2023-2024学年浙江省绍兴市高二下学期6月期末数学试题（含答案）

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这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市高二下学期6月期末数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2A. 2∈BB. ∁RA∪B=RC. A⊆BD. A∩B≠⌀
2.若z1=1+2i，z2=2+i，则z1z2=
A. 45+35iB. 45−35iC. 35+45iD. 35−45i
3.若函数f(x)=2x2+ax−b在x∈[0,1]上有两个不同的零点，则下列说法正确的是
A. b2+8a>0B. a−b≥−2C. b<0D. −2≤a≤0
4.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，(a−b)⊥(3a+b)，则向量a与b夹角的余弦值是
A. −14B. 14C. − 154D. 154
5.已知csπ4+α=45，π4<α<74π，则cs 2α=
A. −725B. 725C. −2425D. 2425
6.将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子至少放1个小球，则不同的放法种数是
A. 2640B. 2160C. 1800D. 1560
7.设A，B为两个随机事件，若P(A)=12，P(B)=13，P(B|A)=14，则P(B|A)=
A. 34B. 712C. 512D. 14
8.已知函数f(x)的定义域为[1,2]，对定义域内任意的x1，x2，当x1≠x2时，都有|f(x1)−f(x2)|A. 若fx=x2+x，则k<10
B. 若f(x)=12kx2−x，则13≤k≤12
C. 若f(1)=f(2)，则fx1−fx2D. 函数y=f(x)和y=f(x)−kx在[1,2]上有相同的单调性
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x，y都是正实数，则下列结论正确的是
A. xy+yx≥2B. (x+y)1x+1y≥4
C. x+y≥1+xyD. x2+y2≥2(x+y−1)
10.四位同学各掷大小一致、质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．四位同学的统计结果如下，则可能出现点数6的是
A. 平均数为3，中位数为2B. 平均数为2，方差为2.4
C. 中位数为3，众数为2D. 中位数为3，方差为2.8
11.已知函数f(x)=sin(πx)+esinx，则下列说法正确的是
A. f(x)≤1+e恒成立B. f(x)在[0,π]上单调递增
C. f(x)在[−π,0]上有4个零点D. f(x)是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算lg23·lg35·lg58=__________．
13.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，则四面体EADD1的外接球的表面积是__________．
14.在平面四边形ABCD中，AB=AD=3，∠ADC=∠ABC2=π3，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2−S1的值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+2π3+sin2x．
(1)求fπ4；
(2)求f(x)的单调递增区间．
16.(本小题12分)
有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，每次猜谜的结果相互独立．
(1)若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？
17.(本小题12分)
如图1，在四边形ABCD中，AD // BC，AB⊥AD，AB=2，AD=4，现将△ABC沿着AC进行翻折，得到三棱锥P−ACD，且平面APD⊥平面ACD，如图2．
(1)若AP与平面ACD所成的角为π3，证明：AP⊥CD；
(2)若BC=3，求平面APC与平面PCD夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=1+a−12x−ax．
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当10在(0,a)上恒成立．
19.(本小题12分)
已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn)，xi∈R，i=1，2，…，n}(n≥2)，对于A=(a1,a2,…,an)，B=(b1,b2,…,bn)∈Sn，定义A与B之间的距离为d(A,B)=i=1nai−bi．
(1)若A=(1,1)，B=(x,y)∈S2，求所有满足d(A,B)=2的点(x,y)所围成的图形的面积；
(2)当xi∈{0,1}(i=1，2，…，n)时，A，B∈Sn，I=(0,0,…,0n个0)∈Sn，并且d(I,A)=d(I,B)=p≤n，求d(A,B)的最大值(用p表示)；
(3)当xi∈{0,1,2}(i=1，2，…，n)时，求集合Sn中任意两个元素之间的距离的和．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.A
5.C
6.D
7.B
8.C
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.3
13.41π4
14.9 34
15.解：(1)∵f(x)=sin(2x+2π3)+sin2x
=sin2x⋅cs2π3+cs2x⋅sin2π3+sin2x
=12sin2x+ 32cs2x
=sin(2x+π3)，
∴f(π4)=sin⁡(2×π4+π3)=sin⁡5π6=12；
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π3)，
∴令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)．
16.解：(1)记张某猜对A，B谜语这两个事件分别为A，B，
则P(A)=0.8，P(B)=0.5，
张某猜对谜语的道数为随机变量X，则X的取值可以为：0，1，2，
PX=0=1−0.81−0.5=0.1，
PX=1=0.8×1−0.5+1−0.8×0.5=0.5，
PX=2=0.8×0.5=0.4，
则随机变量X的分布列为：
EX=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3；
(2)如果先猜A谜语，那么他将有0.2的概率得0元，
有0.8×(1−0.5)= 0.4概率得10元，
有0.8×0.5=0.4概率得30元，
此时，他的奖金期望是0×0.2+10×0.4+30×0.4=16．
如果先猜B谜语，那么他的奖金期望是0×0.5+20×0.5×(1−0.8)+30×0.4=14．
因为16>14，所以他应选择先猜A谜语．
17.(1)证明：过P作PQ⊥AD于点Q，
因为平面APD⊥平面ACD，平面APD∩平面ACD=AD，PQ⊂平面APD，
所以PQ⊥平面ACD，
则∠PAQ为直线AP与平面ACD所成的角，
所以∠PAQ=∠PAD=π3，
又因为AP=AB=2，AD=4，
所以PD2=AP2+AD2−2AP⋅AD⋅csπ3=12，
所以AD2=AP2+PD2，所以AP⊥PD，
因为AB⊥BC，所以AP⊥PC，
又PD∩PC=P，PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，
所以AP⊥平面PCD，
因为CD⊂平面PCD，
所以AP⊥CD．
(2)解：过P作PE⊥AD于点E，
因为平面APD⊥平面ACD，平面APD∩平面ACD=AD，PE⊂平面APD，
所以PE⊥平面ACD，
以点E为原点，ED，EP所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，
在四边形ABCD中，因为AEAB=ABBC，
所以AE=43，PE= PA2−AE2=2 53，
所以A(0,−43,0)，P(0,0,2 53)，C(2,53,0)，D(0,83,0)，
设平面APC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
因为AP=(0,43,2 53)，AC=(2,3,0)，
所以m⋅AC=0,m⋅AP=0,即2x1+3y1=0,43y1+2 53z1=0,
取x1=3，则y1=−2，z1=4 55，
所以m=(3,−2,4 55).
设平面DPC的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
因为DP=(0,−83,2 53)，DC=(2,−1,0)，
所以n⋅DC=0,n⋅DP=0,即2x2−y2=0,−83y2+2 53z2=0,
取x2=1，得y2=2，z2=8 55，
所以n=(1,2,8 55)，
所以cs=m⋅n|m||n|=3 8989，
所以平面APC与平面PCD夹角的余弦值为3 8989．
18.解：(1)当a=e时，f(x)=1+(e−12)x−ex，
所以f′(x)=e−12−ex，f′(1)=−12，
又f(1)=12，
所以，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−12=(−12)(x−1)，即y=−12x+1．
(2)证明：因为f(x)=1+(a−12)x−ax，所以f′(x)=a−12−axlna.
当1又因为f′(0)=a−12−lna>a−12+1−a>0，且当x→+∞时，f′(x)<0，
所以，存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=0，
所以，f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0+∞)上单调递减．
①当x0≥a时，因为f(x)在(0,a)上单调递增，
所以，对于x∈(0,a)，f(x)>f(0)=0恒成立
②当x0所以，只要证当10，
即证当10恒成立，
设u(x)=1+x(x−12)−xx，当x∈(1,2)时，u(x)=1+x(x−12)−xx>1+x(x−12)−x2=1−12x>0，
所以，当10恒成立．
综合 ① ②可知，当10在(0,a)上恒成立．
19.解：(1)由A=(1,1)，B=(x,y)，d(A,B)=2，得|x−1|+|y−1|=2，
所以点(x,y)所围成的图形是以(−1,1)，(1,−1)，(3,1)，(1,3)为顶点的正方形，
所以，图形的面积为8．
(2)d(I,A)=i=1n|ai−0|=i=1nai=p，同理d(I,B)=i=1nbi=p，
①当n−p≥p，即n≥2p时，
d(A,B)=i=1n|ai−bi|≤i=1n|ai|+i=1n|bi|=p+p=2p，
当A=(1,1,⋯,1p个1,0,0,⋯,0(n−p)个0)，B=(0,0,⋯,0(n−p)个0,1,1,⋯,1p个1)时，等号成立；
②当n−pd(A,B)=i=1n|ai−bi|=i=1n|ai−1+1−bi|≤i=1n|ai−1|+i=1n|1−bi|=n−p+n−p=2n−2p，
当A=(1,1,⋯,1p个1,0,0,⋯,0(n−p)个0)，B=(0,0,⋯,0(n−p)个0,1,1,⋯,1p个1)时，等号成立；
所以，d(A,B)max=2p,n≥2p,2n−2p,p≤n<2p.
(3)当xi∈{0,1,2}(i=1，2，⋯，n)时，Sn中共有3n个元素，
对于所有的元素X=(x1,x2,⋯,xn)中的xk(k=1,2,⋯,n)共有3n−1个0，3n−1个1，3n−1个2，
因为这三个数字之间只有|0−1|=1，|0−2|=2，|1−2|=1三种不为0的结果，
所以，对每一个确定的k(k=1,2,⋯,n)，所有的xk之间的距离的和为3n−1(3n−1+2⋅3n−1+3n−1)=4⋅32n−2，
所以集合Sn中任意两个元素之间的距离的和为4n⋅32n−2. X
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4

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