专题04 一次函数全章复习攻略（3个概念2个图象1个性质4个关系1个方法2个应用专练）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）

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3个概念
【考查题型一】常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
【例1】．（2023秋•沂源县期末）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是
A．变量是，；常量是B．变量是，；常量是
C．变量是，；常量是3，4D．变量是；常量是
【分析】根据常量和变量的概念解答即可．
【解答】解：球的体积是，球的半径为，则，
其中变量是，；常量是，
故选：．
【点评】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．
【变式1-1】．（2023春•港南区期末）一本笔记本5元，买本共付元，则变量是
A．5B．5和C．D．和
【分析】根据常量、变量的意义进行判断即可．
【解答】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量，
而购买的本数，总费用是变化的量，因此和是变量，
故选：．
【点评】本题考查了常量、变量，理解在某一变化过程中“常量”“变量”的意义是正确判断的前提．
【变式1-2】．（2022春•沈北新区期末）如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为
A．的度数B．的长度C．的长度D．的面积
【分析】根据常量和变量的定义进行判断．
【解答】解：木条绕点自由转动至过程中，的长度始终不变，
故的长度是常量；
而的度数、的长度、的面积一直在变化，均是变量．
故选：．
【点评】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．
【变式1-3】．（2023春•南沙区期末）周长为的矩形，若它的一边长是 ，面积是 ．
（1）请用含的式子表示，并指出常量与变量；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出与之间的关系式；
（2）代入数值求的值．
【解答】解：（1），
周长是常量；一边 ，面积 是变量．
（2）当时，
．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的解析式，函数值，解题的关键是列函数的解析式．
【考查题型二】函数
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
【例2】．（2023秋•长丰县期末）下列各曲线中，表示是的函数的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【变式2-1】．（2023春•沧州期末）观察表格和图象，下列判断正确的是
表格：
A．是的函数，不是的函数
B．和都是的函数
C．不是的函数，是的函数
D．和都不是的函数
【分析】根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，即可解答．
【解答】解：由表格可知：
对于自变量的每一个值，都有两个值与它对应，故不是的函数，
由图象可知：
对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，故是的函数，
故选：．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
【变式2-2】．（2023春•昌平区期末）下列图象中，不是的函数的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解答】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故不符合题意；
、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故不符合题意；
、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故不符合题意；
、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
【变式2-3】．（2023春•怀化期末）下面分别给出了变量与之间的对应关系，其中不是函数的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解答】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是函数，故不符合题意；
、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是函数，故不符合题意；
、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是函数，故不符合题意；
、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是函数，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
【考查题型三】一次函数
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
【例3】．下列函数中，一定是一次函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的定义，逐一分析四个选项，此题得解．
【解答】解：、，
是一次函数，符合题意；
、自变量的次数为，
不是一次函数，不符合题意；
、自变量的次数为2，
不是一次函数，不符合题意；
、当时，函数为常数函数，不是一次函数，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的定义，牢记一次函数的定义是解题的关键．
【变式3-1】．（2023春•台江区校级期末）一次函数是关于的一次函数，则，的值为
A．且B．且C．且D．且
【分析】直接利用一次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：一次函数是关于的一次函数，
且，
解得：且．
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握系数和次数是解题关键．
【变式3-2】．（2023春•遵化市期末）下列函数中，不是一次函数的是
A．B．C．D．
【分析】直接根据一次函数的定义进行判断．
【解答】解：，，都是一次函数，而为反比例函数．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如，、是常数）的函数叫做一次函数．
【变式3-3】（2023春•兴城市期末）若函数是一次函数，则的值为
A．B．C．2D．0
【分析】根据一次函数的定义可知，、为常数，，自变量的次数为1，即可求解．
【解答】解：是关于的一次函数，
且，
且，
且，
．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．
2个图象
【考查题型四】函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
【例4】．（2023秋•亭湖区校级期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是
A．B．
C．D．
【分析】先分析题意，把各个时间段内与之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时逐渐变大，火车完全进入后一段时间内不变，当火车开始出来时逐渐变小，故反映到图象上应选．
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论与之间的函数关系．
【变式4-1】．（2023春•潮安区期末）某人沿直路行走，若此人离出发的距离（千米）与行走时间（分的函数关系如图所示，则此人在这段时间内最快的行走速度是 千米分．
【分析】求速度，用距离与时间的比即可．
【解答】解：由函数图象可知，
段速度为：（千米分），
段速度为：（千米分），
段速度为：（千米分），
段速度为：（千米分），
最快的速度为段，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程是解题的关键．
【变式4-2】．（2023春•新华区校级期末）过山车（图是一个有趣而刺激的娱乐项目，如图2所示的是佳佳乘坐过山车在一分钟之内的高度（米与时间（秒之间的关系图象．
（1）当秒时，过山车的高度是 米；
（2）请直接写出在这一分钟内过山车有几次高度达到90米；
（3）求在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差．
【分析】（1）结合图象，仔细观察即可得出答案；
（2）结合图象，仔细观察即可得出答案；
（3）结合图象的最高点和最低点的纵坐标解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，当秒时，过山车的高度是80米．
故答案为：80；
（2），
过山车的运动介于之间时存在的情况，看图象可得，这一分钟内过山车有两次；
（3）最大高度为98米，最低高度为5米，
（米．
在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为93米．
【点评】本题考查函数图象，属于基础题，理解横、纵坐标的实际意义，仔细观察图象是解题的关键．
【变式4-3】．（2023春•那曲市期末）下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题：
（1）体育场离张强家 千米；张强从家去体育场用了 分；
（2）体育场离文具店 千米，张强在文具店停留了 分；
（3）请计算：张强从文具店回家的平均速度是多少？
【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间；
（2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间；
（3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案．
【解答】解：（1）由纵坐标看出体育场离张强家2.5千米，由横坐标看出张强从家去体育场用了15分钟；
（2）由纵坐标看出体育场离文具店千米，
由横坐标看出张强在文具店停留了分；
故答案为：2.5，15，1，20；
（3）由纵坐标看出文具店距张强家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了分钟，
张强从文具店回家的平均速度是千米分，
答：张强从文具店回家的平均速度是千米分钟．
【点评】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
【考查题型五】一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
【例5】．（2022秋•市南区期末）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的图象判断出，的符号，进而可得出结论．
【解答】解：由一次函数的图象可知，，，
，
一次函数的图象经过二、三、四象限．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【变式5-1】．（2023春•博兴县期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．
【解答】解：、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意；
、对于，当，图象经过第一、三象限，则，经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，所以选项符合题意；
、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意；
、对于，当，图象经过第二、四象限，若，则经过第一、三象限，所以选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
【变式5-2】．（2023春•桥西区期末）在如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式所对应的图象是
A． B．
C． D．
【分析】先根据程序框图列出正确的函数关系式，然后再根据函数关系式来判断其图象是哪一个．
【解答】解：根据程序框图可得，
的图象与轴的交点为，与轴的交点为．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用程序框图列出函数关系式、以及函数的图象等知识点，解题的关键是首先根据框图写出正确的解析式．
【变式5-3】．（2023春•曲阜市期末）如图，一次函数的图象为直线，菱形，，，按图中所示的方式放置，顶点，，，，均在直线上，顶点，，，均在轴上，则点的纵坐标是 ．
【分析】首先求得直线的解析式与、轴的交点，然后根据菱形的性质求得，，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：一次函数，
，，
四边形是菱形，
与关于轴对称，与互相垂直平分，
，轴，且是△的中位线，
，，
同理，与互相垂直平分，
把代入得，
，
垂直平分，
，，
把代入得，
，
垂直平分，
，
的纵坐标是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质，一次函数图形上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
1个性质
【考查题型六】一次函数的性质
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
【例6】．（2023春•江汉区期末）一次函数中，随的增大而减小，，则这个函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先根据一次函数的增减性判断出的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：一次函数中，随的增大而减小，
．
，
此函数的图象经过第二、三‘四象限，不经过第一象限．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
【变式6-1】．（2023春•兰陵县期末）关于一次函数，下列说法不正确的是
A．图象不经过第三象限B．随着的增大而减小
C．图象与轴交于D．图象与轴交于
【分析】由，，可得图象经过一、二、四象限，随的增大而减小，再分别求解一次函数与坐标轴的交点坐标，从而可得答案．
【解答】解：，，，
图象经过一、二、四象限，随的增大而减小，
故，不符合题意；
当时，，解得，
图象与轴交于，故符合题意；
当时，，
图象与轴交于，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与增减性，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟记一次函数的性质是解本题的关键．
【变式6-2】．（2023春•镇平县期末）请写出一个经过点，且随的增大而增大的一次函数的表达式 ．
【分析】设一次函数的解析式为，再把代入求出的值，根据随的增大而增大确定出的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：设一次函数的解析式为，
函数经过点，
，
一次函数的函数值随自变量增大而增大，
，
符合要求的一次函数的表达式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式6-3】．（2023春•湛江期末）已知一次函数，
（1）求图象与轴、轴的交点、的坐标．
（2）点在轴，四边形、、、是菱形，求出点的坐标．
【分析】（1）在中，令，则，令，则，即可得出答案；
（2）设点的坐标为，分成当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，三种情况解答即可．
【解答】解：（1）在中，
令，则，
令，则，
，；
（2）设点的坐标为，
当为对角线时，则，即轴，
点在轴上，且被轴垂直平分，
；
当为对角线时，则，，即轴，
点的坐标为或；
当为对角线时，则，
，
解得，
，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点评】本题考查一次函数的性质，菱形的性质，根据菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
4个关系
【考查题型七】一次函数与正比例函数关系
【例7】．（2023春•两江新区期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，
、，，则经过一、三、四象限，经过一、三象限，
、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，
、若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限，
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
【变式7-1】．（2023春•荣昌区期末）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限可判断出的符号，进而可得出结论．
【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出的符号是解答此题的关键．
【变式7-2】．（2022秋•双流区期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中
A．B．
C．D．
【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误；
、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
【变式7-3】．（2023春•盐山县期末）在同一直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：、正比例函数与一次函数的自变量系数都是，则两直线相互平行．故选项不符合题意；
、正比例函数图象经过第一、三象限，则，则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限．故本选项不符合题意；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则，则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项不符合题意；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则，则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．
【考查题型八】一次函数与一元一次方程关系
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
【例8】．（2023春•海港区期末）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是
A．B．C．D．都不对
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【解答】解：函数，的图象交于点，
则根据图象可得不等式的解集是，
故选：．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
【变式8-1】．（2023春•洪江市期末）如图，已知一次函数，为常数，的图象经过点，．
（1）由图可知，关于的一元一次方程的解是 ；
（2）求该一次函数的表达式．
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）待定系数法求解析式即可．
【解答】解：（1）一次函数，为常数，的图象经过点，
关于的一元一次方程的解是．
故答案为：；
（2）一次函数，为常数，的图象经过点，，
，
解得，
这个一次函数的解析式为；
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【变式8-2】．（2023秋•高州市期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ．
【分析】根据方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值解答即可．
【解答】解：直线与相交于点，
方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，
方程的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
【变式8-3】．（2023春•南阳期末）如图，直线过点，并且分别与轴，轴相交于点和点．
（1）求直线的表达式；
（2）直接写出方程的解为 ；
（3）将直线向上平移5个单位长度，交坐标轴于，两点，求的面积．
【分析】（1）将点代入即可得的值；
（2）解方程即可得到结论；
（3）根据平移的规律求得平移后的解析式，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）直线过点，
，解得：，
直线的表达式为；
（2）方程的解为，
故答案为：；
（3）将直线向上平移5个单位得直线，
当，，当，，
，，，
，，
的面积．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积等，求得平移的直线的解析式是解题的关键．
【考查题型九】一次函数与二元一次方程（组）关系
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
【例9】．（2023春•双辽市期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【分析】（1）把点分别代入函数和，求出、的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出、两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）将点代入，得，解得，将点代入，得，解得，
这两个函数的解析式分别为和；
（2）在中，令，得，
，．
在中，令，得，
．
．
（3）由函数图象可知，当时，．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
【变式9-1】．（2023春•单县期末）已知：如图一次函数与的图象相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积．
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点的坐标；
（2）先根据函数解析式求得、两点的坐标，可得的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象以及点坐标即可求解．
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点坐标为；
（2）当时，，，则点坐标为；
当时，，，则点坐标为；
，
的面积；
（3）根据图象可知，时的取值范围是．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积．
【变式9-2】．（2023春•高州市期末）如图，一次函数的图象经过，两点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【分析】（1）将点，的坐标分别代入，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出函数值小于4时自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）将点，的坐标分别代入中，
得，
解得，
故一次函数的解析式；
（2）观察图象可知：关于的不等式的解集为．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式9-3】．（2023春•陵城区期末）如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题：
（1）关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ；
（2）直接写出关于的不等式组解集是 ；
（3）若点坐标为，
①关于的不等式的解集是 ；
②的面积为 ；
③在轴上找一点，使得的值最大，则点坐标为 ．
【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与轴交点坐标，结合图象得出答案；
（3）①利用图象即可求解；
②利用三角形面积公式求得即可；
③作点关于轴的对称点为，连接，直线与轴的交点即为点．
【解答】解：（1）一次函数和的图象，分别与轴交于点、，
关于的方程的解是，关于的不等式的解集为，
故答案为，；
（2）根据图象可以得到关于的不等式组的解集；
故答案为：；
（3）点，
①由图象可知，不等式的解集是；
②，
；
③，，
直线与轴的交点即为点．
设直线为，
，
解得，
直线为，
令，则，
，
故答案为：（1），；（2）；（3）①；②；③．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，轴对称最短路线问题，正确利用数形结合解题是解题关键．
【考查题型十】一次函数与不等式（组）关系
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
【例10】．（2023秋•宣汉县期末）已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为
A．B．C．D．
【分析】首先把代入，求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案．
【解答】解：直线经过点，
，
解得，
，
关于，的二元一次方程组的解为，
故选：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【变式10-1】．（2023秋•西安期末）如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为
A．B．C．D．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：两个一次函数图象的交点坐标为，
关于，的方程组的解为．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【变式10-2】．（2023秋•化州市期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则二元一次方程组的解为 ．
【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是两函数组成的方程组的解．
【解答】解：一次函数和的图象交于点，
二元一次方程组的解为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组与一次函数的关系．
【变式10-3】．（2023春•裕华区期末）如图，直线的图象与轴交于点，直线的图象与轴交于点，两者相交于点．
（1）方程组的解是 ；
（2）当与同时成立时，的取值范围为 ；
（3）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标．
【分析】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；
（2）利用函数图象得出在轴上方时，对应的取值范围；
（3）利用三角形面积求法得出点横坐标，进而代入函数解析式得出点坐标．
【解答】解：（1）如图所示：方程组的解是为：；
故答案为：；
（2）如图所示：当与同时成立时，
取何值范围是：；
故答案为：；
（3）令，，则，
．
点异于点，
，．
．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．
1个方法
【考查题型十一】待定系数法
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
【例11】．（2023春•新邵县期末）已知与成正比例，当时，，求：
（1）与的函数解析式；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出，从而得到与的函数解析式；
（2）利用（1）中的解析式，计算函数值为12所定义的自变量的值即可．
【解答】解：（1）设，
把，代入得，
解得，
，
即与的函数解析式为；
（2）当时，，
解得．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．
【变式11-1】．（2023春•澄城县期末）如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）求直线的解析式；
（2）已知点在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若，求点的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据三角形的面积求得的纵坐标为2，然后根据题意即可求得的坐标为．
【解答】解：（1）设直线的解析式为：，
，，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2），，
，
设的纵坐标为，
点在第一象限，且到两坐标轴距离相等，
，
，
，
，
点的坐标为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
【变式11-2】．（2023春•北京期末）在平面直角坐标系中，点和点在一次函数的图象上．
（1）若，，，求该一次函数的解析式；
（2）已知点，将点向左平移3个单位长度，得到点．
①求点的坐标；
②若，一次函数的图象与线段有公共点，求的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①根据平移的规律即可求得；
②把点和点代入得到，．由，得到，解得，然后分别代入点、求得的值，即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）当，，时，点和点在一次函数上，
解得
一次函数的解析式．
（2）①点，
将点向左平移3个单位长度，得到点；
②把点和点代入中，
得，．
，
，
解得，
一次函数的解析式为．
当直线经过点时，，
解得．
当直线经过点时，，
解得．
综上所述，的取值范围是．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化平移，熟知待定系数法是解题的关键．
【变式11-3】．（2023春•昌平区期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【分析】（1）把两点坐标代入，可得关于、的方程组，解得、的值，进而可得函数解析式；
（2）当时，求出的值，然后根据题意，结合图象，即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）把点，代入得：
，
解得：，
故一次函数解析式为：；
（2）把代入，求得，
把点代入，得，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
2个应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
【考查题型十二】给出图象解实际问题
【例12】．（2023春•覃塘区期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行距离．现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．
（1）品牌每分钟收费 元；
（2）求品牌的函数关系式；
（3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
【分析】（1）根据图象设出函数解析式，再根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图形可知，品牌的函数关系式分两段求解，待定系数法求函数解析式即可；
（3）先求出小明从家到工厂所用时间为，再通过图象可知小于时选择品牌电动车更省钱．
【解答】解：（1）设，
把点代入，
得：，
；
故答案为：0.2；
（2）由图象可知，当时，，
当时，设，
把点和点代入中，
得：，
解得：，
，
综上：．
（3），，
，
由图象可知，当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱．
小明选择品牌的共享电动车更省钱．
【点评】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
【变式12-1】．（2023春•新宾县期末），两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发．如图是甲、乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 ；
（2）分别求出，与之间的函数表达式；
（3）求出点的坐标．
【分析】（1）观察图象，甲从地出发前往地，全程所行路程为，所用时间为，用路程除以时间求速度即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）用，之间的函数解析式联立，求解即可．
【解答】解：（1）由图可知，甲从地出发前往地，全程所行路程为，所用时间为，
甲的速度为：，
故答案为：60；
（2）设与之间的函数表达式为：，
将点和代入得：，
解得：，
；
设与之间的函数表达式为：，
将点和代入得：，
解得，
；
（3）根据题意，得，
解得，，
点的坐标为．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求函数的解析式，求直线交点坐标等知识，读懂题意，从图象中找到相关信息是解答本题的关键．
【变式12-2】．（2023春•巩义市期末）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 ．
（2）当时，求与的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
【分析】（1）结合图象，用甲6小时挖的长度时间，即可得出结论；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）先用待定系数法求出与的之间的函数关系式以及当时与的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖（米，
故答案为：10；
（2）设乙队在的时段内与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
当时，与的之间的函数关系式为；
（3）当时，设与的函数解析式为，
可得，
解得，
即；
设甲队在的时段内与之间的函数关系式，
由图可知，函数图象过点，
，
解得，
；
当时，，
解得；
当时，，
解得或．
答：当两队所挖的河渠长度之差为时，的值为或或．
【点评】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
【变式12-3】．（2023春•赣县区期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：与充电时间（单位：的函数图象分别为图2中的线段、．
（1）求线段对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值．
【分析】（1）设线段的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可．
【解答】解：（1）设线段的函数表达式为，
将，代入，
即，
解得，
线段的函数表达式为；
（2）根据题意，得，
．
【点评】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
【考查题型十三】给出表格信息解实际问题
【例13】．（2023春•寻乌县期末）如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成．使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度（固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设活动带未使用部分的长度为，背带的总长度为，经测量，得到如下数据：（说明：本题只讨论一条背带）
（1）根据表中数据的规律，填空： ， ；
（2）当时，求关于的函数解析式；
（3）在下面的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中的函数图象；
（4）根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的长度．
【分析】（1）观察表格可知，是的一次函数，设，利用待定系数法即可解决问题；
（2）列出方程组即可解决问题；
（3）由题意当，，当时，，可得．
【解答】解：（1）观察表格可知，是的一次函数，设，
则有，
解得，
．
当时，，当时，；
故答案为：，；
（2）当时，关于的函数解析式为；
（3）图象如下图：
（4）由题意当，
，
，
活动带未使用部分的长度为．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式13-1】．（2023春•久治县期末）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围
（2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值．
【分析】（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆．根据表格可列出等量关系式，化简得；
（2）由利润车辆数每车水果获利可得与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆．
，
；
（2），
即，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值10.3万元，
装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元．
【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键．
【变式13-2】．（2023春•江岸区期末）为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲，乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于10800元，且不超过11100元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）依题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，；
（2）由（1）得：甲的进价为100元双，乙的进价为80元双，甲运动鞋的利润为（元双），乙运动鞋的利润为（元双），
设购进甲种运动鞋双，则乙种运动鞋双，
根据题意得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
是正整数，，
共有16种方案；
（3）设总利润为，则，
①当时，，；所有方案获利都一样；
②当时，，随的增大而增大，
所以，当时，，即进货方式为：甲种运动鞋155双，乙种运动鞋45双；
③当时，，随的增大而减小，
所以，当时，，即进货方式为：甲种运动鞋140双，乙种运动鞋60双．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．
【变式13-3】．（2023春•诸城市期末）小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量（单位：个）与叠放在一起的凳子的总高度（单位：的关系如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）判断叠放的凳子总高度与凳子的数量之间符合什么函数关系？请用待定系数法求与的函数关系式；
（2）若将该种凳子竖直叠放在层高为超市货架上，最多能叠放多少个？
【分析】（1）由每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，可得叠放的凳子总高度与凳子的数量之间符合一次函数关系；用待定系数法可得；
（2）根据层高为得：，而为整数，即可得到答案．
【解答】解：（1）每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，
叠放的凳子总高度与凳子的数量之间符合一次函数关系；
设，把，代入得：
，
解得，
；
（2）根据题意得：，
解得，
为整数，
最大值为10，
最多能叠放10个．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
1
1
2
3
4
活动带未使用部分的
长度分）
5
10
15
20
30
背带的总长度
65
60
55
苹果
芦柑
香梨
每辆汽车载货量（吨
7
6
5
每吨水果获利（万元）
0.15
0.2
0.1
种类
运动鞋价格
甲
乙
进价（元双）
售价（元双）
160
120
凳子的数量
1
2
3
4
叠放的凳子总高度
45
50
55
60