广东省佛山市顺德区德胜学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

这是一份广东省佛山市顺德区德胜学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了0分， 过点，且与直线平行直线方程， 已知，，则在上的投影向量为， 以为顶点的三角形是， 在正四面体中，点在线段上运动等内容，欢迎下载使用。

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
2. 过点，且与直线平行直线方程（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. 1B. C. D.
4. 已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 以为顶点的三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 以为直角顶点的直角三角形
C. 以为直角顶点的直角三角形D. 钝角三角形
6. 从装有大小和形状完全相同的个红球和个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A. “至少一个白球”和“都是红球”
B. “至少一个白球”和“至少一个红球”
C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球”
D. “恰有一个白球”和“都是红球”
7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（ ）
A B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的倾斜角等于B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直D. 与直线平行
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则
B. 直线l的方向向量， 平面的法向量是， 则
C. 两个不同的平面的法向量分别是，则
D. 直线的方向向量， 平面的法向量是，则
11. 某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（ ）
A. 这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”
B. 这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏
C. 该校约有5%的学生迷恋电子游戏
D. 该校约有2%的学生迷恋电子游戏
12. 在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A. 当为中点时，为锐角
B. 存在点，使得平面
C. 的最小值
D. 顶点到平面的最大距离为
三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：
通过以上随机模拟数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.
14. 已知向量，，，则______________.
15. 已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为_____________．
16. 如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为_______.
四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 某校夏令营有名男同学和名女同学，现从这名同学中随机选出人参加知识竞赛.
（1）写出试验的样本空间；
（2）设为事件“选出的人恰有名男生和名女生”，求事件发生的概率.
18. 已知三角形的三个顶点，，.
（1）求线段的中线所在直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
19. 如图在平行六面体中，，，，，､､分别为，，中点.
（1）求证：
（2）求和所成角的余弦值；
20. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
21. 如图，四边形是边长为的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.
（1）求二面角的大小；
（2）求点到平面的距离.
22. 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（2）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
广东顺德德胜学校2023-2024学年第一学期高二年级
数学试卷
一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
答案：C
【解析】
分析：根据空间两点之间的距离公式: ,将，两点代入,即可求得,两点间的距离.
【详解】 ，
==
故选:C.
【点睛】本题考查的是两点之间的距离,掌握两点之间的距离公式是解本题的关键.
2. 过点，且与直线平行的直线方程（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
【解析】
分析：由题意，可设直线方程为，代入点，可得解
【详解】由题意，设直线方程为
代入点
可得
故直线方程为：
故选：A
【点睛】本题考查了与已知直线平行的直线方程求解，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题
3. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】解：因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
4. 已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【解析】
分析：根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.
【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为，故他们三人中至少有一人被录取的概率为.
故选:D
5. 以为顶点的三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 以为直角顶点的直角三角形
C. 以为直角顶点的直角三角形D. 钝角三角形
答案：C
【解析】
分析：根据向量的模的关系即可确定三角形的形状.
详解】，
，
，
，
满足,且，
所以是以为直角顶点的直角三角形.
故选：C
6. 从装有大小和形状完全相同的个红球和个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A. “至少一个白球”和“都是红球”
B. “至少一个白球”和“至少一个红球”
C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球”
D. “恰有一个白球”和“都是红球”
答案：D
【解析】
分析：根据互斥事件与对立事件的概念依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】A选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，同时二者必发生其一，是对立事件，A错误；
B选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，B错误；
C选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，C错误；
D选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件，D正确.
故选：D.
7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
【解析】
分析：由题设条件求出垂直平分线的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.
【详解】由题设，可得，且中点为，
∴垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程为，
∵，则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，
∴△的欧拉线的方程为.
故选：D
8. 在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【解析】
分析：设，，，，，，然后算出，，即可.
【详解】
不妨设，，，，，
所以，所以
所以
设平面的法向量为
则有，即，即
所以可取
所以，
同理可得，
因为，
所以，故，
故选：D
二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的倾斜角等于B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直D. 与直线平行
答案：CD
【解析】
分析：根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
因为直线经过点，
所以直线的方程为，即
对于A，设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，所以A错误，
对于B，当时，，得，
所以直线在轴上的截距等于，所以B错误，
对于C，因为直线的斜率为，且，
所以直线与直线垂直，所以C正确，
对于D，因为直线的斜率为，且在轴上的截距为，
而直线的斜率为，且在轴上的截距为，
所以直线与直线平行，所以D正确，
故选：CD
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则
B. 直线l的方向向量， 平面的法向量是， 则
C. 两个不同的平面的法向量分别是，则
D. 直线的方向向量， 平面的法向量是，则
答案：AC
【解析】
分析：根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．
【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，且，所以，选项A正确∶
对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项B错误；
对于C，两个不同的平面的法向量分别是，且，所以，选项C正确；
对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，选项D错误．
故选∶ AC
11. 某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（ ）
A. 这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”
B 这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏
C. 该校约有5%的学生迷恋电子游戏
D. 该校约有2%的学生迷恋电子游戏
答案：AC
【解析】
分析：先由题意计算出回答问题一人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.
【详解】由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为，故理论上回答问题一的人数为人.掷出点数为奇数的概率为，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.
对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.
对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.
对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”， 故该校迷恋电子游戏的学生约为，故C正确.
对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为，故D错.
故选：AC.
12. 在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A. 当为中点时，为锐角
B. 存在点，使得平面
C. 的最小值
D. 顶点到平面的最大距离为
答案：ABD
【解析】
分析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D.
【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，故，
则，
，
对于A，当为中点时，
则，，
则，，
所以，
所以为锐角，故A正确；
当平面，
因为平面，所以，
则，解得，
故存在点，使得平面，故B正确；
对于C，当时，取得最小值，
由B得，此时，
则，，
所以，
即的最小值为，故C错误；
对于D，，
设平面的法向量，
则有，
可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，
，
当且仅当时，取等号，
所以点到平面的最大距离为，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.
答案：0.25##
【解析】
分析：找出对应的数据，再根据古典概型即可得解.
【详解】解：由数据可知，
表示恰有两天下雨的数据为共5组，
所以三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故答案为：.
14. 已知向量，，，则______________.
答案：2
【解析】
分析：由向量的模求得，然后由数量积的坐标表示计算．
【详解】由已知，，
所以．
故答案为：2
15. 已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为_____________．
答案：##
【解析】
分析：根据直线方程可求出；根据求出，进而可求出直线的倾斜角.
【详解】直线方程直线的倾斜角大小为
故答案为：
16. 如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为_______.
答案：
【解析】
分析：因为平面，所以，，根据 ，求出，，，又可化为，所以只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜边上的高即可得解.
【详解】如图：
因为平面，所以，，
设，则，，，，
因为，所以，
所以，即，解得，
所以，，，
所以，
当时，取最小值，最小值为，
所以的最小值为，即的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了长方体的结构特征，考查了直线与平面所成的角，考查了空间向量的数量积，属于中档题.
四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 某校夏令营有名男同学和名女同学，现从这名同学中随机选出人参加知识竞赛.
（1）写出试验的样本空间；
（2）设为事件“选出的人恰有名男生和名女生”，求事件发生的概率.
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）列出所有可能的结果即可得样本空间；
（2）由古典概型即可求得概率.
【小问1详解】
所有可能的结果为：，，，，，
，，，，，共10种情况.
故样本空间为：
.
【小问2详解】
事件M包含的结果有：，共6个结果，
故事件M发生的概率为.
18. 已知三角形的三个顶点，，.
（1）求线段的中线所在直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
答案：（1）（2）.
【解析】
分析：（1）先求出BC中点的坐标，再求BC的中线所在直线的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出边上的高所在的直线方程.
【详解】（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,
所以,
所以线段的中线AD所在直线方程为
即.
（2）由题得,
所以AB边上的高所在直线方程为，
即.
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
19. 如图在平行六面体中，，，，，､､分别为，，的中点.
（1）求证：
（2）求和所成角的余弦值；
答案：（1）证明见解析
（2）
【解析】
分析：（1）只需证明即可；
（2）利用向量数量积和模求向量间的夹角即可.
【小问1详解】
取为一组基底，
设，
依题：
∴.
，
∴
，
故.
【小问2详解】
，.
∴
.
.
.
∴
所以直线与所成角的余弦值为.
20. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.
【小问1详解】
设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，
所以，
又“不被罚款”，
所以.
因此“不被罚款”的概率为；
【小问2详解】
设事件表示“第单被评为等级”，，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件，
且事件彼此互斥，
又，
所以.
21. 如图，四边形是边长为菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.
（1）求二面角的大小；
（2）求点到平面的距离.
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，
【小问1详解】
由题意，建立如图所示空间直角坐标系：
因为，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，所以，
所以，
二面角为钝角，故二面角的大小为.
【小问2详解】
因为，所以，
因为平面的一个法向量为，所以点C到平面的距离，
22. 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（2）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）存在；
【解析】
分析：（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE⊥平面POB，然后结合已知可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.
【小问1详解】
连接BE，在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，
∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，
∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，
OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，
又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE．
【小问2详解】
由（1）可知四边形ABED菱形，∴AD＝DE＝2，
在等腰梯形ABCD中AE＝BC＝2，∴△PAE正三角形，
∴，同理，
∵，
∴OP2+OB2＝PB2，
∴OP⊥OB，
由（1）可知OP⊥AE，OB⊥AE，
以O为原点，分别为x轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则 ，A（﹣1，0，0），，，E（1，0，0），
∴，，
设，，
设平面AEQ的一个法向量为（x，y，z），
则，即
取x＝0，y＝1，得，∴(0，1，)，
设直线PC与平面AEQ所成角为，
则，即，
化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得，
∴存在点Q为PB的中点，即时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为．