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第13讲 一次函数的实际应用（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课
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这是一份第13讲 一次函数的实际应用（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课，文件包含第13讲一次函数的实际应用原卷版docx、第13讲一次函数的实际应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
待定系数法求一次函数解析式：
具体步骤：
①设函数解析式——。
②找点——经过函数图像上的点。
③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。
④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。
⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。
分段函数：
在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
关键点：①分段函数各段的函数解析式。
②各个拐点的实际意义。
③函数交点的实际意义。
一次函数的综合：
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围。
1．函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y＝xD．y＝﹣x
【分析】把点A的坐标代入函数解析式求出k值即可得解．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣2，1），
∴﹣2k＝1，
解得k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x．
故选：D．
2．正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（ ）
A．y＝2xB．y＝xC．y＝﹣xD．y＝﹣2x
【分析】直接把x＝2时，y＝﹣1代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，
∴﹣1＝2k，
解得k＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，A（0，3），B（1，0）两点，将线段AB沿一定方向平移，设平移后A点的对应点为A′（2，5），B点的对应点为B′，则直线B′B的表达式为（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝﹣3x+11C．y＝x+3D．y＝﹣3x+3
【分析】先利用点A和点A′的坐标特征得到点平移的坐标变换规律，利用此平移规律写出点B′的坐标，然后利用待定系数法求直线B′B的解析式即可．
【解答】解：∵点A（0，3）平移后的对应点为A′（2，5），
∴点B（1，0）平移后的对应点为B′（3，2），
设直线直线B′B的表达式为y＝kx+b，
把B（1，0），B′（3，2）分别代入得，
解得，
∴直线B′B的表达式为y＝x﹣1．
故选：A．
4．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．y＝x﹣3
【分析】如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC＝AB+BC，利用直线AB的解析式求出B（0，﹣4），A（3，0），则AB＝5，则利用AO+OC＝AB+BC可求出OC＝3，所以C（0，﹣3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．
【解答】解：如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC＝AB+BC，
当x＝0时，y＝x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4），
∴OB＝4，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝3，则A（3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵AO+OC＝AB+BC，
∴3+OC＝5+4﹣OC，解得OC＝3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，﹣3）代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．
故选：D．
5．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为（ ）
A．y＝x+2B．y＝﹣x+2
C．y＝x+2或y＝﹣x+2D．y＝﹣x+2或y＝x﹣2
【分析】先求出一次函数y＝kx+b与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），
∴b＝2，
令y＝0，则x＝﹣，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴×2×|﹣|＝2，即||＝2，
解得：k＝±1，
则函数的解析式是y＝x+2或y＝﹣x+2．
故选：C．
6．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格） 的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（ ）
A．y＝8x+0.3B．y＝（8+0.3）xC．y＝8+0.3xD．y＝8+0.3+x
【分析】本题通过观察表格内的x与y的关系，可知y的值相对x＝1时是成倍增长的，由此可得出方程．
【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x；
故选：B．
7．某容器装有一个进水管和三个相同的出水管，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内在进水的同时开放一个出水管出水．每分钟单个进水管和出水管的进，出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．每分钟一个进水管进水5升
B．每分钟一个出水管出水3.25升
C．当12≤x≤24时，y随x变化的函数关系式为y＝﹣x+60
D．当12≤x≤24时，开放了1个进水管，1个出水管
【分析】根据题意和图形中的数据，可以计算出进水管和出水管的速度，从而可以判断A和B；再根据图象中的数据，可以计算出当12≤x≤24时，y与x的函数解析式，可以判断C；根据进水管和出水管的速度可以判断D．
【解答】解：由图象可得，
每分钟一个进水管进水20÷4＝5（升），故选项A正确，符合题意；
当12≤x≤24时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（16，20），（24，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当12≤x≤24时，y随x变化的函数关系式为y＝﹣x+60，故选项C错误，不符合题意；
当x＝12时，y＝﹣×12+60＝30，
则出水管的速度为为：5﹣＝3.75（升/分钟），故选项B错误，不符合题意；
∵3.75×2﹣5＝2.5，
∴当12≤x≤24时，开放了1个进水管，2个出水管，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
8．清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（ ）
A．乙提速后每分钟攀登30米
B．乙攀登到300米时共用时11分钟
C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟
D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．
【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D．
【解答】解：甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分），
10×3＝30（米/分），
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
乙攀登到300米时共用时：2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），故选项B不符合题意；
设y甲＝k1x+b1，y乙＝k2x+b2，
由函数图象得：，
解得，
∴y甲＝10x+100，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度为：30米/分，
∴乙从A到B的时间为：（300﹣30）÷30＝9，
∴t＝2+9＝11，
∴B（11，300），
∴，
解得，
∴y乙＝30x﹣30，
（3）当y甲＝y乙时，
则10x+100＝30x﹣30，
解得x＝6.5，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项C不符合题意；
从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：6.5×10+30+30×（6.5﹣2）＝65+30+135＝230（米），故选项D符合题意．
故选：D．
9．某超市推出大米销售送货上门的业务，已知购买大米的总费用（含购买大米的费用+送货上门的费用）y（元）与购买大米的数量x（千克）满足一次函数关系，且当x＝2时，y＝14；当x＝10时，y＝54，若小王一次购买大米的总支出是254元，则他购买大米的数量为（ ）
A．48千克B．49千克C．50千克D．51千克
【分析】利用待定系数法求函数解析式，再把y＝254代入求解即可．
【解答】解：设y＝kx+b（k≠0），把x＝2时，y＝14；x＝10时，y＝54，分别代入得：
，
解得：，
∴y＝5x+4，
把y＝254代入y＝5x+4得：5x+4＝254，解得x＝50，
答：他购买大米的数量为50千克．
故选：C．
10．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B
11．一次函数y＝kx+b经过点A（3，4），B（4，5），则解析式为 ．
【分析】直接把A点坐标代入y＝kx+b中求出k得到一次函数解析式．
【解答】解：把A（3，4），B（4，5）代入y＝kx+3得
，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
12．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中L甲，L乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是 ．（填序号）
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以乙比甲提前了12分钟到达，
故①正确；
③设乙出发x分钟后追上甲，则有：，
解得x＝6，
故③正确；
②由③知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×（km），
故②正确．
所以正确的结论有三个：①②③，
故答案为：①②③．
13．如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，则图②中的a的值为 ，“几何体”上方圆柱体的厎面积为 cm2．
【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24﹣18＝6（s），注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42﹣24＝18（s），再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可．
【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42﹣24＝18（s），
这段高度为：14﹣11＝3（cm），
设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18•x＝30×3，
解得x＝5，
即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5，
解得a＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），
设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），
解得S＝24，
即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．
故答案为：6，24．
14．某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数目的生产工人，该企业能x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示．
（1）这批服装一共有 件，写出点A的实际意义 ；
（2）求增加工人后y与x的函数表达式；
（3）已知这批服装的出厂价为每件80元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件的成本比原先增加了10元，问前几天的总利润恰好为9600元（利润＝出厂价﹣成本）？
【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件，点A表示该企业前5天累计生产服装200件；
（2）设增加工人后y与x的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），把A（5，200）、B（15，800）代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设前x天的总利润恰好为9600元，根据题意列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）根据图象可知，这批服装一共有800件，点A表示该企业前5天累计生产服装200件，
故答案为：800，该企业前5天累计生产服装200件；
（2）设增加工人后y与x的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），
将A（5，200）、B（15，800）代入，
得，
解得，
∴y＝60x﹣100；
（3）设前x天的总利润恰好为9600元．
当x≤5时，（80﹣50）⋅40x≤6000＜9600，不符合题意；
当x＞5时，6000+（60x﹣100﹣200）（80﹣50﹣10）＝9600．
解得x＝8．
答：前8天的总利润恰好为9600元，
15．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．
（1）当点P在线段BO上时，
①求证：△AOP≌△BOQ；
②若点P为BO的中点，求△OCQ的面积．
（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可得出OA＝OB，∠OAP＝∠OBQ，进而得出结论；
（2）可求得AC和BQ的解析式，进而求得点C的坐标，进一步得出结果；
（3）当点P在线段OB上时，可推出OC＝CQ，此时点C是BQ的中点，进而得出AQ＝AB，进一步得出结果；当点P 在BO的延长线上时，同理得出结果．
【解答】（1）①证明：当x＝0时，y＝4，
∴OB＝4，
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣4，
∴OA＝4，
∴OA＝OB，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠OBQ+∠OQB＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠OAP+∠OQB＝90°，
∴∠OAP＝∠OBQ，
∵∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴△AOP≌△BOQ（ASA）；
②解：∵OB＝4，点P是OB 的中点，
∴OP＝BP＝OB＝2，
由①知：△AOP≌△BOQ，
∴OQ＝OP＝2，
∴Q（2，0），
设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴y＝，
同理可得：直线BQ的解析式为：y＝﹣2x+4，
由得，
，
∴C（，），
∴S △OCQ＝；
（2）解：如图1，
当点P在线段OB上时，
∵∠OPC＝∠AOP+∠OAP＝90°+∠OAP，
∴OC＞OP，
∵OP＝OQ，
∴OC＞OQ，
∵∠OCQ＝∠OAB＝45°，∠COQ＝∠ABC＞45°，
∴∠COQ＞OCQ，
∴CQ＞OQ，
∴当△COQ是等腰三角形时，只有OC＝CQ，
∴∠COQ＝∠CQO，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠COQ+∠BOC＝90°，∠CQO+∠OBQ＝90°，
∴∠OBQ＝∠BOC，
∴OC＝BC，
∴CO＝BC，
∵AC⊥BQ，
∴AQ＝AB＝OA＝4
∴OP＝OQ＝AQ﹣AO＝4﹣4，
∴P（0，4），
如图2，
当点P在BO的延长线上时，
同理可得：P（0，﹣4﹣4），
综上所述：P（0，4）或P（0，﹣4﹣4）．
16．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y＝2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝2x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点H，使以O、C、H为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝2x的解析式即可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点E的坐标为（m，0），根据点F、点G、点E在同一直线上，写出点F、点G的坐标，利用|GF|＝3，列方程求解即可；
（3）根据题意使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，则分OF＝OC，CF＝OC，FO＝FC三种情况分别求出F点坐标即可．
【解答】解：（1）∵点C在直线y＝2x上，
∴2a＝4，
解得a＝2，
∴C（2，4）；
将A（6，0），C（2，4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（2）根据题意设E点坐标为（m，0），
∵点E、F、G三点在同一直线上，且点F在直线y＝2x上，点G在y＝﹣x+6上，
∴F（m，2m），G（m，﹣m+6），
又∵|FG|＝3，
∴|2m﹣（﹣m+6）|＝3，
解得m＝3或m＝1，
∴E点的坐标为（3，0）或（1，0）；
（3）存在，
设M（0，t），
∵C（2，4），
∴OC＝＝2，OM＝|t|，CM＝＝，
要使以O、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OC＝OM时，
即|t|＝2，
解得t＝±2，
∴M（0，2）或（0，﹣2）；
②当OC＝CM时，
即＝2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴M（0，8）；
③当CM＝OM时，
即＝|t|，
解得t＝，
∴M（0，）；
综上，符合条件的M点的坐标是（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，）．
长度x/m
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
待定系数法求一次函数解析式：
具体步骤：
①设函数解析式——。
②找点——经过函数图像上的点。
③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。
④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。
⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。
分段函数：
在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
关键点：①分段函数各段的函数解析式。
②各个拐点的实际意义。
③函数交点的实际意义。
一次函数的综合：
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。解决一次函数的实际应用题必须弄清楚自变量的取值范围。
1．函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y＝xD．y＝﹣x
【分析】把点A的坐标代入函数解析式求出k值即可得解．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣2，1），
∴﹣2k＝1，
解得k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x．
故选：D．
2．正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（ ）
A．y＝2xB．y＝xC．y＝﹣xD．y＝﹣2x
【分析】直接把x＝2时，y＝﹣1代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，
∴﹣1＝2k，
解得k＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，A（0，3），B（1，0）两点，将线段AB沿一定方向平移，设平移后A点的对应点为A′（2，5），B点的对应点为B′，则直线B′B的表达式为（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝﹣3x+11C．y＝x+3D．y＝﹣3x+3
【分析】先利用点A和点A′的坐标特征得到点平移的坐标变换规律，利用此平移规律写出点B′的坐标，然后利用待定系数法求直线B′B的解析式即可．
【解答】解：∵点A（0，3）平移后的对应点为A′（2，5），
∴点B（1，0）平移后的对应点为B′（3，2），
设直线直线B′B的表达式为y＝kx+b，
把B（1，0），B′（3，2）分别代入得，
解得，
∴直线B′B的表达式为y＝x﹣1．
故选：A．
4．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．y＝x﹣3
【分析】如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC＝AB+BC，利用直线AB的解析式求出B（0，﹣4），A（3，0），则AB＝5，则利用AO+OC＝AB+BC可求出OC＝3，所以C（0，﹣3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．
【解答】解：如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC＝AB+BC，
当x＝0时，y＝x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4），
∴OB＝4，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝3，则A（3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵AO+OC＝AB+BC，
∴3+OC＝5+4﹣OC，解得OC＝3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，﹣3）代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．
故选：D．
5．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为（ ）
A．y＝x+2B．y＝﹣x+2
C．y＝x+2或y＝﹣x+2D．y＝﹣x+2或y＝x﹣2
【分析】先求出一次函数y＝kx+b与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），
∴b＝2，
令y＝0，则x＝﹣，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴×2×|﹣|＝2，即||＝2，
解得：k＝±1，
则函数的解析式是y＝x+2或y＝﹣x+2．
故选：C．
6．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格） 的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（ ）
A．y＝8x+0.3B．y＝（8+0.3）xC．y＝8+0.3xD．y＝8+0.3+x
【分析】本题通过观察表格内的x与y的关系，可知y的值相对x＝1时是成倍增长的，由此可得出方程．
【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x；
故选：B．
7．某容器装有一个进水管和三个相同的出水管，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内在进水的同时开放一个出水管出水．每分钟单个进水管和出水管的进，出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．每分钟一个进水管进水5升
B．每分钟一个出水管出水3.25升
C．当12≤x≤24时，y随x变化的函数关系式为y＝﹣x+60
D．当12≤x≤24时，开放了1个进水管，1个出水管
【分析】根据题意和图形中的数据，可以计算出进水管和出水管的速度，从而可以判断A和B；再根据图象中的数据，可以计算出当12≤x≤24时，y与x的函数解析式，可以判断C；根据进水管和出水管的速度可以判断D．
【解答】解：由图象可得，
每分钟一个进水管进水20÷4＝5（升），故选项A正确，符合题意；
当12≤x≤24时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（16，20），（24，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当12≤x≤24时，y随x变化的函数关系式为y＝﹣x+60，故选项C错误，不符合题意；
当x＝12时，y＝﹣×12+60＝30，
则出水管的速度为为：5﹣＝3.75（升/分钟），故选项B错误，不符合题意；
∵3.75×2﹣5＝2.5，
∴当12≤x≤24时，开放了1个进水管，2个出水管，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
8．清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（ ）
A．乙提速后每分钟攀登30米
B．乙攀登到300米时共用时11分钟
C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟
D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．
【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D．
【解答】解：甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分），
10×3＝30（米/分），
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
乙攀登到300米时共用时：2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），故选项B不符合题意；
设y甲＝k1x+b1，y乙＝k2x+b2，
由函数图象得：，
解得，
∴y甲＝10x+100，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度为：30米/分，
∴乙从A到B的时间为：（300﹣30）÷30＝9，
∴t＝2+9＝11，
∴B（11，300），
∴，
解得，
∴y乙＝30x﹣30，
（3）当y甲＝y乙时，
则10x+100＝30x﹣30，
解得x＝6.5，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项C不符合题意；
从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：6.5×10+30+30×（6.5﹣2）＝65+30+135＝230（米），故选项D符合题意．
故选：D．
9．某超市推出大米销售送货上门的业务，已知购买大米的总费用（含购买大米的费用+送货上门的费用）y（元）与购买大米的数量x（千克）满足一次函数关系，且当x＝2时，y＝14；当x＝10时，y＝54，若小王一次购买大米的总支出是254元，则他购买大米的数量为（ ）
A．48千克B．49千克C．50千克D．51千克
【分析】利用待定系数法求函数解析式，再把y＝254代入求解即可．
【解答】解：设y＝kx+b（k≠0），把x＝2时，y＝14；x＝10时，y＝54，分别代入得：
，
解得：，
∴y＝5x+4，
把y＝254代入y＝5x+4得：5x+4＝254，解得x＝50，
答：他购买大米的数量为50千克．
故选：C．
10．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B
11．一次函数y＝kx+b经过点A（3，4），B（4，5），则解析式为 ．
【分析】直接把A点坐标代入y＝kx+b中求出k得到一次函数解析式．
【解答】解：把A（3，4），B（4，5）代入y＝kx+3得
，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
12．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中L甲，L乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是 ．（填序号）
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以乙比甲提前了12分钟到达，
故①正确；
③设乙出发x分钟后追上甲，则有：，
解得x＝6，
故③正确；
②由③知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×（km），
故②正确．
所以正确的结论有三个：①②③，
故答案为：①②③．
13．如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，则图②中的a的值为 ，“几何体”上方圆柱体的厎面积为 cm2．
【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24﹣18＝6（s），注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42﹣24＝18（s），再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可．
【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42﹣24＝18（s），
这段高度为：14﹣11＝3（cm），
设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18•x＝30×3，
解得x＝5，
即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5，
解得a＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），
设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），
解得S＝24，
即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．
故答案为：6，24．
14．某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数目的生产工人，该企业能x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示．
（1）这批服装一共有 件，写出点A的实际意义 ；
（2）求增加工人后y与x的函数表达式；
（3）已知这批服装的出厂价为每件80元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件的成本比原先增加了10元，问前几天的总利润恰好为9600元（利润＝出厂价﹣成本）？
【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件，点A表示该企业前5天累计生产服装200件；
（2）设增加工人后y与x的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），把A（5，200）、B（15，800）代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设前x天的总利润恰好为9600元，根据题意列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）根据图象可知，这批服装一共有800件，点A表示该企业前5天累计生产服装200件，
故答案为：800，该企业前5天累计生产服装200件；
（2）设增加工人后y与x的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），
将A（5，200）、B（15，800）代入，
得，
解得，
∴y＝60x﹣100；
（3）设前x天的总利润恰好为9600元．
当x≤5时，（80﹣50）⋅40x≤6000＜9600，不符合题意；
当x＞5时，6000+（60x﹣100﹣200）（80﹣50﹣10）＝9600．
解得x＝8．
答：前8天的总利润恰好为9600元，
15．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．
（1）当点P在线段BO上时，
①求证：△AOP≌△BOQ；
②若点P为BO的中点，求△OCQ的面积．
（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可得出OA＝OB，∠OAP＝∠OBQ，进而得出结论；
（2）可求得AC和BQ的解析式，进而求得点C的坐标，进一步得出结果；
（3）当点P在线段OB上时，可推出OC＝CQ，此时点C是BQ的中点，进而得出AQ＝AB，进一步得出结果；当点P 在BO的延长线上时，同理得出结果．
【解答】（1）①证明：当x＝0时，y＝4，
∴OB＝4，
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣4，
∴OA＝4，
∴OA＝OB，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠OBQ+∠OQB＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠OAP+∠OQB＝90°，
∴∠OAP＝∠OBQ，
∵∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴△AOP≌△BOQ（ASA）；
②解：∵OB＝4，点P是OB 的中点，
∴OP＝BP＝OB＝2，
由①知：△AOP≌△BOQ，
∴OQ＝OP＝2，
∴Q（2，0），
设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴y＝，
同理可得：直线BQ的解析式为：y＝﹣2x+4，
由得，
，
∴C（，），
∴S △OCQ＝；
（2）解：如图1，
当点P在线段OB上时，
∵∠OPC＝∠AOP+∠OAP＝90°+∠OAP，
∴OC＞OP，
∵OP＝OQ，
∴OC＞OQ，
∵∠OCQ＝∠OAB＝45°，∠COQ＝∠ABC＞45°，
∴∠COQ＞OCQ，
∴CQ＞OQ，
∴当△COQ是等腰三角形时，只有OC＝CQ，
∴∠COQ＝∠CQO，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠COQ+∠BOC＝90°，∠CQO+∠OBQ＝90°，
∴∠OBQ＝∠BOC，
∴OC＝BC，
∴CO＝BC，
∵AC⊥BQ，
∴AQ＝AB＝OA＝4
∴OP＝OQ＝AQ﹣AO＝4﹣4，
∴P（0，4），
如图2，
当点P在BO的延长线上时，
同理可得：P（0，﹣4﹣4），
综上所述：P（0，4）或P（0，﹣4﹣4）．
16．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y＝2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝2x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点H，使以O、C、H为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝2x的解析式即可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点E的坐标为（m，0），根据点F、点G、点E在同一直线上，写出点F、点G的坐标，利用|GF|＝3，列方程求解即可；
（3）根据题意使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，则分OF＝OC，CF＝OC，FO＝FC三种情况分别求出F点坐标即可．
【解答】解：（1）∵点C在直线y＝2x上，
∴2a＝4，
解得a＝2，
∴C（2，4）；
将A（6，0），C（2，4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（2）根据题意设E点坐标为（m，0），
∵点E、F、G三点在同一直线上，且点F在直线y＝2x上，点G在y＝﹣x+6上，
∴F（m，2m），G（m，﹣m+6），
又∵|FG|＝3，
∴|2m﹣（﹣m+6）|＝3，
解得m＝3或m＝1，
∴E点的坐标为（3，0）或（1，0）；
（3）存在，
设M（0，t），
∵C（2，4），
∴OC＝＝2，OM＝|t|，CM＝＝，
要使以O、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OC＝OM时，
即|t|＝2，
解得t＝±2，
∴M（0，2）或（0，﹣2）；
②当OC＝CM时，
即＝2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴M（0，8）；
③当CM＝OM时，
即＝|t|，
解得t＝，
∴M（0，）；
综上，符合条件的M点的坐标是（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，）．
长度x/m
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
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