专题03 平行四边形全章复习攻略（1个定理 1个性质）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）

这是一份专题03 平行四边形全章复习攻略（1个定理 1个性质）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版），文件包含专题03平行四边形全章复习攻略1个定理1个性质4个图形的性质与判定4个技巧2种思想专练原卷版2023-2024学年八年级数学下期末考点大串讲人教版docx、专题03平行四边形全章复习攻略1个定理1个性质4个图形的性质与判定4个技巧2种思想专练解析版2023-2024学年八年级数学下期末考点大串讲人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。


一个定理
【考查题型一】三角形的中位线定理
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
【例1】．（2023春•柳州期末）如图，在四边形中，，，，、、分别是、、的中点，若．则的周长是
A．10B．12C．16D．18
【变式1-1】．（2023春•白碱滩区期末）如图，在中，已知，，点，，分别是，，的中点，则四边形的周长是 ．
【变式1-2】（2023春•船营区校级期末）如图，为估计池塘两岸边，两点间的距离，在池塘的一侧选取点，分别取，的中点，，测得，则，两点间的距离是 ．
【变式1-3】．（2023春•遂川县期末）（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
一个性质
【考查题型二】三角形斜边上的中线性质
直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【例2】．（2023秋•太康县期末）如图，在中，，且，分别是，上的高，，分别是，的中点，若，则的长为
A．10B．12C．13D．14
【变式2-1】．（2023秋•焦作期末）如图，在中，，为中点，若，则的长是
A．6B．5C．4D．3
【变式2-2】．（2023秋•宿迁期末）如图，在和中，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求．
【变式2-3】．（2023春•定南县期末）如图，在中，，是边上一动点（不与，重合），于点，点是线段的中点，连接，．
（1）试猜想线段与的大小关系，并加以证明．
（2）若，连接，在点运动过程中，探求与的数量关系．
4个图形的性质与判定
【考查题型四】性质与判定1：平行四边形的性质与判定
1.平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
3．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
【例4】．（2023秋•泰山区期末）在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
【变式4-1】．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ．
【变式4-2】．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点、在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点，若，，求的长．
【变式4-3】．（2023秋•河口区期末）如图1，在中，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积．
【考查题型五】性质与判定2：矩形的性质与判定
1.矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
【例5】（2023春•凤阳县期末）如图，四边形是平行四边形，、相交于点，点是的中点，连接，过点作于点，过点作于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，，求的长．
【变式5-1】．（2023春•增城区期末）如图，在中，，，，为斜边上一动点，过分别作于点，作于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）求线段的最小值．
【变式5-2】．（2023春•永善县校级期末）如图，已知四边形是平行四边形，并且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）点是边的中点，为边上一点，，若，，求的长．
【变式5-3】．（2023春•鹤山市期末）如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若平分，且，，求线段的长．
【考查题型六】性质与判定3：菱形的性质与判定
1.菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
2．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
3．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
【例6】．（2023秋•禅城区期末）如图，点、分别在菱形的边、上，且．求证：．
【变式6-1】．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在四边形中，，是的中点，，，于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【变式6-2】．（2023春•丰泽区校级期末）如图，将矩形折叠，使、重合，折痕分别与、相交于、，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的边，，求线段的长度．
【变式6-3】．（2023春•潮南区期末）如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
（3）若，，则菱形的面积是多少？
【考查题型七】性质与判定4：正方形的性质与判定
1.正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
3．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【例7】．（2023秋•绥棱县期末）如图，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【变式7-1】．（2023秋•定边县期末）如图，正方形边长为4，点在边上（点与点、不重合），过点作，垂足为，与边相交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，取，的中点，，连接，求的长．
【变式7-2】．（2023秋•白银区期末）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由．
【变式7-3】．（2023春•柘城县期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图1，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
4个技巧
【考查题型八】技巧1：解与四边形有关折叠问题的技巧
【例8】．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形．
（1）求证：；
（2）当 度时，四边形是菱形？说明理由．
【考查题型九】技巧2：解与四边形有关旋转问题的技巧
【例9】．（2023秋•淄川区期末）已知矩形（如图的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合．连接，取的中点为，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，若将（1）中的矩形绕着点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．
【变式9-1】．（2023秋•邻水县期末）如图1，为正方形内一点，且，求的度数．
小明同学的想法是：不妨设，，，设法把、、相对集中，于是他将绕点顺时针旋转得到（如图，然后连接，问题得以解决．请你回答图2中 度．
请你参考小明同学的方法，解答下列问题．
如图3，是等边内一点，，那么 度．请写出推理过程．
【考查题型十】技巧3：解与四边形有关动点问题的技巧
【例10】．（2023秋•莱西市期末）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
【考查题型十一】技巧4：解中点四边形的技巧
【例11】（2023春•福山区期末）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是
A．四边形是矩形
B．四边形的面积等于四边形面积的
C．四边形的内角和小于四边形的内角和
D．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
【变式11-1】．（2023春•达州期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是
A．7B．9C．11D．13
【变式11-2】．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形中，点、、、分别为、、、的中点，
（1）求证：中点四边形是平行四边形；
（2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点、、、分别为、、、的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想．
【变式11-3】．（2022春•仙居县期末）如图，在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形的面积．
2种思想
【考查题型十二】思想1：转化思想
【例12】．（2022春•青秀区期末）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
【直接应用】
方程的解是， ， ．
【类比迁移】
解方程：．
【问题解决】
如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．
【考查题型十三】思想2：数形结合思想
【例13】．（2024春•泰兴市月考）请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
题．如图1，在矩形中，、分别是、的中点，请作出以为边的菱形，且、分别在、边上，并证明你所作的四边形是菱形．
题．如图2，在正方形中，是对角线上一点，请作出以为边的菱形，且点在上，并证明你所作的四边形是菱形．