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高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题20分段函数问题(原卷版+解析)
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这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题20分段函数问题(原卷版+解析)，共43页。
题型一：函数三要素的应用
题型二：函数性质与零点的应用
题型三：分段函数的复合
题型四：特殊分段函数的表示与应用
【典型例题】
题型一：函数三要素的应用
例1．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例2．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，，B．，C．，D．，
例3．设函数若（a），则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
变式1．当函数取得最小值时，
A．B．C．D．
变式2．已知函数，，，则不等式的解集
A．B．C．D．
变式3．已知为奇函数，则 ．
变式4．若函数，，则（9） ，（3） ， ．
变式5．已知函数，则不等式的解集是 ．
变式6．设，是二次函数，若的值域是，，则的值域是 ．
题型二：函数性质与零点的应用
例4．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
例5．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
例6．函数在上单调，则的取值范围为
A．B．，C．D．
变式7．已知，则的零点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式8．已知定义在上的函数，设，，为三个互不相同的实数，满足，（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
变式9．已知函数，设，，是三个互不相同的实数，满足（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
变式10．已知在上是奇函数，且当时，，求函数的解析式．
变式11．已知函数为偶函数，且当时，，若（2），求实数的取值范围．
题型三：分段函数的复合
例7．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是
A．B．1C．D．2
例8．已知函数，，若关于的方程有四个不相等的实根，则实数
A．，B．，C．D．
例9．已知函数，则方程的实根个数为
A．3B．4C．5D．6
变式12．（多选题）已知函数下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是
A．在内一定有零点B．在内一定有零点
C．当时，有4个零点D．当时，有1个零点
变式13．（多选题）设函数，若函数有三个零点，则实数可取的值可能是
A．0B．C．D．1
变式14．（多选题）已知定义域为的奇函数满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，但有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
E．对任意实数，方程都有解
变式15．（多选题）已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
变式16．已知函数其中．
①若，则的最小值为 ；
②关于的函数有两个不同零点，则实数的取值范围是 ．
题型四：特殊分段函数的表示与应用
例10．对，，记，，则函数，的最小值是
A．B．C．D．
例11．已知符号函数，，，其中，则下列结果正确的是
A．B．
C．D．
例12．定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是
A．若，则，对于任意的成立
B．，对于任意的成立
C．，对于任意的成立
D．若，则，对于任意的成立
变式17．定义全集的子集的特征函数为，这里表示集合在全集中的补集，已，，给出以下结论中不正确的是
A．若，则对于任意，都有
B．对于任意，都有
C．对于任意，都有
D．对于任意，都有
变式18．对，，记，函数，的最小值是 ．
变式19．对，，记，，函数，的最小值是，则实数的值是 ．
变式20．设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若直线与函数的图象恰好有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数在上是单调函数，则t的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·云南师大附中高一期中）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
4．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号表示取a和b中最大的数，若对任意，函数，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．(2023·山西太原·高一阶段练习）设，若是的最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数，令，则不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
7．(2023·浙江·高一阶段练习）设函数，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·湖北黄石·高一期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号示两个数中较小的数，若，，则（ ）
A．最大值为1B．无最大值C．最小值为D．无最小值
11．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
12．(2023·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数的定义域为，对于任意给定的正数m，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的单调递增区间为D．的图像关于原点对称
13．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A．为“不动点”函数
B．的不动点为
C．为“不动点”函数
D．若定义在R上有且仅有一个不动点的函数满足，则
三、填空题
14．(2023·广东·高一期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是________．
15．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数为奇函数，则__________.
16．(2023·安徽淮南·高一阶段练习）若函数满足对，，且，都有成立，则实数的取值范围是______．
17．(2023·广东·深圳市高级中学高一期中）已知，，令，则的最小值是___________.
四、解答题
18．(2023·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
19．(2023·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数
①求，
②若，求的值
20．(2023·辽宁·高一阶段练习）已知函数，，．设函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若的最小值小于，求的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）定义域为的函数f（x）满足及f（－x）＝－f（x），且当时．
(1)求在上的解析式；
(2)求在上的解析式；
(3)求证：在区间上单调递减．
微专题20 分段函数问题
【题型归纳目录】
题型一：函数三要素的应用
题型二：函数性质与零点的应用
题型三：分段函数的复合
题型四：特殊分段函数的表示与应用
【典型例题】
题型一：函数三要素的应用
例1．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：（1），
（a），
当时，满足条件；
时，，
整理得：，
，
时，，
整理得：，
综上可得：，
故选：．
例2．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，，B．，C．，D．，
【解析】解：，
为偶函数，
（a）（1），
（a）（1），
（a）（1），
当时，函数为增函数，
，
，
故选：．
例3．设函数若（a），则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：的图象如图所示，
（a），（a），由函数图象可知．
故选：．
变式1．当函数取得最小值时，
A．B．C．D．
【解析】解：当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
，函数取得最小值为，
对应的值为．
故选：．
变式2．已知函数，，，则不等式的解集
A．B．C．D．
【解析】解：当即时，不等式同解于
即
此时
当即时，不等式同解于
解得
此时
总之，不等式的解集为
故选：．
变式3．已知为奇函数，则 ．
【解析】解：根据题意，为奇函数，
则（1），
则（2），
故答案为：1．
变式4．若函数，，则（9） ，（3） ， ．
【解析】解：，，
（9），
（3）（1），
（1）．
故答案为：2；1；0
变式5．已知函数，则不等式的解集是 ．
【解析】解：由题意
当时，有恒成立，故得
当时，，解得，故得
综上得不等式的解集是
故答案为，．
变式6．设，是二次函数，若的值域是，，则的值域是 ．
【解析】解：在坐标系中作出函数的图象，
观察图象可知，当纵坐标在，上时，横坐标在，，上变化，
的值域是，而的值域是，，
是二次函数
的值域是，．
故答案为：，．
题型二：函数性质与零点的应用
例4．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
【解析】解：若是定义域上的单调递减函数，
则满足，
即，即，
故选：．
例5．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：函数，是定义域上的单调递减函数，
则满足，
解得，
故选：．
例6．函数在上单调，则的取值范围为
A．B．，C．D．
【解析】解：在上单调；
①若在上单调递增，则：
；
；
②若在上单调递减，则：
；
；
的取值范围为，．
故选：．
变式7．已知，则的零点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：当时，，
在的图象相当于在，的图象重复出现是周期函数，
，时，
对称轴为，顶点坐标为．
画出函数与的图象如图：
则的零点有2个．
故选：．
变式8．已知定义在上的函数，设，，为三个互不相同的实数，满足，（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
【解析】解：作出的图象如图：
当时，由，得，
若，，互不相等，不妨设，
因为（a）（b）（c），
所以由图象可知，，
由（a）（b），得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
变式9．已知函数，设，，是三个互不相同的实数，满足（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
【解析】解：作出函数的图象如图，
不妨设，则．
由（a）（b），得，即，
，则，
的取值范围为．
故答案为：．
变式10．已知在上是奇函数，且当时，，求函数的解析式．
【解析】解：当时，，
时，，
，
又为奇函数，
，
当时，，
又符合上式，
综上得，．
变式11．已知函数为偶函数，且当时，，若（2），求实数的取值范围．
【解析】解：函数为偶函数，
且当时，，
当时，递减，且，
当时，递减，且，，
且，连续，且为减函数，
（2），可得（2），
即为，且，
解得，且，
则的取值范围是，，．
题型三：分段函数的复合
例7．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是
A．B．1C．D．2
【解析】解：由已知条件知：，
若，则，，这种情况不存在，
若，则，，时，，，
只有，即时，对任意给定的，都存在唯一的，满足，
，，即，，解得，
正实数的最小值是．
故选：．
例8．已知函数，，若关于的方程有四个不相等的实根，则实数
A．，B．，C．D．
【解析】解：对于函数，
当时，单调递减且；
当时，单调递增且；
故实数一定在区间之间，
若；则可化为；
显然有两个不同的根，
若，则；
故△；
即；
综上所述，实数；
故选：．
例9．已知函数，则方程的实根个数为
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：设，可得
，
分别作出和的图象，
可得它们有两个交点，
即方程有两根，
一根为，另一个根为，
由，可得；
由，可得有3个解，
综上可得方程的实根个数为4．
故选：．
变式12．（多选题）已知函数下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是
A．在内一定有零点B．在内一定有零点
C．当时，有4个零点D．当时，有1个零点
【解析】解：令得，，令，则，
①当时，作出函数的草图如下，
由图象可知，此时的解满足，，
由可知，此时有两个解，由可知，此时有两个解，共4个解，即有4个零点；
②当时，作出函数的草图如下，
由图象可知，此时的解满足，
由可知，此时有1个解，共1个解，即有1个零点；
综上，选项正确．
故选：．
变式13．（多选题）设函数，若函数有三个零点，则实数可取的值可能是
A．0B．C．D．1
【解析】解：函数有三个零点，则函数，即有三个根，
当时，，则，
由得，即，此时为减函数，
由得，即，此时为增函数，
即当时，取得极小值，
作出的图象如图：
要使有三个根，
则，
故选：．
变式14．（多选题）已知定义域为的奇函数满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，但有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
E．对任意实数，方程都有解
【解析】解：因为该函数为奇函数，
所以，，
该函数图象如下：
对于；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故正确；
对于；当时，函数不是减函数，故错误；
对于；直线，与函数图象交于，，1，，故当的最小值为1时，，，故正确；
对于；时，若使得其与的所有零点之和为0，则，或，故错误；
对于；当时，函数与没有交点．故错误．
故选：．
变式15．（多选题）已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
【解析】解：函数是奇函数，
若，则，则，
则，．
若，则，则，
即，，
当，则．
作出函数的图象如图：
对于，联立，得，
△，存在，使得△，
存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根，故正确；
对于，当时，函数不是单调函数，则不成立，故不正确；
对于，当时，，
则当，时，的最小值为1，则，，故正确；
对于，函数是奇函数，若关于的两个方程与所有根的和为0，
函数的根与根关于原点对称，
则，
但时，方程有3个根，
设分别为，，，且，
则有，得，即，
，则三个根之和为，
若关于的两个方程与所有根的和为0，
则的根为，此时，故错误，
故选：．
变式16．已知函数其中．
①若，则的最小值为 ；
②关于的函数有两个不同零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：①若，则，
作函数的图象如下图所示，
显然，当时，函数取得最小值，且最小值为．
②令，显然有唯一解，
由题意，有两个不同的零点，由图观察可知，，
又，则实数的取值范围为．
故答案为：；，．
题型四：特殊分段函数的表示与应用
例10．对，，记，，则函数，的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：当，即或，
解得时，
，，函数单调递减，，
当，，，函数单调递减，，
当时，，函数单调递增，
综上所述：，
故选：．
例11．已知符号函数，，，其中，则下列结果正确的是
A．B．
C．D．
【解析】解：符号函数，，
，其中，
，
当时，，，
，；
当时，，，
，；
当时，，，
，．
．
故选：．
例12．定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是
A．若，则，对于任意的成立
B．，对于任意的成立
C．，对于任意的成立
D．若，则，对于任意的成立
【解析】解：对于，因为，若，则，
因为，
，
而中可能有中的元素，
但中不可能有中的元素，
所以，
即对于任意的，都有成立，
故选项正确；
对于，因为，
当某个元素在中且在中，
由于它在中，故，
而且，可得，
故选项错误；
对于，，
，
故选项正确；
对于，因为，
结合，
所以，
即，
故选项正确．
故选：．
变式17．定义全集的子集的特征函数为，这里表示集合在全集中的补集，已，，给出以下结论中不正确的是
A．若，则对于任意，都有
B．对于任意，都有
C．对于任意，都有
D．对于任意，都有
【解析】解：由题意，可得
对于，因为，可得则，
，，
而中可能有的元素，但中不可能有的元素
，
即对于任意，都有故正确；
对于，因为，
结合的表达式，可得，故正确；
对于，
，
故正确；
对于，
当某个元素在中但不在中，由于它在中，故，
而且，可得
由此可得不正确．
故选：．
变式18．对，，记，函数，的最小值是 ．
【解析】解：由题意得，
，
，
故当时，有最小值，
故答案为：．
变式19．对，，记，，函数，的最小值是，则实数的值是 ．
【解析】解：函数，
，
由的解析式可得，，
即有的对称轴为，
则，
解得或，
故答案为：2或．
变式20．设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若直线与函数的图象恰好有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
【解析】解：画出函数
和函数的图象，
若直线与函数
的图象恰有两个不同的交点，
结合图象可得：，
，，
故，求得，
故答案为：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数在上是单调函数，则t的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时，为增函数，所以当时，也为增函数，所以，解得.故的最大值为，
故选：B.
2．(2023·云南师大附中高一期中）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，在上单调递增且；
当时，在上单调递增且；
所以在上单调递增，
又由，则有，
由题，可知的解集为，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则有，
解不等式组，得；
综上可得，当时，的解集为.
故选：D.
3．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为函数在上单调递减，
∴，
解得，
即的取值范围是，
故选：C.
4．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号表示取a和b中最大的数，若对任意，函数，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案：D
【解析】在同一直角坐标系中，画出函数的图象，根据的定义，可得的图象（实线部分），由的图象可知，当时，最小，且最小值，
故选：D
5．(2023·山西太原·高一阶段练习）设，若是的最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立；
当时，由于，则，
由题意可得，即，解得，故.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
6．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数，令，则不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：C
【解析】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，
联立，解得或，故，，
所以，
又由可知，其解集为的函数值比大的那部图像的所在区间，结合图像易得，的解集为或
联立，解得或，故，，
联立，解得，故，
所以的解集为或.
故选：C.
.
7．(2023·浙江·高一阶段练习）设函数，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，由知，
，，，
解得.
故选：A．
8．(2023·湖北黄石·高一期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，且，
所以，所以，即在恒成立，
所以即，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：B
9．(2023·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，，
值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，
综上，即实数的取值范围是，
故选：
二、多选题
10．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号示两个数中较小的数，若，，则（ ）
A．最大值为1B．无最大值C．最小值为D．无最小值
答案：AD
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数的图象.
由，解得，，
所以，
当时，取得最大值，且，
由图象可知无最小值，
故选：AD.
11．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
答案：AD
【解析】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
12．(2023·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数的定义域为，对于任意给定的正数m，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的单调递增区间为D．的图像关于原点对称
答案：ABC
【解析】由，
解得：，
故，
A．，本选项符合题意；
B．当时，；
当时，，
故值域为，本选项符合题意；
C．当时，，图像开口向下，对称轴为，
故在上单调递增，本选项符合题意；
D．，故函数为偶函数，本选项不符合题意．
故选：ABC．
13．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A．为“不动点”函数
B．的不动点为
C．为“不动点”函数
D．若定义在R上有且仅有一个不动点的函数满足，则
答案：ABC
【解析】对于A，令，得，解得，即（有一个满足足矣），所以为“不动点”函数，故A说法正确；
对于B，令，得，即，即，解得，即和，所以的不动点为，故B说法正确；
对于C，当时，，令，得，解得或；
当时，，令，得，即，解得（舍去）；
综上：和，所以为“不动点”函数，故C说法正确；
对于D，不妨设该不动点为，则，
则由得，即，整理得，
所以也是的不动点，故，解得或，即都是的不动点，与题设矛盾，故D说法错误.
故选：ABC
三、填空题
14．(2023·广东·高一期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是________．
答案：
【解析】由已知，函数是定义为在上的增函数，
则为单调递增函数，为单调递增函数，且，
所以，解得，
所以的取值范围是：.
故答案为：.
15．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数为奇函数，则__________.
答案：
【解析】利用奇函数的定义，求．
当时，则，所以，
所以，，即
故．
故答案为：．
16．(2023·安徽淮南·高一阶段练习）若函数满足对，，且，都有成立，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】根据题意，任意实数都有成立，所以函数是上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处，所以，解得，所以实数的取值范围是．
故答案为：
17．(2023·广东·深圳市高级中学高一期中）已知，，令，则的最小值是___________.
答案：
【解析】令，解得或，
则，
当或时，，
当时，函数没有最小值但大于，
综上：函数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
18．(2023·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
【解析】（1）函数的解析式．
，；
（2）因为且，
所以，解得；
或，解得（舍去）；
或，解得.
综上：或．
19．(2023·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数
①求，
②若，求的值
【解析】（1）设，则：，，
故，即，故，.
所以
（2）函数，①，．
②当时，，解得，成立；
当时，，解得或（舍）；
当时，，解得（舍去）．
故的值为或1．
20．(2023·辽宁·高一阶段练习）已知函数，，．设函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若的最小值小于，求的取值范围．
【解析】（1）由题意可得，当时，，
当时，，
所以
当时，作出的图象，如图1：
由图可知的最小值为．
（2）
且，图象的对称轴分别为直线，．
①如图2，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，由，解得，故．
②如图3，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，则，解得，故．
③如图4，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，由，解得，故．
综上，的取值范围为．
21．(2023·全国·高一课时练习）定义域为的函数f（x）满足及f（－x）＝－f（x），且当时．
(1)求在上的解析式；
(2)求在上的解析式；
(3)求证：在区间上单调递减．
【解析】（1）∵当时，，
∴．
由题意，知，
又，，
∴，
∴，
（2）当时，，
∴
（3）设任意的，，且，
∵， 且，，
∴，即在区间上单调递减．
题型一：函数三要素的应用
题型二：函数性质与零点的应用
题型三：分段函数的复合
题型四：特殊分段函数的表示与应用
【典型例题】
题型一：函数三要素的应用
例1．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例2．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，，B．，C．，D．，
例3．设函数若（a），则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
变式1．当函数取得最小值时，
A．B．C．D．
变式2．已知函数，，，则不等式的解集
A．B．C．D．
变式3．已知为奇函数，则 ．
变式4．若函数，，则（9） ，（3） ， ．
变式5．已知函数，则不等式的解集是 ．
变式6．设，是二次函数，若的值域是，，则的值域是 ．
题型二：函数性质与零点的应用
例4．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
例5．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
例6．函数在上单调，则的取值范围为
A．B．，C．D．
变式7．已知，则的零点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式8．已知定义在上的函数，设，，为三个互不相同的实数，满足，（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
变式9．已知函数，设，，是三个互不相同的实数，满足（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
变式10．已知在上是奇函数，且当时，，求函数的解析式．
变式11．已知函数为偶函数，且当时，，若（2），求实数的取值范围．
题型三：分段函数的复合
例7．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是
A．B．1C．D．2
例8．已知函数，，若关于的方程有四个不相等的实根，则实数
A．，B．，C．D．
例9．已知函数，则方程的实根个数为
A．3B．4C．5D．6
变式12．（多选题）已知函数下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是
A．在内一定有零点B．在内一定有零点
C．当时，有4个零点D．当时，有1个零点
变式13．（多选题）设函数，若函数有三个零点，则实数可取的值可能是
A．0B．C．D．1
变式14．（多选题）已知定义域为的奇函数满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，但有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
E．对任意实数，方程都有解
变式15．（多选题）已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
变式16．已知函数其中．
①若，则的最小值为 ；
②关于的函数有两个不同零点，则实数的取值范围是 ．
题型四：特殊分段函数的表示与应用
例10．对，，记，，则函数，的最小值是
A．B．C．D．
例11．已知符号函数，，，其中，则下列结果正确的是
A．B．
C．D．
例12．定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是
A．若，则，对于任意的成立
B．，对于任意的成立
C．，对于任意的成立
D．若，则，对于任意的成立
变式17．定义全集的子集的特征函数为，这里表示集合在全集中的补集，已，，给出以下结论中不正确的是
A．若，则对于任意，都有
B．对于任意，都有
C．对于任意，都有
D．对于任意，都有
变式18．对，，记，函数，的最小值是 ．
变式19．对，，记，，函数，的最小值是，则实数的值是 ．
变式20．设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若直线与函数的图象恰好有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数在上是单调函数，则t的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·云南师大附中高一期中）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
4．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号表示取a和b中最大的数，若对任意，函数，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．(2023·山西太原·高一阶段练习）设，若是的最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数，令，则不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
7．(2023·浙江·高一阶段练习）设函数，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·湖北黄石·高一期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号示两个数中较小的数，若，，则（ ）
A．最大值为1B．无最大值C．最小值为D．无最小值
11．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
12．(2023·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数的定义域为，对于任意给定的正数m，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的单调递增区间为D．的图像关于原点对称
13．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A．为“不动点”函数
B．的不动点为
C．为“不动点”函数
D．若定义在R上有且仅有一个不动点的函数满足，则
三、填空题
14．(2023·广东·高一期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是________．
15．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数为奇函数，则__________.
16．(2023·安徽淮南·高一阶段练习）若函数满足对，，且，都有成立，则实数的取值范围是______．
17．(2023·广东·深圳市高级中学高一期中）已知，，令，则的最小值是___________.
四、解答题
18．(2023·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
19．(2023·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数
①求，
②若，求的值
20．(2023·辽宁·高一阶段练习）已知函数，，．设函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若的最小值小于，求的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）定义域为的函数f（x）满足及f（－x）＝－f（x），且当时．
(1)求在上的解析式；
(2)求在上的解析式；
(3)求证：在区间上单调递减．
微专题20 分段函数问题
【题型归纳目录】
题型一：函数三要素的应用
题型二：函数性质与零点的应用
题型三：分段函数的复合
题型四：特殊分段函数的表示与应用
【典型例题】
题型一：函数三要素的应用
例1．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：（1），
（a），
当时，满足条件；
时，，
整理得：，
，
时，，
整理得：，
综上可得：，
故选：．
例2．已知函数，若（a）（1），则的取值范围是
A．，，B．，C．，D．，
【解析】解：，
为偶函数，
（a）（1），
（a）（1），
（a）（1），
当时，函数为增函数，
，
，
故选：．
例3．设函数若（a），则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：的图象如图所示，
（a），（a），由函数图象可知．
故选：．
变式1．当函数取得最小值时，
A．B．C．D．
【解析】解：当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
，函数取得最小值为，
对应的值为．
故选：．
变式2．已知函数，，，则不等式的解集
A．B．C．D．
【解析】解：当即时，不等式同解于
即
此时
当即时，不等式同解于
解得
此时
总之，不等式的解集为
故选：．
变式3．已知为奇函数，则 ．
【解析】解：根据题意，为奇函数，
则（1），
则（2），
故答案为：1．
变式4．若函数，，则（9） ，（3） ， ．
【解析】解：，，
（9），
（3）（1），
（1）．
故答案为：2；1；0
变式5．已知函数，则不等式的解集是 ．
【解析】解：由题意
当时，有恒成立，故得
当时，，解得，故得
综上得不等式的解集是
故答案为，．
变式6．设，是二次函数，若的值域是，，则的值域是 ．
【解析】解：在坐标系中作出函数的图象，
观察图象可知，当纵坐标在，上时，横坐标在，，上变化，
的值域是，而的值域是，，
是二次函数
的值域是，．
故答案为：，．
题型二：函数性质与零点的应用
例4．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
【解析】解：若是定义域上的单调递减函数，
则满足，
即，即，
故选：．
例5．已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：函数，是定义域上的单调递减函数，
则满足，
解得，
故选：．
例6．函数在上单调，则的取值范围为
A．B．，C．D．
【解析】解：在上单调；
①若在上单调递增，则：
；
；
②若在上单调递减，则：
；
；
的取值范围为，．
故选：．
变式7．已知，则的零点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：当时，，
在的图象相当于在，的图象重复出现是周期函数，
，时，
对称轴为，顶点坐标为．
画出函数与的图象如图：
则的零点有2个．
故选：．
变式8．已知定义在上的函数，设，，为三个互不相同的实数，满足，（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
【解析】解：作出的图象如图：
当时，由，得，
若，，互不相等，不妨设，
因为（a）（b）（c），
所以由图象可知，，
由（a）（b），得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
变式9．已知函数，设，，是三个互不相同的实数，满足（a）（b）（c），则的取值范围为 ．
【解析】解：作出函数的图象如图，
不妨设，则．
由（a）（b），得，即，
，则，
的取值范围为．
故答案为：．
变式10．已知在上是奇函数，且当时，，求函数的解析式．
【解析】解：当时，，
时，，
，
又为奇函数，
，
当时，，
又符合上式，
综上得，．
变式11．已知函数为偶函数，且当时，，若（2），求实数的取值范围．
【解析】解：函数为偶函数，
且当时，，
当时，递减，且，
当时，递减，且，，
且，连续，且为减函数，
（2），可得（2），
即为，且，
解得，且，
则的取值范围是，，．
题型三：分段函数的复合
例7．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是
A．B．1C．D．2
【解析】解：由已知条件知：，
若，则，，这种情况不存在，
若，则，，时，，，
只有，即时，对任意给定的，都存在唯一的，满足，
，，即，，解得，
正实数的最小值是．
故选：．
例8．已知函数，，若关于的方程有四个不相等的实根，则实数
A．，B．，C．D．
【解析】解：对于函数，
当时，单调递减且；
当时，单调递增且；
故实数一定在区间之间，
若；则可化为；
显然有两个不同的根，
若，则；
故△；
即；
综上所述，实数；
故选：．
例9．已知函数，则方程的实根个数为
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：设，可得
，
分别作出和的图象，
可得它们有两个交点，
即方程有两根，
一根为，另一个根为，
由，可得；
由，可得有3个解，
综上可得方程的实根个数为4．
故选：．
变式12．（多选题）已知函数下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是
A．在内一定有零点B．在内一定有零点
C．当时，有4个零点D．当时，有1个零点
【解析】解：令得，，令，则，
①当时，作出函数的草图如下，
由图象可知，此时的解满足，，
由可知，此时有两个解，由可知，此时有两个解，共4个解，即有4个零点；
②当时，作出函数的草图如下，
由图象可知，此时的解满足，
由可知，此时有1个解，共1个解，即有1个零点；
综上，选项正确．
故选：．
变式13．（多选题）设函数，若函数有三个零点，则实数可取的值可能是
A．0B．C．D．1
【解析】解：函数有三个零点，则函数，即有三个根，
当时，，则，
由得，即，此时为减函数，
由得，即，此时为增函数，
即当时，取得极小值，
作出的图象如图：
要使有三个根，
则，
故选：．
变式14．（多选题）已知定义域为的奇函数满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，但有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
E．对任意实数，方程都有解
【解析】解：因为该函数为奇函数，
所以，，
该函数图象如下：
对于；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故正确；
对于；当时，函数不是减函数，故错误；
对于；直线，与函数图象交于，，1，，故当的最小值为1时，，，故正确；
对于；时，若使得其与的所有零点之和为0，则，或，故错误；
对于；当时，函数与没有交点．故错误．
故选：．
变式15．（多选题）已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是
A．存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当，时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
【解析】解：函数是奇函数，
若，则，则，
则，．
若，则，则，
即，，
当，则．
作出函数的图象如图：
对于，联立，得，
△，存在，使得△，
存在实数，使关于的方程有7个不相等的实数根，故正确；
对于，当时，函数不是单调函数，则不成立，故不正确；
对于，当时，，
则当，时，的最小值为1，则，，故正确；
对于，函数是奇函数，若关于的两个方程与所有根的和为0，
函数的根与根关于原点对称，
则，
但时，方程有3个根，
设分别为，，，且，
则有，得，即，
，则三个根之和为，
若关于的两个方程与所有根的和为0，
则的根为，此时，故错误，
故选：．
变式16．已知函数其中．
①若，则的最小值为 ；
②关于的函数有两个不同零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：①若，则，
作函数的图象如下图所示，
显然，当时，函数取得最小值，且最小值为．
②令，显然有唯一解，
由题意，有两个不同的零点，由图观察可知，，
又，则实数的取值范围为．
故答案为：；，．
题型四：特殊分段函数的表示与应用
例10．对，，记，，则函数，的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：当，即或，
解得时，
，，函数单调递减，，
当，，，函数单调递减，，
当时，，函数单调递增，
综上所述：，
故选：．
例11．已知符号函数，，，其中，则下列结果正确的是
A．B．
C．D．
【解析】解：符号函数，，
，其中，
，
当时，，，
，；
当时，，，
，；
当时，，，
，．
．
故选：．
例12．定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是
A．若，则，对于任意的成立
B．，对于任意的成立
C．，对于任意的成立
D．若，则，对于任意的成立
【解析】解：对于，因为，若，则，
因为，
，
而中可能有中的元素，
但中不可能有中的元素，
所以，
即对于任意的，都有成立，
故选项正确；
对于，因为，
当某个元素在中且在中，
由于它在中，故，
而且，可得，
故选项错误；
对于，，
，
故选项正确；
对于，因为，
结合，
所以，
即，
故选项正确．
故选：．
变式17．定义全集的子集的特征函数为，这里表示集合在全集中的补集，已，，给出以下结论中不正确的是
A．若，则对于任意，都有
B．对于任意，都有
C．对于任意，都有
D．对于任意，都有
【解析】解：由题意，可得
对于，因为，可得则，
，，
而中可能有的元素，但中不可能有的元素
，
即对于任意，都有故正确；
对于，因为，
结合的表达式，可得，故正确；
对于，
，
故正确；
对于，
当某个元素在中但不在中，由于它在中，故，
而且，可得
由此可得不正确．
故选：．
变式18．对，，记，函数，的最小值是 ．
【解析】解：由题意得，
，
，
故当时，有最小值，
故答案为：．
变式19．对，，记，，函数，的最小值是，则实数的值是 ．
【解析】解：函数，
，
由的解析式可得，，
即有的对称轴为，
则，
解得或，
故答案为：2或．
变式20．设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若直线与函数的图象恰好有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
【解析】解：画出函数
和函数的图象，
若直线与函数
的图象恰有两个不同的交点，
结合图象可得：，
，，
故，求得，
故答案为：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数在上是单调函数，则t的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时，为增函数，所以当时，也为增函数，所以，解得.故的最大值为，
故选：B.
2．(2023·云南师大附中高一期中）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，在上单调递增且；
当时，在上单调递增且；
所以在上单调递增，
又由，则有，
由题，可知的解集为，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则有，
解不等式组，得；
综上可得，当时，的解集为.
故选：D.
3．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为函数在上单调递减，
∴，
解得，
即的取值范围是，
故选：C.
4．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号表示取a和b中最大的数，若对任意，函数，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案：D
【解析】在同一直角坐标系中，画出函数的图象，根据的定义，可得的图象（实线部分），由的图象可知，当时，最小，且最小值，
故选：D
5．(2023·山西太原·高一阶段练习）设，若是的最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立；
当时，由于，则，
由题意可得，即，解得，故.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
6．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数，令，则不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：C
【解析】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，
联立，解得或，故，，
所以，
又由可知，其解集为的函数值比大的那部图像的所在区间，结合图像易得，的解集为或
联立，解得或，故，，
联立，解得，故，
所以的解集为或.
故选：C.
.
7．(2023·浙江·高一阶段练习）设函数，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，由知，
，，，
解得.
故选：A．
8．(2023·湖北黄石·高一期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，且，
所以，所以，即在恒成立，
所以即，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：B
9．(2023·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，，
值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，
综上，即实数的取值范围是，
故选：
二、多选题
10．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号示两个数中较小的数，若，，则（ ）
A．最大值为1B．无最大值C．最小值为D．无最小值
答案：AD
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数的图象.
由，解得，，
所以，
当时，取得最大值，且，
由图象可知无最小值，
故选：AD.
11．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
答案：AD
【解析】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
12．(2023·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数的定义域为，对于任意给定的正数m，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的单调递增区间为D．的图像关于原点对称
答案：ABC
【解析】由，
解得：，
故，
A．，本选项符合题意；
B．当时，；
当时，，
故值域为，本选项符合题意；
C．当时，，图像开口向下，对称轴为，
故在上单调递增，本选项符合题意；
D．，故函数为偶函数，本选项不符合题意．
故选：ABC．
13．(2023·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A．为“不动点”函数
B．的不动点为
C．为“不动点”函数
D．若定义在R上有且仅有一个不动点的函数满足，则
答案：ABC
【解析】对于A，令，得，解得，即（有一个满足足矣），所以为“不动点”函数，故A说法正确；
对于B，令，得，即，即，解得，即和，所以的不动点为，故B说法正确；
对于C，当时，，令，得，解得或；
当时，，令，得，即，解得（舍去）；
综上：和，所以为“不动点”函数，故C说法正确；
对于D，不妨设该不动点为，则，
则由得，即，整理得，
所以也是的不动点，故，解得或，即都是的不动点，与题设矛盾，故D说法错误.
故选：ABC
三、填空题
14．(2023·广东·高一期中）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是________．
答案：
【解析】由已知，函数是定义为在上的增函数，
则为单调递增函数，为单调递增函数，且，
所以，解得，
所以的取值范围是：.
故答案为：.
15．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数为奇函数，则__________.
答案：
【解析】利用奇函数的定义，求．
当时，则，所以，
所以，，即
故．
故答案为：．
16．(2023·安徽淮南·高一阶段练习）若函数满足对，，且，都有成立，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】根据题意，任意实数都有成立，所以函数是上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处，所以，解得，所以实数的取值范围是．
故答案为：
17．(2023·广东·深圳市高级中学高一期中）已知，，令，则的最小值是___________.
答案：
【解析】令，解得或，
则，
当或时，，
当时，函数没有最小值但大于，
综上：函数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
18．(2023·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
【解析】（1）函数的解析式．
，；
（2）因为且，
所以，解得；
或，解得（舍去）；
或，解得.
综上：或．
19．(2023·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数
①求，
②若，求的值
【解析】（1）设，则：，，
故，即，故，.
所以
（2）函数，①，．
②当时，，解得，成立；
当时，，解得或（舍）；
当时，，解得（舍去）．
故的值为或1．
20．(2023·辽宁·高一阶段练习）已知函数，，．设函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若的最小值小于，求的取值范围．
【解析】（1）由题意可得，当时，，
当时，，
所以
当时，作出的图象，如图1：
由图可知的最小值为．
（2）
且，图象的对称轴分别为直线，．
①如图2，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，由，解得，故．
②如图3，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，则，解得，故．
③如图4，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，由，解得，故．
综上，的取值范围为．
21．(2023·全国·高一课时练习）定义域为的函数f（x）满足及f（－x）＝－f（x），且当时．
(1)求在上的解析式；
(2)求在上的解析式；
(3)求证：在区间上单调递减．
【解析】（1）∵当时，，
∴．
由题意，知，
又，，
∴，
∴，
（2）当时，，
∴
（3）设任意的，，且，
∵， 且，，
∴，即在区间上单调递减．
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