2)在四边形ABCD中，AD/​/BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD= 2CD=BC，
所以△ABD，△BCD都为等腰直角三角形，即CD⊥DB，
又因为平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，平面PBC∩平面ABCD=BC，
所以直线PB⊥平面ABCD，
又CD⊂平面ABCD，
所以PB⊥CD，
又PB∩BD=B，PB，BD⊂平面PBD，
所以CD⊥平面PBD．
(3)∵直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为 33，且PB⊥平面ABCD，
∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDB，
又BC=2，
则AB=1，CD=BD= 2，
∴在Rt△PBD中，cs∠PDB=BDPD= 33，
∴PD= 6，PB=2，
设BC的中点为E，连接DE，过点E作PC的垂线交PC于F，连接DF，
由(1)知，DE⊥CB，DE⊥PB，且PB、BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，
则DE⊥平面PBC，
∵PC⊂平面PBC，
∴DE⊥PC，
∵DE、EF⊂平面DEF，
∴PC⊥平面DEF，
∵DF⊂平面DEF，
∴PC⊥DF，
又PC⊥EF，
则∠DFE是二面角B−PC−D的平面角，
∵DE=AB=1，EF⊥CF，∠PBC=90∘，BC=PB=2，
∴CF=EF，∴CE= 2EF=1，
∴EF= 22，
设二面角B−PC−D的平面角为θ，则二面角B−PC−D的正切值为tanθ=DEEF= 2．
19.解：(1)当x=1时，x+3=4，故f(1)=13f(4)+n，
因为x∈[3,6]时，f(x)=3x2−15x+30，所以f(4)=18，
因为f(1)=2，所以2=13×18+n，解得n=−4．
(2)当x∈[0,3)时，x+3∈[3,6)，
则f(x+3)=3(x+3)2−15(x+3)+30=3x2+3x+12，
又f(x)=13f(x+3)−4，
故f(x)=13f(x+3)−4=13(3x2+3x+12)−4=x2+x，
所以当x∈[0,3)时，f(x)=x2+x．
(3)由2+74x−1>0，即2×4x+54x−1>0⇒4x−1>0⇒x>0，
所以g(x)=lg2(2+74x−1)的定义域为(0,+∞)，
故ℎ(x)=2sinx+λcs2x>0在x∈[0,π2]时恒成立
即ℎ(x)=2sinx+λcs2x=−2λsin2x+2sinx+λ>0在x∈[0,π2]时恒成立，
则ℎ(0)>0ℎ(π2)>0，即λ>0−λ+2>0，解得0<λ<2，
因为ℎ(x)=−2λsin2x+2sinx+λ=−2λ(sinx−12λ)2+12λ+λ，
又因为x∈[0,π2]，所以sinx∈[0,1]，
当0<λ≤12时，ℎ(x)=−2λ(sinx−12λ)2+12λ+λ在x∈[0,π2]上单调递增，
故ℎ(x)∈[λ,−λ+2]⊆(0，3)．
当12<λ<2时，ℎ(x)=−2λ(sinx−12λ)2+12λ+λ在x∈[0,π2]上先增后减，
在x=0或π2处取得最小值，且ℎ(0)=λ∈(0,3)，ℎ(π2)=2−λ∈(0,3)，ℎ(x)max=12λ+λ，
其中φ(λ)=12λ+λ为对勾函数，在(12, 22)上单调递减，在( 22,2)上单调递增，
又φ( 22)= 2，φ(12)=32，φ(2)=94，
故φ(λ)=12λ+λ∈[ 2,94)⊆(0,3)，
综上，ℎ(x)⊆(0,3)．
故只需考虑f(x)在x∈[0,3)的情况即可，
因为y=2+74x−1在(0,+∞)上单调递减，
根据复合函数的单调性得到g(x)=lg2(2+74x−1)在(0,+∞)上单调递减，
又x∈[0,3)时，f(x)=x2+x=(x+12)2−14图象的对称轴为x=−12，开口向上，
故f(x)=x2+x在x∈[0,3)上单调递增，
当x∈[0,3)时，令k(x)=f(x)−g(x)=x2+x−lg2(2+74x−1)，
则k(x)在x∈[0,3)上单调递增，
其中k(1)=1+1−lg2133<0，k(2)=6−lg23715>0，
由零点存在性定理可知：∃x0∈(1,2)使得k(x0)=0，
又f[ℎ(x)]>g[ℎ(x)]，故需要满足ℎ(x)>x0，所以只需满足ℎ(x)min>x0，
当0<λ≤12时，ℎ(x)min=λ，符合要求;
当12<λ<2时，则ℎ(0)=λ>x0ℎ(π2)=2−λ>x0，可得x0<λ<2−x0，与x0∈(1,2)矛盾；
综上，λ不存在．