新高考高中数学核心知识点全透视专题15.1导数的概念及其几何意义(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题15.1导数的概念及其几何意义(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了1 导数的概念及其几何意义，已知函数，则________等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.考查导数的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
3.与函数、曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
二、考试要求
1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.
2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如)的导数）.
三、主干知识梳理
（一）导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函数f(x)的导函数
称函数为f(x)的导函数．
（二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
（三）导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二、真题展示
1. （2023·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
2.（2023·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
考点01 导数的概念
【典例1】（2023·全国高二单元测试）若小球自由落体的运动方程为（g为重力加速度），该小球从到的平均速度为，在时的瞬时速度为，则和关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【规律方法】
1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数
考点02 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【典例2】（2023·全国高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
【典例3】（2023·全国高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y＝x4－3x2－5x＋6；
（2）y＝x·tan x；
（3）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
（4）y＝.
【总结提升】
1.求函数导数的一般原则如下：
(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；
(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.
考点03 导数的几何意义--求曲线的切线方程
【典例4】（2023·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例5】（2023·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
考点04 导数的几何意义--求切点坐标
【典例6】（2023·全国高二单元测试）若点P在曲线上，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，则点P的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例7】（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【总结提升】
已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
考点05 导数的几何意义--求参数的值(范围)
【典例8】（2023·广西桂林·高三月考（理））若曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[)，则a=（ ）
A．B．C．D．3
【典例9】（2023·南岸·重庆第二外国语学校高二月考）已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则a的值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【典例10】（2023·安徽高三月考（文））设曲线在点处的切线方程为，则___________.
【典例11】(2023·全国高考真题（理））曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【规律方法】
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
巩固提升
1．（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））设，则=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
2.(2023·全国高考真题（理））设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
3．（2023·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
4．（2023·全国高三专题练习）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5.（2023·全国高二单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是l，则（ ）
A．-3B．-2C．2D．1
6.（陕西高考真题）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．
7．（2023·全国高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
8.（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
9.（2023·全国高三月考（理））已知函数，则________.
10．（2023·山东海南省高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝csx
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
专题15.1 导数的概念及其几何意义（精讲精析篇）
一、核心素养
1.考查导数的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
3.与函数、曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
二、考试要求
1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.
2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如)的导数）.
三、主干知识梳理
（一）导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函数f(x)的导函数
称函数为f(x)的导函数．
（二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
（三）导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二、真题展示
1. （2023·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
答案：
分析：
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
2.（2023·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
考点01 导数的概念
【典例1】（2023·全国高二单元测试）若小球自由落体的运动方程为（g为重力加速度），该小球从到的平均速度为，在时的瞬时速度为，则和关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
答案：C
分析：
利用平均速度公式和瞬时速度公式，依次计算后比较即可
【详解】
由题意知，
∵，∴，，
又在时的瞬时速度为，∴，∴．
故选：C
【规律方法】
1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数
考点02 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【典例2】（2023·全国高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
答案：1
【解析】
由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【典例3】（2023·全国高二课时练习）求下列函数的导数：
（1）y＝x4－3x2－5x＋6；
（2）y＝x·tan x；
（3）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
（4）y＝.
答案：（1）4x3－6x－5；（2）；（3）3x2＋12x＋11；（4）.
分析：
利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，求各函数的导数即可.
【详解】
（1）y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；
（2）
＝＝；
（3）法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
法二：由(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
（4）法一：y′＝＝.
法二：，
∴y′＝＝.
【总结提升】
1.求函数导数的一般原则如下：
(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；
(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.
考点03 导数的几何意义--求曲线的切线方程
【典例4】（2023·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【典例5】（2023·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
，
将代入得，故选D．
【总结提升】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
考点04 导数的几何意义--求切点坐标
【典例6】（2023·全国高二单元测试）若点P在曲线上，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，则点P的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
根据导数的几何意义求斜率，再由倾斜角求斜率，建立方程求解即可.
【详解】
设点的横坐标为，
因为，
所以．
因为切线的倾斜角为150°，
所以切线的斜率为，即，
所以．
故选：D
【典例7】（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
答案：.
【解析】
设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【总结提升】
已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
考点05 导数的几何意义--求参数的值(范围)
【典例8】（2023·广西桂林·高三月考（理））若曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[)，则a=（ ）
A．B．C．D．3
答案：C
分析：
先求得，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是，得到，列出方程，即可求解．
【详解】
由题意，函数，可得，
又由曲线的切线的倾斜角的取值范围是，
可得切线的斜率的取值范围是，所以，
又因为，所以
解得.
故选：C．
【典例9】（2023·南岸·重庆第二外国语学校高二月考）已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则a的值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
答案：AD
分析：
求导函数设切点坐标为，写出切线方程并代入点得，由于有两条切线，故方程有两解，结合判别式即可求解．
【详解】
由题得，设切点坐标为，
则切线方程为，
又切线过点，可得，
整理得，
因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，
即满足，解得或．
故选：AD
【典例10】（2023·安徽高三月考（文））设曲线在点处的切线方程为，则___________.
答案：1
分析：
由题意，求导，代入，即得解
【详解】
对函数求导得，
由已知可得，解得.
故答案为：1
【典例11】(2023·全国高考真题（理））曲线在点处的切线的斜率为，则________．
答案：
【解析】
则
所以
故答案为-3.
【规律方法】
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
巩固提升
1．（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））设，则=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
答案：C
分析：
根据导数的定义，直接运算即可.
【详解】
因为，
所以
故选：C
2.(2023·全国高考真题（理））设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
3．（2023·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
答案：D
【解析】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
4．（2023·全国高三专题练习）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果.
【详解】
，即，又，所以，
故选：D.
5.（2023·全国高二单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是l，则（ ）
A．-3B．-2C．2D．1
答案：D
分析：
由题图求得函数的图象在点P处的切线方程，再求得，，从而求得答案.
【详解】
解：由题图可得函数的图象在点P处的切线与x轴交于点，与y轴交于点，则切线，
，，，
故选：D.
6.（陕西高考真题）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．
答案：
【解析】
设.
对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．
7．（2023·全国高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
答案：
【解析】
设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
8.（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
答案：4.
【解析】
当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为：．
9.（2023·全国高三月考（理））已知函数，则________.
答案：6
【解析】
由，得，
令，得，
解得.
所以.
所以.
故答案为：6
10．（2023·山东海南省高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
答案：（1）（2）
【解析】
（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝csx
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)