高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题29三角函数特征量与图象关系的研究(原卷版+解析)

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1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的：
（1）先把y=sinx的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位；
（2） 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）；
（3） 再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）．
【题型归纳目录】
题型一：三角函数图象的平移与伸缩变换
题型二：利用三角函数图象解决函数性质问题
题型三：已知图象或性质求三角函数的解析式
题型四：综合类函数性质处理问题
【典型例题】
题型一：三角函数图象的平移与伸缩变换
例1．已知曲线，，则下面结论正确的是
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的是，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
例2．将函数图象上的点，向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
例3．将函数图象上的点，向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
变式1．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．横坐标伸长到原来的倍，再把得到的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的倍，再把得到的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变
变式2．（多选题）已知曲线，，则下面结论正确的是
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
变式3．（多选题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
变式4．（多选题）下列函数通过变换得到的解析式与函数解析式相同的有
A．函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B．函数向左平移个单位长度
C．函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D．函数向左平移个单位长度，再横坐标变为原来倍，纵坐标不变
变式5．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 ．
变式6．已知函数．
（1）用五点法画出函数在，上的大致图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）说明怎样由函数的图象得到函数的图象．
题型二：利用三角函数图象解决函数性质问题
例4．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，然后再将所得图象上的每一点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一条对称轴方程可能是
A．B．C．D．
例5．（多选题）已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
A．的图象向左平移个单位后对应的函数是偶函数
B．在上单调递减
C．当时，取最大值
D．直线与 图象的所有交点的横坐标之和为
例6．（多选题）设函数，已知在，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有
A．在有且仅有2个零点
B．在单调递增
C．的取值范围是
D．将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数
变式7．（多选题）已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是
A．点是图象的一个对称中心
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．若，则的最小值为
变式8．（多选题）已知直线是函数的一条对称轴，则
A．是奇函数
B．是的一个零点
C．在，上单调递减
D．与的图象关于直线对称
变式9．（多选题）已知直线是函数的一条对称轴，则
A．的图像关于点中心对称
B．在上有两个零点
C．在上单调递减
D．与的图象关于直线对称
变式10．已知函数，，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的值域．
题型三：已知图象或性质求三角函数的解析式
例7．已知函数（其中，，的部分图象如图所示，则函数的解析式是
A．B．
C．D．
例8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆，筒车的半径为，筒车的轴心到水面的距离为，筒车每分钟按逆时针转动2圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒从运动到点时所用时间为（单位：，且此时点距离水面的高度为（单位：．若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系（如图，则与的函数关系式为
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
例9．（多选题）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
变式11．（多选题）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
变式12．（多选题）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
变式13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆，筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：，且此时点距离水面的高度为（单位：，则与的函数关系式为 ，点第一次到达最高点需要的时间为 ．
变式14．某同学用“五点法”画函数（其中，，在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：
（1）请根据如表中的部分数据，求出函数的解析式；
（2）若定义在区间上的函数的最大值为7，最小值为1，求实数，的值．
变式15．某同学用“五点法“”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
题型四：综合类函数性质处理问题
例10．（多选题）如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有
A．经过3分钟，点首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米
例11．函数的部分图象如图所示．
（1）写出图中、的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，求方程在区间，上的解．
例12．在①函数为奇函数
②当时，
③是函数的一个零点
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，_____．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在，上的单调递增区间．
变式16．如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．
（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动后，他距离地面的高度为，求关于的函数解析式；
（2）已知在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？
变式17．已知函数的部分图象如图所示：
（1）求的解析式；
（2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象求方程在，的实数解．
变式18．在①图象过点，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知的最小正周期为，_____．
（1）求函数的解析式；
（2）将的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间．
变式19．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
①的最小正周期为，且是偶函数；
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；
③与是图象上相邻的两条对称轴，且．
问题：已知函数，，若 _____．
（1）求，的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在，上的单调递减区间．
变式20．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
①的最小正周期为，且是偶函数；
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；
③直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，且．
问题：已知函数，，若______．
（Ⅰ）求，的值；（请先在答题卡上写出所选序号再作答）
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在，上的最小值和最大值．
【过关测试】
一．选择题
1．若在，是减函数，则的最大值是
A．B．C．D．
二．多选题
2．已知曲线，，下列说法中正确的是
A．把向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到
B．把向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到
C．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到
D．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到
3．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是
A．点，是函数图象的对称中心
B．函数在上单调递减
C．函数的图象与函数的图象相同
D．若，是函数的零点，则是的整数倍
4．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是
A．点是函数图象的对称中心
B．函数的图象与函数的图象相同
C．函数在上单调递减
D．直线是函数图象的一条对称轴
5．已知函数，，是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则下列结论正确的是
A．在有且仅有3个零点
B．在有且仅有3个极值点
C．在单调递增
D．图象的一个对称中心为，
6．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述正确的是
A．，，
B．当，时，点到轴的距离的最大值为6
C．当，时，函数单调递减
D．当时，
7．对于函数，下列结论正确的是
A．把函数的图象上的各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则是函数的一个周期
B．对，若，则
C．对成立
D．当且仅当时，取得最大值
三．填空题
8．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：的最大值为 ．
9．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则 ．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为 ；平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 ．
11．已知函数，，（其中，，为常数，且有且仅有3个零点，则的值为 ，的取值范围是 ．
12．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
13．设，其中，，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是．
正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
14．2020年是苏颂诞辰1000周年．苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，当点从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处．此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点至少经过 分钟（结果取整数）进入水中．（参考数据：，，
四．解答题
15．已知函数满足条件：，且．
（1）求的解析式；
（2）由函数的图象经过适当的变换可以得到的图象．现提供以下两种变换方案：
①；
②．
请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
16．函数在上的最大值为，．
（1）若点在的图象上，求函数图象的对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．
17．已知函数，，的图象如图所示．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作．
求函数的最大值；
若函数在，内恰有2015个零点，求、的值．
18．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系，令点纵坐标为，水面纵坐标为，点转动经过的时间为分钟．（参考数据：，，
（1）求，关于的函数关系式；
（2）求点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．
19．已知，，，其中，，且的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
20．已知函数，，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在，上的值域．
21．已知函数的图象如图．
（1）求的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
22．设函数定义在上，其中．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在，上恒成立，求实数的取值范围．
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微专题29 三角函数特征量与图象关系的研究
【方法技巧与总结】
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的：
（1）先把y=sinx的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位；
（2） 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）；
（3） 再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）．
【题型归纳目录】
题型一：三角函数图象的平移与伸缩变换
题型二：利用三角函数图象解决函数性质问题
题型三：已知图象或性质求三角函数的解析式
题型四：综合类函数性质处理问题
【典型例题】
题型一：三角函数图象的平移与伸缩变换
例1．已知曲线，，则下面结论正确的是
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的是，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【解析】解：，
把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数图象，
再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，
故选：．
例2．将函数图象上的点，向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
【解析】解：将代入得：，
将函数图象上的点向左平移个单位，
得到，点，
若位于函数的图象上，
则，
则，，
则，，
由得：当时，的最小值为，
故选：．
例3．将函数图象上的点，向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
【解析】解：将代入得：．
将函数图象上的点，向左平移个单位，
得到点，，若位于函数的图象上，
则，
则，，
则，，
由得：当时，的最小值为，
故选：．
变式1．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．横坐标伸长到原来的倍，再把得到的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的倍，再把得到的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变
【解析】解：只要把函数图象上所有的点，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得函数的图象，
故选：．
变式2．（多选题）已知曲线，，则下面结论正确的是
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【解析】解：对于，曲线向左平移个单位长度，得的图象，
横坐标缩短到原来的，得的图象，
即曲线，选项正确．
对于，曲线向左平移个单位长度，得的图象，
横坐标伸长到原来的2倍，得的图象，
不是曲线，选项错误．
对于，曲线上各点的横坐标缩短到原来的，得的图象，
向左平移个单位长度，得的图象，
不是曲线，选项错误．
对于，曲线上各点的横坐标缩短到原来的，得的图象，
向左平移个单位长度，得的图象，
是曲线，选项正确．
故选：．
变式3．（多选题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
【解析】解：把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可得的图象；
再将横坐标变为原来的倍，可得的图象．
或把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到的图象；
再向左平移个单位长度，可得的图象．
故选：．
变式4．（多选题）下列函数通过变换得到的解析式与函数解析式相同的有
A．函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B．函数向左平移个单位长度
C．函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D．函数向左平移个单位长度，再横坐标变为原来倍，纵坐标不变
【解析】解：对于：数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，故正确；
对于：函数向左平移个单位长度得到的解析式，故正确；
对于：函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位，得到的解析式，故错误；
对于：函数向左平移个单位长度得到，再横坐标变为原来倍，纵坐标不变得到的解析式，故错误．
故选：．
变式5．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 ．
【解析】解：将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，可得的图象；
再把图象向右平移个单位长度得到的图象．
再根据所得图象为，，求得，且，
，
则．
变式6．已知函数．
（1）用五点法画出函数在，上的大致图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）说明怎样由函数的图象得到函数的图象．
【解析】解：（1）列表：
描点连线 得在，上的图象如图所示，
（2）由，得，，，
所以的单调增区间为，，，
由，得，，，
所以的单调减区间为，，．
（3）将的图象向右平移个单位，得函数的图象，
将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得函数的图象，
再将的图象上所有点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）就得到函数的图象．
题型二：利用三角函数图象解决函数性质问题
例4．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，然后再将所得图象上的每一点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一条对称轴方程可能是
A．B．C．D．
【解析】解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，可得的图象；
然后再将所得图象上的每一点向右平移个单位长度，得到函数 的图象．
令，可得，，
结合所给的选项，
故选：．
例5．（多选题）已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
A．的图象向左平移个单位后对应的函数是偶函数
B．在上单调递减
C．当时，取最大值
D．直线与 图象的所有交点的横坐标之和为
【解析】解：由已知：函数图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得，
对于：函数向左平移个单位，得到，显然，
故为偶函数，正确；
对于：因为，，故，显然在上不单调，亦即函数在上不单调，错误；
对于：当时，是最小值，错误；
对于：令，即，，
令或，
解得或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故所有的交点的横标之和为：，故选项正确．
故选：．
例6．（多选题）设函数，已知在，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有
A．在有且仅有2个零点
B．在单调递增
C．的取值范围是
D．将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数
【解析】解：．如图，，上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是在上的3个零点；
．，时，若函数在，有且仅有5个零点，
则，得，当时，，此时函数单调递增，故正确；
．函数的图象先右移个单位后得到，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到，故不正确；
故选：．
变式7．（多选题）已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是
A．点是图象的一个对称中心
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．若，则的最小值为
【解析】解：根据函数图象可得：，，可得，
图象过点，
可得；
将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得
再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得
即
对于：当时，，故不正确；
对于：令，可得，当时，可得是图象的一条对称轴；故正确；
对于：令，解得，故不正确；
对于，可知取得最低点横坐标，那么必然是最高点横坐标，
的周期，则的最小值为；故正确；
故选：．
变式8．（多选题）已知直线是函数的一条对称轴，则
A．是奇函数
B．是的一个零点
C．在，上单调递减
D．与的图象关于直线对称
【解析】解：直线是函数的一条对称轴，
，，，函数．
是偶函数，故错误；
令，求得，可得是的一个零点，故正确；
当，，，，函数单调递减，故正确；
显然，与的图象关于直线对称，故正确，
故选：．
变式9．（多选题）已知直线是函数的一条对称轴，则
A．的图像关于点中心对称
B．在上有两个零点
C．在上单调递减
D．与的图象关于直线对称
【解析】解：直线是函数的一条对称轴，
所以，所以，
即，
对于：所以，故正确；
对于：当，当时，，该函数只有一个零点，故错误；
对于：当，此时函数在该区间上单调递减，故正确；
对于：由于函数，故，故这两个函数的图象关于直线对称，故正确．
故选：．
变式10．已知函数，，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的值域．
【解析】解：（1）由图可知，，所以，
又函数的图象经过点，所以，
解得，因为，所以，
所以，
由得的单调递增区间为．
（2）由题意得，
则，
所以的值域为
题型三：已知图象或性质求三角函数的解析式
例7．已知函数（其中，，的部分图象如图所示，则函数的解析式是
A．B．
C．D．
【解析】解：由图象知．
，．
又图象经过点，，
．
，，
．
故选：．
例8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形（圆，筒车的半径为，筒车的轴心到水面的距离为，筒车每分钟按逆时针转动2圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒从运动到点时所用时间为（单位：，且此时点距离水面的高度为（单位：．若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系（如图，则与的函数关系式为
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【解析】解：因为，所以是以为始边，为终边的角，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为时间的函数关系是，，．
故选：．
例9．（多选题）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
【解析】解：根据函数的部分图象，可得，，
再结合五点法作图，可得，，
故函数的解析式为，
故选：．
变式11．（多选题）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
【解析】解：若，根据函数的部分图象，可得，
由，求得．
再结合五点法作图，可得，，
故函数的解析式为．
若，根据函数的部分图象，可得，
由，求得．
再结合五点法作图，可得，，故据函数．
故选：．
变式12．（多选题）如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
【解析】解：由图可知，，，则，
，
由五点作图的第三点可知，，即．
．
故选：．
变式13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆，筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：，且此时点距离水面的高度为（单位：，则与的函数关系式为 ，点第一次到达最高点需要的时间为 ．
【解析】解：因为，所以 是以 为始边，为终边的角．
由 在 内转过的角为，
可知以 为始边，以 为终边的角为，
则点 的纵坐标为，
所以点 距水面的高度 表 示为时间 的函数是，
令，得，取．
故经过 后点 第一次到达最高点．
故答案为：；5．
变式14．某同学用“五点法”画函数（其中，，在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：
（1）请根据如表中的部分数据，求出函数的解析式；
（2）若定义在区间上的函数的最大值为7，最小值为1，求实数，的值．
【解析】解：（1）由已知的表格可得，，，可得．
结合五点法作图，可得，可得，
故．
把表格补充完整为：
（2）由定义在区间，上的函数的最大值为7，最小值为1，
根据，，
当时，则当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，
求得，．
当时，则当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
求得，．
综上可得，，；或，．
变式15．某同学用“五点法“”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【解析】解：（1）表格如下：
所以．
（2）根据题意可得，
若的一个对称中心为，
则，，
解得，，且，
所以当时，取得最小值为．
题型四：综合类函数性质处理问题
例10．（多选题）如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有
A．经过3分钟，点首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米
【解析】解：由图形知，可以以点在地面上的垂足为原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，
设，表示时间．
由题意可得：，，，，
，可得，
故有点离地面的高度．
．经过3分钟，．点首次到达最低点，正确．
．第4分钟和第8分钟点距离地面的高度分别为：（4），（8）
．
第4分钟和第8分钟点距离地面一样高．正确．
．从第7分钟至第9分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在降低，
而从第9分钟至第10分钟摩天轮上的点距离地面的高度开始上升．
．由，化为：，取，可得．
结合图形可得：摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米．因此正确．
综上可得：正确．
故选：．
例11．函数的部分图象如图所示．
（1）写出图中、的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，求方程在区间，上的解．
【解析】解：（1）因为函数，则函数的最大值为3，所以，
由题意可知，在处是轴正半轴上取得第二个最大值，
令，解得，，
所以，；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，
得到函数，
由，可得，
所以或，，
解得或，，
又，，
所以方程的解为．
例12．在①函数为奇函数
②当时，
③是函数的一个零点
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，_____．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在，上的单调递增区间．
【解析】解：函数的图象相邻对称轴间的距离为，
，
，
．
方案一：选条件①为奇函数，
，，
（1），
，
．
（2）由，，
得，，
令，得，
令，得，
函数在，上的单调递增区间为，，
方案二：选条件②，
，
，，或，，
（1），
，
，
（2）由，，
得，，
令，得，
令，得，
函数在，上的单调递增区间为，，
方案三：选条件③是函数的一个零点，
，
，，
（1），
，
，
（2）由，，
得，，
令，得，
令，得．
函数在，上的单调递增区间为，．
故答案为：．
变式16．如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．
（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动后，他距离地面的高度为，求关于的函数解析式；
（2）已知在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？
【解析】解：（1）由题意可知：设在时刻时点距离地面的高度．
，，，，
即．
又，．解得，
．
（2）由，化为：．
，解得．
在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是：到．
变式17．已知函数的部分图象如图所示：
（1）求的解析式；
（2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象求方程在，的实数解．
【解析】解：（1）函数的部分图象可得，
，．
再根据五点法作图，可得，求得，．
（2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，
方程，即，可得或，，
即或，
由于，，可得，，．
变式18．在①图象过点，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知的最小正周期为，_____．
（1）求函数的解析式；
（2）将的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间．
【解析】解：若选①：（1）由已知得，则，
于是
因为图象过点，所以，即，
又因为，所以，故．
（2）由已知得，
于是，
解得，
故的单调递增区间为．
若选②：（1）由已知得，，则，
于是．
因为图象关于直线对称，所以，
即
又因为，所以，故．
（2）由已知得．
由，
即．
故的单调递增区间为．
若选③：（1）由已知得，则，
于是．
因为图象关于点对称，所以，
即，又因为，
所以，故．
（2）由已知得，
由，，
即
故的单调递增区间为．
变式19．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
①的最小正周期为，且是偶函数；
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；
③与是图象上相邻的两条对称轴，且．
问题：已知函数，，若 _____．
（1）求，的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在，上的单调递减区间．
【解析】解：（1）选条件①：
的最小正周期为，，即，
又是偶函数，，，
，．
选条件②：
图象上相邻两个最高点之间的距离为，，即，
又，，即，
，，
，．
选条件③：
与是图象上相邻的两条对称轴，
，即，解得，
又，，即，
，，
，．
（2）由（1）知，，
将的图象向右平移个单位，得到的图象，
再将横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
令，，，则，，，
当时，，，
故在，上的单调递减区间为，．
变式20．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
①的最小正周期为，且是偶函数；
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；
③直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，且．
问题：已知函数，，若______．
（Ⅰ）求，的值；（请先在答题卡上写出所选序号再作答）
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在，上的最小值和最大值．
【解析】解：（Ⅰ）选条件①的最小正周期为，且是偶函数，所以，
因为函数为偶函数；
所以，
整理得，故，
又，所以；
选条件②时，图象上相邻两个最高点之间的距离为，
则，所以；
因为函数满足，所以，
整理得，所以，
又，所以；
选条件③时，直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，
则，整理得，
因为，所以，所以，
因为，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）无论取条件①②③，求得，．
故；
将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
又，，．
所以函数在，上的最大值为2，最小值为1．
【过关测试】
一．选择题
1．若在，是减函数，则的最大值是
A．B．C．D．
【解析】解：，
由，，
得，，
取，得的一个减区间为，，
由在，是减函数，
得，．
则的最大值是．
故选：．
二．多选题
2．已知曲线，，下列说法中正确的是
A．把向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到
B．把向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到
C．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到
D．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到
【解析】解：曲线向右平移个单位，得到，
再将函数图象上所有点的坐标变为原来的，即可得到函数的图象；
把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，
再向右平移个单位长度得到的图象，
即曲线的图象．
故选：．
3．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是
A．点，是函数图象的对称中心
B．函数在上单调递减
C．函数的图象与函数的图象相同
D．若，是函数的零点，则是的整数倍
【解析】解：将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
可得的图象；
再向左平移个单位，得到 的图象．
令，求得，故排除．
在上，，，故 单调递减．故正确．
，
显然，的周期为，
故正确．
若，是函数的零点，则，
则是或的整数倍，故不正确，
故选：．
4．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是
A．点是函数图象的对称中心
B．函数的图象与函数的图象相同
C．函数在上单调递减
D．直线是函数图象的一条对称轴
【解析】解：函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象．
对于：当时，，故错误；
对于：函数，故正确；
对于：当，故，故函数在该区间上单调递增，故错误；
对于：当时，函数取得最大值为1，故正确．
故选：．
5．已知函数，，是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则下列结论正确的是
A．在有且仅有3个零点
B．在有且仅有3个极值点
C．在单调递增
D．图象的一个对称中心为，
【解析】解：函数分，，是奇函数，，．
将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得图象对应的函数为．
若的最小正周期为，则，，，
，，
故，．
在上，，有3个零点，，，故正确．
在上，，有4个极值，即，，，，故错误．
在上，，单调递增，故正确．
令，求得，可得图象的一个对称中心为，，故正确，
故选：．
6．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述正确的是
A．，，
B．当，时，点到轴的距离的最大值为6
C．当，时，函数单调递减
D．当时，
【解析】解：由题意，，，，
点，代入可得，，．故正确；
，当，时，，，点到轴的距离的最大值为6，正确；
当，时，，，函数单调递减，不正确；
当时，，的纵坐标为6，，正确，
故选：．
7．对于函数，下列结论正确的是
A．把函数的图象上的各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则是函数的一个周期
B．对，若，则
C．对成立
D．当且仅当时，取得最大值
【解析】解：因为，
令，所以，所以，
对于：将图象上的各点的横坐标变为原来的倍，
则，
所以，
所以是函数的一个周期，故正确；
对于：因为，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，对称轴为，开口向上，函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故错误；
对于，
，故正确；
因为，当时取得最大值，
令，则，
所以，解得，
即当时，函数取得最大值，故错误；
故选：．
三．填空题
8．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：的最大值为 8 ．
【解析】解：对于 函数，由题意可得，．
故 函数，即 函数，
故函数的最大值为，
故答案为：8．
9．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则 ．
【解析】解：把函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，
再根据所得图象与函数的图象重合，可得，，
故答案为：．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为 ；平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 ．
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
则平移后函数图象的解析式为．
令，求得，．
令，可得平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程为，
故答案为：；．
11．已知函数，，（其中，，为常数，且有且仅有3个零点，则的值为 ，的取值范围是 ．
【解析】解：函数在，上为偶函数，又函数，，有且仅有3个零点，故必有一个零点为，且函数的零点个数必为奇数，
，
；
又函数，，的零点个数，即函数与直线的图象在，上交点的个数，
而函数相当于函数纵坐标不变，横坐标扩大（或缩小）为原来的倍，
当时，函数与直线在，上仅有一个交点，则，；
当时，函数与直线在，上恰有3个零点，如图，
故；
当时，函数与直线在，上恰有5个零点，如图，
故；
综上，的取值范围是，．
故答案为：，，．
12．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ， ．
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数 的图象，
则若函数在区间上是单调递增函数，且，，
应有，且，求得，
则实数的取值范围是，，
故答案为：，．
13．设，其中，，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是．
正确的是 ①③ （写出所有正确结论的编号）．
【解析】解：由题设，，且，
因为对一切恒成立，
所以，即，
则，
①，故①正确；
②，
，
所以，故②错误；
③，
所以，
即非奇非偶，故③正确；
④因为在，上单调递增，
所以，
令，
则，等价于上单调递增，故④错误．
故答案为：①③．
14．2020年是苏颂诞辰1000周年．苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，当点从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处．此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点至少经过 12 分钟（结果取整数）进入水中．（参考数据：，，
【解析】解：设分钟后点转至点，和水面重合，，
如图所示：
则分钟后，，
，
转一圈需要30分钟，每分钟转，
当时，，代入得：（舍去），
当时，，代入得：，可取，
点至少经过13分钟进入水中．
故答案为：13．
四．解答题
15．已知函数满足条件：，且．
（1）求的解析式；
（2）由函数的图象经过适当的变换可以得到的图象．现提供以下两种变换方案：
①；
②．
请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
【解析】解：（1）由，得函数的周期，即，得，
由．得函数关于对称，
则，得，，
，当时，，
即．
（2）若按①；
则将的图象沿着轴，向右平移个单位得到，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到．
若按②．
将的图象沿着轴，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，然后．向右平移个单位得到．
16．函数在上的最大值为，．
（1）若点在的图象上，求函数图象的对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．
【解析】解：（1）由题意，，
由，得，
，，
则．
又，．
得，．
，．
，取，得．
．
由，得，．
函数图象的对称中心为，，；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数的图象，
则．
由，，
得，，
取，得．
由在上为增函数，得
，解得，
又，，
的最大值为2．
17．已知函数，，的图象如图所示．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作．
求函数的最大值；
若函数在，内恰有2015个零点，求、的值．
【解析】解：（1）由函数图象可得，且，解得，
所以，所以可得，，而，解得：，
所以，
所以函数的单调递增区间满足，，解得，，
所以函数的单调递增区间为：，，；
（2）由（1）及函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，
把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得，
，
所以的最大值为，这时，，即，．
由题意可得，所以，
令，可得，令，，
即，易知△，方程由两个不同的实数解，，由，则，异号，
①当且，或且时，
则方程和在区间 上均有偶数个根，不合题意，舍去；
②当 且 时，
则方程和在区间 上均有偶数个根，不合题意，舍去；
③当 且 时，
时，方程只有一根，方程有两根，
所以关于 的方程 在 上有三个根，
由于，则方程 在 上有 2013 个根，
因为方程在区间 上只有一根，在区间 上无根；
方程在区间 上无根，在区间上有两个根，
因此，不合题意，舍去；
④当 且 时，
时，方程只有一根，方程有两根，
所以关于 的方程 在 上有三个根，
由于，则方程 在 上有 2013 个根，
因为方程在区间 上无根，方程在区间 上有两个根，
因此，当 时，满足题意，
此时，解得，
综上，．
18．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系，令点纵坐标为，水面纵坐标为，点转动经过的时间为分钟．（参考数据：，，
（1）求，关于的函数关系式；
（2）求点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．
【解析】解：（1）可设，，，
转动的周期为30分钟，
，
枢轮的直径为3.4米，
，
点的初始位置为最高点，
，
，
退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，
水面的初始纵坐标为，
水位以每分钟0.017米的速度下降，
．
（2）点进入水中，
则，即，
，
作出和的大致图像，显然在，内存在一个交点，
令，
，，
点进入水中所用时间的最小值为13分钟，
综上，，，点进入水中所用时间的最小值为13分钟．
19．已知，，，其中，，且的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
【解析】解：（1）
，
因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以最小正周期，
所以，
所以，
所以，
令，，，则，，，
故函数的单调递增区间为，，．
（2），
所以，
因为，所以，，
所以，
所以．
20．已知函数，，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在，上的值域．
【解析】解：（1）根据函数，，的部分图象，
可得，，．
再根据五点法作图可得，，．
令，求得，故函数的增区间为，，．
（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得 的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图象．
，，，，，，即，．
21．已知函数的图象如图．
（1）求的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
【解析】解：（1）解法一：根据函数的图象，
，，．
由于的一个减区间为，，即，，
的增区间为，，．
解法二：根据函数的图象，
可得，，．
结合五点法作图，可得，，．
令，求得，，
故的单调递增区间，，．
（2）根据函数的图象，可得，
，．
结合五点法作图，可得，，．
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，
把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象，
且关于的方程在上有解，
即 在上有解．
由于，，，，，，
故的取值范围为，．
22．设函数定义在上，其中．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），
由，可得，
函数的单调递增区间为，；
（2）将函数的图象向右平移单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数
，，，
，
，
在，上恒成立，
，．
0
0
3
0
0
0
3
0
1
3
1
1
0
0
5
0
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0
5
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