山东省青岛市部分学校2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省青岛市部分学校2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

亲爱的同学们，经过一段时间的初中数学学习，你一定是收获满满！今天我们就一起来做一次回顾之旅吧！
温馨提示：客观题需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．主观题需将答案写在答题卡对应题号位置上．写在本试卷上无效．本试卷共三道大题，含26道小题．第1－10小题为“选择”；11－16小题为“填空”；17－25小题为“解答题”．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在下面的四个图形中，能由左图经过平移得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：D选项图形中，是由如图经过平移得到的图形，
故选：D．
2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A、∵，根据不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变可知：，当不一定小于，故选项不成立，不符合题意；
B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项不成立，不符合题意；
C、∵，当时，不等式不成立，故选项不成立，不符合题意；
D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项成立，符合题意；
故选：D．
3. 下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：A、 是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意；
B、 中含有分式，此选项不符合题意；
C、 不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意；
D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意．
故选：A．
4. 已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：∵点在第四象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴，
在数轴上表示如下：
故选：C．
5. 用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：∵命题：“在中，，则”，
∴假设为：，
故选：D
6. 如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：∵在中，，，
∴,
又将绕点A顺时针方向旋转到的位置，
∴,
∴，
故选：A
7. 如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. D.
答案：A
解析：
详解：解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：由平移的性质可知，，，，
∴，
∴，
故选：B．
9. 王老师准备用60元买钢笔和墨囊，已知一支钢笔5元；一盒墨囊8元，他购买了5支钢笔，则他最多还能买（ ）盒墨囊．
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：B
解析：
详解：解：设他还能买x盒墨囊，根据题意，得：
，
解得：，
∵x为整数，
∴他最多还能买4盒墨囊．
故选：B．
10. 如图，在△ABC中，，按以下步骤作图．若，则的长是（ ）
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F；
②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；
③作射线，交于点D；
④以点D为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；
⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，连接交于点H

A. B. 4C. 3D.
答案：B
解析：
详解：解：过D点作于K，如图，

由作法得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
答案：
解析：
详解：解：．
故答案为：
12. 不等式的解集，则m的取值范围为 ____．
答案：
解析：
详解：解：∵不等式的解集，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 线段的两端点坐标分别为，，经过平移后，点A的对应点，则点B的对应点坐标为______．
答案：
解析：
详解：解：∵点经过平移后得到像点，
∴点A的平移方式是先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴点经过平移后得到的像点的坐标为；
故答案为：．
14. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______．
答案：##
解析：
详解：函数和的图象相交于点
不等式，即解集为：函数的图像在的函数图像上方的范围
观察图可知，解集为
将代入中，
得：
解得：
因此，当时，
即函数与轴的交点为：
，即解集为：函数的图像在轴上方的范围
解集为：
综上：不等式的解集为：
故答案为：
15. 若等边内一点P到三边的距离分别为3，4，5，则的面积为______．
答案：
解析：
详解：解：如图，连接，，，过点P作于点D，于点E，于点F，
∴，，，
设等边的边长为a，即，
∴，
过点A作于点H，则，
∴在中，，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴．
故答案为：
16. 如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有______．（填序号）
答案：①②③⑤
解析：
详解：解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据题意无法确定的大小、的大小关系，
∴无法得到，故④错误；
∵，
∴，，
∴，
即，
又∵，
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
三、解答题（共72分）
17. 如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．

（1）请画出关于原点O对称的；
（2）将向右平移8个单位得到，请画出；
（3）与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）与关于点对称，理由见解析
解析：
小问1详解：
解：如图所示，即为所求；
小问2详解：
解：如图所示，即为所求；
小问3详解：
解：与关于点对称，理由如下：
由题意得，，，，，，，
∴的中点坐标分别为，，，即的中点是同一点，
∴与关于点对称．
18. 尺规作图：如图所示，一条铁路经过、两地，计划修一条经过到铁路的最短公路，并在公路上建一个维修站，使得到、距离相等．
答案：见解析
解析：
详解：如图所示，点即为所求；
19. （1）解不等式，并把解集表示在数轴上．

（2）求不等式组的解集．
（3）因式分解：．
答案：（1）；数轴见解析；（2）；（3）
解析：
详解：解：（1），
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
把解集表示在数轴上，如图所示：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：；
（3）
．
20. 如图，中，，，，过的垂直平分线上一点作于，延长线于；且，连接．
（1）求证：；
（2）的长为______．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
解：∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
小问2详解：
∵中，，，，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，，，
又∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
在中，
∵
∴
解得：，
∴，
在中，．
故答案为：．
21. 某印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数表达式是 ，乙种收费的函数表达式是 ．
（2）请你根据不同的印刷数量帮忙确定选择哪种印刷方式较合算．
答案：（1）y=0.1x+6（x≥0）；y=0.12x（x≥0）（2）当0≤x＜300时，选择乙种方式较合算；当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；当x>300时，选择甲种方式较合算．
解析：
详解：解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，
由题意，得，12=100k1，
解得：，k1=0.12，
∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；
（2）由01x+6＞0.12x，得x＜300；
由0.1x+6=0.12x，得x=300；
由0.1x+6＜0.12x，得x＞300．
由此可知：当0≤x＜300时，选择乙种方式较合算；
当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；
当x>300时，选择甲种方式较合算．
22. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．
答案：（1）见解析（2）见解析
解析：
详解：解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB．
23. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．

（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
答案：（1），
（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张
（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元
解析：
小问1详解：
解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒个；
∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材张；
故答案为：，．
小问2详解：
解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，
使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，
制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；
故
解得：，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
小问3详解：
解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
即，
解得：，
故的取值范围为；
设利润为，则，
整理得：，
∵，故随的增大而增大，
故当时，有最大值，最大值为，
则此时B种木盒的销售单价定为（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
24. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
答案：解：（1）SAS；△AFE．
（2）∠B+∠D=180°．
（3）BD2+EC2=DE2．理由见解析
解析：
详解：解：（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
AI
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AEF（SAS）．
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2．
25. 在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在第一象限，作射线．给出如下定义：如果点在的内部，过点作于点，于点，那么称与的长度之和为点关于的“内距离”，记作，即．
（1）如图1，若点在的平分线上，则___________，___________，___________；
（2）如图2，若，点（其中）满足，求的值；
（3）若，点在的内部，用含，的式子表示 （直接写出结果）．
答案：（1）2；2；4
（2）
（3）
解析：
小问1详解：
解：∵点在的平分线上，
∴，
，
故答案：2；2；4．
小问2详解：
解：过点C作轴于点M，过点C作于点N，

∵点（其中），
∴，，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：；
小问3详解：
解：过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴,
∴，
∴．
故答案为：．