2024年湖北省荆门市沙洋县中考学情调研数学试卷

这是一份2024年湖北省荆门市沙洋县中考学情调研数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜1C．﹣1＜x＜1D．无解
4．（3分）下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．了解全市中学生近视情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．选出全班短跑最快的学生参加全市比赛
5．（3分）随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.00000065mm2，将0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10﹣6B．6.5×10﹣7C．65×10﹣8D．0.65×10﹣7
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．2x3﹣x3＝x3C．（x3）2＝x5D．x3•x3＝x9
7．（3分）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
8．（3分）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点C在劣弧AD上（不与点A，D重合）．设∠ABC＝25°，则∠COD＝（ ）
A．40°B．50°C．65°D．70°
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．）
11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝ ．
12．（3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于第二、四象限，k的值为 ．
13．（3分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是 ．
14．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长和绳长各是多少尺？
答：木长 尺；绳子长 尺．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为 ，sin∠AFE的值为 ．
三、解答题（本大题共有9题，计75分．将解答过程写在答题卡上指定的位置）
16．（6分）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣5+2）+|﹣2|．
17．（6分）小明根据题目，在直角△ABC中作出BD和DE，其中∠C＝90°．
（1）请你根据小明作图的痕迹，写出结论：
BD是∠ABC的 ，DE是边AB的 ．
（2）在（1）所作的图形中，若AE＝8，AC＝12，求BC的长．
18．（6分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
19．（8分）某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩；
b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98．
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．
21．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
22．（10分）为落实乡村振兴战略，某电商平台经销一种农产品，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的农产品比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种农产品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x（元/件），周销售量y（件）的三组对应值数据．
（1）求第一次每件农产品的进价；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．
23．（11分）正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F．
（1）如图1，若CE＝1，求CF的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC＝∠EBC，设CE＝x，GB＝y，试探究y与x的函数关系．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形．
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．）
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
2．（3分）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．圆台的主视图和左视图是等腰梯形，俯视图是同心圆，故此选项不符合题意；
B．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
C．正方体的三视图都是正方形，且大小一样，故此选项符合题意；
D．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜1C．﹣1＜x＜1D．无解
【解答】解：解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
故选：C．
4．（3分）下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．了解全市中学生近视情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．选出全班短跑最快的学生参加全市比赛
【解答】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解全市中学生近视情况，适合用抽样调查，故B不符合题意；
C、调查春节联欢晚会的收视率，适合用抽样调查，故C不符合题意；
D、选出全班短跑最快的学生参加全市比赛，适合用全面调查，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.00000065mm2，将0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10﹣6B．6.5×10﹣7C．65×10﹣8D．0.65×10﹣7
【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．
故选：B．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．2x3﹣x3＝x3C．（x3）2＝x5D．x3•x3＝x9
【解答】解：A．x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
B.2x3﹣x3＝x3，故本选项符合题意；
C．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
D．x3•x3＝x6，故本选项不合题意；
故选：B．
7．（3分）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【解答】解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
8．（3分）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵它的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式，
当x＝﹣3时，，
当x＝1时，，
当x＝2时，，
∴y2＜y3＜y1，
故选：C．
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点C在劣弧AD上（不与点A，D重合）．设∠ABC＝25°，则∠COD＝（ ）
A．40°B．50°C．65°D．70°
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠COD＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0，
二次函数对称轴为x＝1，则，
∴b＝﹣2a，b＞0，
∴ab＜0，故①正确；
∵过点（﹣1，0），
∴由对称可得二次函数与x轴的另一交点为（3，0），
由函数图象可得x＝2时y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故②正确；
∵x＝﹣1时y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
b＝﹣2a代入得：3a+c＝0，故③错误；
∵对称轴是直线x＝1，
∴若，
当x1+x2＞2时，点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离，
∵二次函数图象开口向下，
∴y1＞y2，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④．
故选D．
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．）
11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
12．（3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于第二、四象限，k的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，
∴k＝±2，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴2k﹣3＜0，
解得：k＜1.5，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是 ．
【解答】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长和绳长各是多少尺？
答：木长 6.5 尺；绳子长 11 尺．
【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
由题意得：，
解得：，
即绳长11尺，
故答案为：6.5，11．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为 2 ，sin∠AFE的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵BM＝BE，
∴∠BEM＝∠BME，
∵AB∥CD，
∴∠BEM＝∠GCM，
又∵∠BME＝∠GMC，
∴∠GCM＝∠GMC，
∴MG＝GC＝1，
∵G为CD中点，
∴CD＝AB＝2．
连接BF，FM，
由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF，
∴BM＝EF，
∵∠BEM＝∠BME，
∴∠FEM＝∠BME，
∴EF∥BM，
∴四边形BEFM为平行四边形，
∵BM＝BE，
∴四边形BEFM为菱形，
∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，
∴∠BNF＝90°，
∵BF平分∠ABN，
∴FA＝FN，
∴Rt△ABF≌Rt△NBF（HL），
∴BN＝AB＝2．
∵FE＝FM，FA＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，
∴Rt△AEF≌Rt△NMF（HL），
∴AE＝NM，
设AE＝NM＝x，
则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，
∵FM∥GC，
∴△FMN∽△CGN，
∴＝，
即＝，
解得x＝2+（舍）或x＝2﹣，
∴EF＝BE＝2﹣x＝，
∴sin∠AFE＝＝＝﹣1．
故答案为：2；﹣1．
三、解答题（本大题共有9题，计75分．将解答过程写在答题卡上指定的位置）
16．（6分）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣5+2）+|﹣2|．
【解答】解：原式＝9×+（﹣3）+2
＝3﹣3+2
＝2．
17．（6分）小明根据题目，在直角△ABC中作出BD和DE，其中∠C＝90°．
（1）请你根据小明作图的痕迹，写出结论：
BD是∠ABC的 平分线 ，DE是边AB的 垂线 ．
（2）在（1）所作的图形中，若AE＝8，AC＝12，求BC的长．
【解答】解：（1）由作图痕迹可知，BD是∠ABC的平分线，DE是边AB的垂线．
故答案为：平分线；垂线．
（2）∵DE是边AB的垂线，
∴∠BED＝∠C＝90°．
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠EBD，DE＝CD．
∴△CBD≌△EBD（AAS），
∴BC＝BE．
设BC＝BE＝x，
则AB＝8+x．
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
即（8+x）2＝122+x2，
解得x＝5，
∴BC的长为5．
18．（6分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC•sin60°＝18×＝9（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（9+2）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（9+2）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝18×＝9（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
19．（8分）某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩；
b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98．
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）m＝＝88，
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴n＝（90+90）＝90，
∴m＝88，n＝90；
（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．
【解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，
解得：k＝1，b＝1，
∴该函数的解析式为y＝x+1，
由题意知点C的纵坐标为4，
当y＝x+1＝4时，
解得：x＝3，
∴C（3，4）；
（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，
因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，
所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，
代入（3，4）得：4＝×3+n，
解得：n＝2．
21．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴OD⊥AC，
∵DF∥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点A为弧BD的中点，
∴．
由（1）知：，
∴，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AD∥CF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（3）解：连接CD，设AC与B交于点G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点E作EK∥AC交AB于点K，如图，
∵⊙O的半径长为5，
∴BC＝10，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝8．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABD＝∠BCD．
∵GH∥AB，
∴∠HGB＝∠ABD，
∴∠HGB＝∠DBC，
∴HG＝HB，
设HG＝BH＝x，则CH＝10﹣x，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∴，
∴x＝，
∴GH＝，
∴，
∴CG＝5，
∴AG＝AC﹣CG＝3．
∴tan∠ABD＝，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴tan∠ACD＝＝tan∠ABD＝，
设GD＝a，则CD＝2a，
∵GD2+CD2＝CG2，
∴a2+（2a）2＝52，
∵a＞0，
∴a＝．
∴GD＝．
∵∠BAC＝∠BDC，∠AGB＝∠DGC，
∴△ABG∽△DCG，
∴，
∴，
∴BG＝3．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠GAE．
∵EK∥AC，
∴∠AEK＝∠GAE，
∴∠AEK＝∠BAE，
∴AK＝EK，
设AK＝EK＝y，则BK＝6﹣y，
∵EK∥AC，
∴△BEK∽△BGA，
∴，
∴，
∴y＝2，
∴，
∴BE＝2．
22．（10分）为落实乡村振兴战略，某电商平台经销一种农产品，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的农产品比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种农产品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x（元/件），周销售量y（件）的三组对应值数据．
（1）求第一次每件农产品的进价；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）设第一次每件农产品的进价为m元，则第二次每件农产品的进价为（1+20%）m元，由题意得：
，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的解且符合题意，
答：第一次每件农产品的进价为20元；
（2）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180；x＝70，y＝90分别代入得：
，
解得，
∴y＝﹣3x+300，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣3x+300；
（3）W＝y（x﹣20）
＝（﹣3x+300）（x﹣20）
＝﹣3x2+360x﹣6000
＝﹣3（x﹣60）2+4800，
∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800．
23．（11分）正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F．
（1）如图1，若CE＝1，求CF的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC＝∠EBC，设CE＝x，GB＝y，试探究y与x的函数关系．
【解答】解：（1）由题意得：AB∥CE，AB＝BC＝3，
∴，
∴，
即：，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：m＝1；
（3）由（1）得：，
即：，
解得：，
∵∠GAC＝∠EBC，∠ACG＝∠BCF，
∴△ACG∽△BCF，
∴，
即：，
∴，
整理得：，
∵y≥0，
∴9﹣3x≥0，x≤3，
又x≥0，
∴0≤x≤3，
故：（0≤x≤3）．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形．
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值．
【解答】解：（1）①抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）∵抛物线的表达式为，
∴OA＝4，
设直线BQ的解析式为y＝kx+b1，
∵B（﹣6，0），，
∴，
解得，
∴直线BQ的解析式为，
∵N为BQ与y轴交点，
∴N（0，2），
∴AN＝2，
∵四边形ANEM是平行四边形，
∴AN∥EM且EM＝AN＝2，且点E在点M下方，
∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，
∴BM＝OA＝4，
∵B（﹣6，0），
∴M（﹣2，0）或（﹣10，0），
若M为（﹣2，0），
∵∠BME＝∠AOM＝90°，
故E（﹣2，﹣2），
若M为（﹣10，0），
∵OM＝ME＝2，此时OM＝10，（矛盾，舍去），
综上，点E的坐标为（﹣2，﹣2）；
②如图，设AM的解析式为y＝kx+b，
∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，4），
将点A（0，4）、M（﹣2，0）的坐标代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴AM的解析式为y＝2x+4，
AM与BQ相交于点P，
∴，
解得，
所以点P的坐标为，
设直线BE的解析式为y＝mx+n，
将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得：
，
解得，
所以直线BE的解析式为，
BE与AM相交于点H，
∴，
解得，
∴点H的坐标为，
∴BP＝，
BH＝，
∴，
当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，
∴OH1＝BO﹣BH＝，
∴＝＝；
方法二：提示：可证△BHP是等腰直角三角形 则等腰Rt△BH1P1，
取F（0，6），则等腰Rt△BOF，△BH1O与△BP1F相似，
∴，
∴＝BP1+FP1≥BF，
即1≥6，
故的最小值．参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
x
40
70
90
y
180
90
30
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
x
40
70
90
y
180
90
30