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2024年河南省各地市中考数学一模压轴题精选(含解析)
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这是一份2024年河南省各地市中考数学一模压轴题精选(含解析)，共83页。
1.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s.点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D.点D运动2s时，点P与点A重合.△PBD的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点.当S(cm2)取最大值时，PD的长为( )
A. 2 3cmB. (1+ 3)cmC. (1+2 3)cmD. (2+2 3)cm
2.(2024·河南省南阳市·一模)如图1，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为( )
A. 6B. 8C. 10D. 13
3.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°.设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的( )
A. 线段CGB. 线段AGC. 线段AHD. 线段CH
4.(2024·河南省南阳市·一模)如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
5.(2024·河南省洛阳市·一模)正方形ABCD与正方形BEFG按照如图所示的位置摆放，其中点E在AB上，点G、B、C在同一直线上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B'E'F'G'，当点G'与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形B'E'F'G'与正方形ABCD的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为( )
A. B.
C. D.
6.(2024·河南省驻马店市·一模)如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x.则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.(2024·河南省漯河市·一模)如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为s(cm2)，则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )
A. B.
C. D.
第二部分 一次函数与反比例函数
8.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
9.(2024·河南省漯河市·一模)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(1,2)，B(a,-1)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出不等式kx+b-mx<0的解集．
(3)若直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
10.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
(3)请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD//x轴，交OA于点D，(提示：即作一个角∠ABD等于已知角∠ACO，保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出梯形OCBD的面积．
11.(2024·河南省洛阳市·一模)如图，双曲线y=kx与直线y=mx+n交于A(6,6)，B(a,-1)，直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
(1)求双曲线与直线AB的解析式；
(2)直接写出不等式kx≥mx+n的解集；
(3)请用无刻度的直尺和圆规作出线段ON的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)，交直线AB于点P，交双曲线于点Q.求出点Q的坐标．
12.(2024·河南省周口市·一模)如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB上的点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，点B(3,-1)在第四象限，菱形OCDE的顶点D在x轴的负半轴上，顶点E在反比例函数y=kx的图象上．
(1)k的值为______；
(2)求∠AOB的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
13.(2024·河南省开封市·一模)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0, 3)，B(1,0)，C(2, 3)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C．
(1)求k的值．
(2)点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，且BD⊥AC于点E，DE=BE，请说明四边形ABCD是菱形．
(3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第三部分 圆与扇形
14.(2024·河南省开封市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积= ．
15.(2024·河南省南阳市·一模)如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为______．
16.(2024·河南省开封市·一模)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PB经过圆心O，且与⊙O交于点B，C，若AP=AB=3，则直径BC的长为______．
17.(2024·河南省南阳市·一模)如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC．
(1)求证：AC平分∠BAE；
(2)若AC=5，tan∠ACE=34，求⊙O的半径．
18.(2024·河南省开封市·一模)如图，⊙O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切线交CD延长线于点F，且∠AED=∠EAD．
(1)求证：AD=FD；
(2)若AE=6，sin∠AFE=35，求⊙O半径的长．
19.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
(1)求证：BE=EC．
(2)填空：
①若∠B=30°，AC=2 3，则DE=______；
②当∠B=_____°时，四边形DECO是正方形．
20.(2024·河南省驻马店市·一模)阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：______；@：______．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径．
第四部分 全等与相似三角形
21.(2024·河南省开封市·一模)已知∠ABC=30°，AB=4，P是BC边上一点，当△ABP是以PA为腰的等腰三角形时，BP的长为______．
22.(2024·河南省洛阳市·一模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为______．
23.(2024·河南省驻马店市·一模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若AD=3，当△ABP与△BFC相似时，AP的长为______．
24.(2024·河南省周口市·一模)矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C，且AB=1，AD= 3.当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为______．
25.(2024·河南省商丘市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，AB=4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为______．
26.(2024·河南省开封市·一模)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D为边AC的中点，E为边AB上的一个动点，连接DE，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，当A'E⊥AC时，BE的长度为______．
27.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在△ABC和△ADE中，AB=BC=4 2，AD=DE=2，∠ABC=∠ADE=90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD.将△ADE绕点A在平面内旋转，当∠CDE=90°时，OD的长为______．
28.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC29.(2024·河南省周口市·一模)如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点F，G，H分别为BC，DE，DC的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段GH与FH的数量关系是______，∠GHF的度数为______；
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接GF，BD，CE，判断△GHF的形状，并说明理；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=6，请直接写出△GHF面积的最大值．
30.(2024·河南省开封市·一模)转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用．
如图1，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=3.请解答下面的问题：
(1)基础巩固：
如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则BC与BM之间的数量关系是______；
(2)拓展探究：
如图2，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN．
①求证：△BCM∽△ACN；
②用等式表示AC与AN之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：
点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C旋转得到△CMN，请直接写出点A，M，N在同一直线上时BM的长．
31.(2024·河南省南阳市·一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长．
32.(2024·河南省驻马店市·一模)【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：______．
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当m= 3，AB=4 7，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
第五部分 特殊四边形
33.(2024·河南省南阳市·一模)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH.求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
34.(2024·河南省漯河市·一模)综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱ABCD中(∠ADC>∠DAB)，点P是边AD上一点.将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF//AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD的形状一定是______(选填“菱形”“矩形”或“正方形”)；
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF.试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：若点P是射线DA上一点，当点E恰好落在▱ABCD的边或边的延长线上时，AP=3，AD=7，CD=10，直接写出BE的长．
35.(2024·河南省商丘市·一模)综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：
如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G.请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；
(2)迁移思考：
如图1，若AB=4，按照(1)中的操作进行折叠和作图，当CG=2时，求AD的值；
(3)拓展探索：
如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G.若AD=2，CG=0.5，请直接写出线段DG的值．
36.(2024·河南省洛阳市·一模)【问题背景】：
如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4 3，∠BAC=30°，点E是斜边AC的中点，过点E作ED⊥AB交AB于点D．
【实验探究】：
(1)数学活动课中，小明同学将图1中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①BDCE= ______；②直线BD与CE所夹锐角的度数为______；
(2)若我们继续将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【拓展延伸】：
(3)在以上探究中，当△ADE旋转至D、E、C三点共线时，则△BCD的面积为______．
37.(2024·河南省开封市·一模)某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：
初步探索
(1)如图1，E，F分别是正方形ABCD的BC边和CD边上的点，并且∠EAF=45°，我们可通过如下方法探索EF与BE和DF之间的数量关系：
因为AD=AB，∠D=∠ABE=90°，所以我们以点A为旋转中心，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F'，由△ADF≌△ABF'且易证△AEF≌△AEF'，从而可知，EF，BE，DF的数量关系是______．
探索延伸
(2)如图2，E，F是等腰直角△ABD的底边BD上的点，∠EAF=45°，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．
拓展应用
(3)如图3，在矩形ABCD中，E是BC边的三等分点，F为CD边上的点，且∠EAF=45°，当AB=4，AD=3时，直接写出DF的长．
第六部分 二次函数
38.(2024·河南省周口市·一模)如图，抛物线y=-12x2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．
39.(2024·河南省开封市·一模)如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴P，把开关开至最大时，喷出的形状接近于抛物线y=ax2+bx+1，当水柱距地面2m时，距喷嘴的水平距离为4m，水柱落地点距喷嘴的水平距离OA=6m．
(1)求水柱所在抛物线的解析式．
(2)已知在水柱正下方OA的范围内开有一些鲜花．
①若鲜花的高度为1m，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，才不会被水柱直接喷到．
②开在距喷嘴水平距离为0.4m处的高度为1.3m的鲜花，是否会被水柱直接喷到？判断并说明理由．
40.(2024·河南省南阳市·一模)一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画.若小球到达最高点的坐标为(4,8)．
(1)求抛物线的函数解析式(不写自变量x的取值范围)；
(2)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为______米；
(3)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．
41.(2024·河南省开封市·一模)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=-116x2+bx+c.已知OA=70m，OC=60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
(1)点A的坐标是______，点P的坐标是______；
(2)求满足的函数关系式y=-116x2+bx+c；
(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
42.(2024·河南省漯河市·一模)掷实心球是某市中考体育考试的选考项目.如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点258m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准(男生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分.按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
43.(2024·河南省南阳市·一模)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
44.(2024·河南省洛阳市·一模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米.如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．
45.(2024·河南省商丘市·一模)某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系(甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处)，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围；
(3)经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？
参考答案
1.【答案】B
【解析】解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1所示．
此时，在Rt△PBD中，BD=2cm，∠B=60°，PD⊥BC，
∴PB=2BD=4(cm)，
∴PD= PB2-BD2=2 3(cm)．
由函数图象得BC=(2+2 3)×1=(2+2 3)cm，
∴DC=BC-BD=2+2 3-2=2 3(cm)，
∴PD=DC．
由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．
当2≤t≤2+2 3时，点P在AC边上，如图2，
此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+2 3-t)cm，
∴S△PBD=12×BD×PD=12×t×(2+2 3-t)=-12t2+(1+ 3)t．
∵S△PBD=-12[t-(1+ 3)]2+2+ 3，
又∵-12<0，
∴当t=1+ 3时，S△PBD的值最大，
此时PD=CD=2+2 3-(1+ 3)=(1+ 3)cm．
故选：B．
先根据点D运动2s时，点P与点A重合．从而求得PD= PB2-BD2=2 3(cm)，再由函数图象求得BC=(2+2 3)×1=(2+2 3)cm，从而求得DC=BC-BD=2+2 3-2=2 3(cm)，得出PD=DC，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．所以当2≤t≤2+2 3时，点P在AC边上，此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+2 3-t)cm，根据三角形面积公式求得S△PBD=-12[t-(1+ 3)]2+2+ 3，最后根据二次函数的性质求解即可．
本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．
2.【答案】A
【解析】解：由图2知，AB+BC=2 13，
∵AB=BC，
∴AB= 13，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AC=2AD，∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2=13①，
设点M到AC的距离为h，
∴S△ADM=12AD⋅h，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h=BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴12AD⋅BD=3，
∴AD⋅BD=6②，
①+2×②得，AD2+BD2+2AD⋅BD=13+2×6=25，
∴(AD+BD)2=25，
∴AD+BD=5(负值舍去)，
∴BD=5-AD③，
将③代入②得，AD(5-AD)=6，
∴AD=3或AD=2，
∵AD>BD，
∴AD=3，
∴AC=2AD=6，
故选：A．
先根据AB=BC结合图2得出AB= 13，进而利用勾股定理得，AD2+BD2=13，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即12AD⋅BD=3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB= 13和点M和点B重合时，△ADM的面积为3是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；
若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；
若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；
若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；
故选D．
根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．
【解答】
解：当P在BC上，即0当P在CD上，即4当P在AD上，即8观察4个选项，符合题意的为D；
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
把运动距离分0≤x≤2，2本题主要考查了动点问题的函数图象，分析出重叠部分面积的变化情况是解题关键．
【解答】
解：①当0≤x≤2时，S随x的增大而增大，最大值为4；
②当2③当4故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：EF12=6-x6，
即EF=2(6-x)
所以y=12×2(6-x)x=-x2+6x.(0该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意BE=CF=t，CE=8-t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
OB=OC∠OBE=∠OCFBE=CF，
∴△OBE≌△OCF(SAS)，
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四边形OECF=S△OBC=14×82=16，
∴S=S四边形OECF-S△CEF=16-12(8-t)⋅t=12t2-4t+16=12(t-4)2+8(0≤t≤8)，
∴s(cm2)与t(s)的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为0≤t≤8．
故选：B．
由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8-t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF-S△CEF=16-12(8-t)⋅t，然后配方得到S=12(t-4)2+8(0≤t≤8)，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
8.【答案】解：(1)∵OA=1，
∴点A的坐标为(-1,0)，
则-k+2=0，
解得：k=2，
∴直线l的解析式为y=2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2=6，
∴点C的坐标为(2,6)，
∴m=2×6=12；
(2)设点D的坐标为(n,2n+2)，则点E的坐标为(n,12n)，
∴DE=|2n+2-12n|，
∵OB//DE，
∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y=2x+2与y轴交于点B，
∴OB=2，
∴|2n+2-12n|=2，
当2n+2-12n=2时，n1= 6，n2=- 6(舍去)，
此时，点D的坐标为( 6,2 6+2)，
当2n+2-12n=-2时，n1= 7-1，n2=- 7-1(舍去)，
此时，点D的坐标为( 7-1,2 7)，
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为( 6,2 6+2)或( 7-1,2 7).
【解析】(1)根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
(2)分2n+2-12n=2、2n+2-12n=-2两种情况，计算即可．
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9.【答案】解：(1)把点A(1,2)代入y=mx得，2=m1，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把B(a,-1)代入y=2x得，a=-2，
∴B(-2,-1)，
把点A(1,2)，B(-2,-1)代入y=kx+b得k+b=2-2k+b=-1，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)当y=0时，0=x+1，
解得：x=-1，
∴C(-1,0)，
设P(x,0)，
∴S△APC=12×|x+1|×2=4，
∴x=3或x=-5，
∴P(3,0)或(-5,0)．
【解析】(1)把点A(1,2)代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A(1,2)，B(-2,-1)代入y=kx+b得到一次函数的解析式为：y=x+1；
(2)当y=0时，得到C(-1,0)，设P(x,0)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
10.【答案】解：(1)∵反比例函数图象点B(4,2)，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的表达式为：y=8x，
把A(a,4)代入y=8x得：a=2，
∴A(2,4)，
∵一次函数y=mx+n的图象过点A，点B，
∴4m+n=22m+n=4，
解得：m=-1n=6，
∴一次函数的表达式为y=- x+6；
(2)观察函数图象可得，- x+6≥的解集为：2≤ x≤4；
(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，如下图：
由一次函数的表达式知，点C(6,0)，
由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y=2x，
当y=2时，2y=2x，
则x=1，
即点D(1,2)，则BD=4-1=3，
则梯形OCBD的面积=12×(BD+OC)×yB=12×(3+6)×2=9．
【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；
(2)利用数形结合思想可求解；
(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，由梯形OCBD的面积=12×(BD+OC)×yB=12×(3+6)×2=9，即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到面积的计算、函数作图、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．
11.【答案】解：(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=6×6=36，
则反比例函数表达式为：y=36x，
将点B的坐标代入上式得：-1=36a，则a=-36，
即点B的坐标为：(-36,-1)，
将A、B的坐标代入一次函数表达式得：-1=-36m+n6=6m+n，
解得：m=16n=5，
则直线AB的表达式为：y=16x+5；
(2)从函数图象看，不等式kx≥mx+n的解集为：0(3)分别以点O、N为圆心，以大于12NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，
令y=16x+5=0，则x=-30，即点N(-30,0)，
则ON的中垂线为x=-15，
当x=-15时，y=36x=-125，
即点Q的坐标为：(-15,-125).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)分别以点O、N为圆心，以大于12NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，得到ON的中垂线为x=-15，即可求解．
本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质，不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：(1)∵点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=1×3=3，
故答案为：3；
(2)如图，分别过点A，B作AF⊥x轴于点F，BG⊥x轴于点G，
则OF=BG=1，AF=OG=3．
又OA=OB，
∴△OAF≌△BOG(SAS)，
∴∠AOF=∠OBG，
又∠BOG+∠OBG=90°，
∴∠BOG+∠AOF=90°，
∴∠AOB=90°；
(3)连接CE交OD于H，
∵四边形OCDE是菱形，
∴OD⊥CE，
∴S△COD=2S△OHE，
∵顶点E在反比例函数y=3x的图象上，
∴S△OEH=12×3=32，
∴S△COD=2S△OHE=3，
∵OA= AF2+OF2= 12+32= 10，
∴图中阴影部分面积之和=3+90⋅π×10360=3+5π2．
(1)根据点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，求得k=1×3=3，
(2)如图，分别过点A，B作AF⊥x轴于点F，BG⊥x轴于点G，得到OF=BG=1，AF=OG=3.根据全等三角形的性质得到∠AOF=∠OBG，于是得到结论，
(3)连接CE交OD于H，根据菱形的性质得到OD⊥CE，得到S△COD=2S△OHE，求得S△OEH=12×3=32，根据勾股定理得到OA= AF2+OF2= 12+32= 10，于是得到图中阴影部分面积之和=3+90⋅π×10360=3+5π2．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．
13.【答案】(1)解：把点C(2, 3)代入y=kx(x>0)，得 3=k2，
∴k=2 3．
(2)证明：∵点A和点C的纵坐标都是 3，
∴AC//x轴．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥x轴，
∴AO//EB，
∴四边形AOBE是平行四边形．
∵∠AOB=90°，
∴四边形AOBE是矩形，
∴AE=OB=1．
又∵AC=2，
∴EC=AE=1．
∵DE=BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形．
(3)解：存在，点P的坐标为(-1,0)或(3,0)．
∵A(0, 3)，B(1,0)，C(2, 3)，
∴AB2=( 3)2+1=4，AC2=( 3- 3)2+22=4，CB2=( 3)2+(2-1)2=4，
∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等，
∴可设点P(x,0)，
当菱形ABPC以AB为对角线，则1=x+2，
解得x=-1，
当菱形ABCP以CB为对角线，则x+0=1+2，
解得x=3，
则P1(-1,0)，P2(3,0)．
【解析】(1)将点C(2, 3)代入y=kx即可；
(2)根据题意得AC//x轴，且BD⊥x轴，则有四边形AOBE是平行四边形，结合∠AOB=90°，那么四边形AOBE是矩形，由于EC=AE，DE=BE和BD⊥AC即可判定；
(3)根据点的坐标可求得AB=AC=CB，且点A和点C纵坐标相等，可设点P(x,0)，分以AB为对角线和以CB为对角线，列方程求解即可．
本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理与性质．
14.【答案】23π
【解析】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴S△AFD=S△OFA，
∴S阴=S扇形OFA，
∵OD=OA=2，AB=6，
∴OB=4，
∴OB=2OD，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OF=OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴S阴=S扇形OFA=60⋅π⋅22360=2π3．
故答案为：2π3．
连接OD，OF.首先证明OD//AC，推出S阴=S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
15.【答案】25π8
【解析】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD=CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE=90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影=S△DCE+S半弓形BCE=S△OCE+S半弓形BCE=S扇形COB=45π×52360
=25π8，
故答案为：25π8．
先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】2 3
【解析】解：连接OA、AC，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠PAC+∠CAO=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAO+∠CAO=90°，
∴∠PAC=∠BAO，
∵AP=AB，
∴∠P=∠B，
∵∠PAC=∠BAO，AP=AB，∠P=∠B，
∴△PAC≌△BAO(ASA)，
∴AC=AO，
∵AO=CO，
∴AC=AO=CO，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACB=60°
∴BC=ABsin60∘=3 32=2 3，
故答案为：2 3．
连接OA、AC，证明△ACO是等边三角形，再利用三角函数可求BC．
本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
17.【答案】(1)证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC//AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠EAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
(2)解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AE⊥DC，
由(1)得：∠EAC=∠OAC，
∴∠ABC=∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan∠ACE=34，
∴ACBC=5BC=34，
∴BC=203，
在Rt△ABC中，AB= AB2+BC2=253，
∴OA=256．
【解析】(1)连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC//AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
(2)连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE=90°，再利用(1)的结论可得tan∠ABC=tan∠ACE=34，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AF与圆相切于A，
∴直径AB⊥AF，
∴∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90°，
∵∠AED=∠EAD，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=FD；
(2)解：连接BD，
∵∠EAF=90°，
∵sin∠AFE=35，
∴cs∠AEF=AEEF=45，
∵AE=6，
∴EF=7.5，
∵∠AED=∠EAD，
∴AD=ED，
∴AD=12EF=3.75，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠AED=∠EAD，
∵cs∠EAD=cs∠AEF=45，
∴ADAB=45，
∴AB=7516，
∴⊙O半径的长是7532．
【解析】(1)由切线的性质推出∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90°，而∠AED=∠EAD，因此∠F=∠FAD，即可证明AD=FD；
(2)由锐角的余弦求出FE的长，即可得到AD的长，由cs∠EAD=cs∠AEF=35，求出AB长，即可求出圆的半径长．
本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接DO；如图所示：
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
(2)3， 45 ．
【解析】【分析】
本题考查了圆的切线性质、切线长定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
(1)证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；
(2)①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°，先证明四边形DECO是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 3，
∴AB=2AC=4 3，
∴BC= AB2-AC2=6，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由(1)得：BE=EC，
∴DE=12BC=3，
故答案为：3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=∠OCE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．
20.【答案】有两个角对应相等的两个三角形相似 CPBP
【解析】解：(1)连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，(有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴APDP=CPBP，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP；
(2)延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，
设圆O的半径为rcm，则PF=(5+r)cm，PD=(r-5)cm，
根据(1)中结论得AP⋅BP=DP⋅FP，即为4×(10-4)=(r+5)(r-5)，
解得：r=7或r=-7(不符合题意，舍去)，⊙O的半径为7cm．
(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可；
(2)延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF=(5+r)cm，PD=(r-5)cm，根据(1)中结论代入求解即可．
题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
21.【答案】4 33或4 3
【解析】解：分两种情况：
①如图，AB是等腰△ABP的底，则BP=AP，
∵∠ABC=30°，AB=4，
过点P作PD⊥AB于点D，
∴BD=12AB=12×4=2，csB=BDBP，
∴BP=BDcsB=2cs30∘=4 33；
②如图，AB是等腰△ABP的腰，则AP=AB=4，
∵∠ABC=30°，AB=4，
过点A作AD⊥BP于点D，
∴BD=PD=12BP，csB=BDAB，
∴BD=AB⋅csB=4×cs30°=4× 32=2 3，
∴BP=2BD=4 3；
综上所述，BP的长为4 33或4 3．
故答案为：4 33或4 3．
根据等腰三角形的三线合一性质，分两种情况讨论即可．
本题考查锐角三角函数的应用，等腰三角形的三线合一性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】12或32
【解析】【分析】
分两种情形：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J.如图2中，当PD⊥BC于点J时，分别求出PB，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．
∵∠C=90°，AC=1，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2，BC= 3AC= 3，
由翻折变换的性质可知，∠D=∠B=30°，DM=BM= 32，
∴JM=12DM= 34，
∴BJ=BM-JM= 34，
∴PB=BJcs30∘=12，
∴AP=AB-PB=2-12=32．
如图2中，当PD⊥BC于点J时，同法可得MJ=JC= 34，
∴BJ=3 34，
∴PB=BJcs30∘=32，
∴AP=AB-PB=2-32=12．
综上所述，AP的值为12或32．
故答案为：12或32．
23.【答案】5 54或4 5
【解析】解：∵AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，
∴∠ADB=∠BEF=90°，∠BAE=∠CAE，BE=CE，
∴∠FBE=∠FCE，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠FBC=∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠FCB=∠FBC，
当∠PAB=∠PBA时，△APB∽△BFC，
∴APBF=ABBC，
∵BD= AB2-AD2= 52-32=4，
设BF=CF=x，
在Rt△CDF中，x2=(4-x)2+22，
∴x=52，
∵BC= BD2+CD2= 42+22=2 5，
∴AP52=52 5，
∴AP=5 54．
当∠AP'B=∠BAE时，△ABP'∽△BFC，
∴AP'BC=ABBF，
∴AP'2 5=552，
∴AP'=4 5．
综上所述，AP的长为5 54或4 5．
故答案为：5 54或4 5．
分两种情形：当∠PAB=∠PBA时，△APB∽△BFC，当∠AP'B=∠BAE时，△ABP'∽△BFC，分别构建方程求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题．
24.【答案】12或2 33
【解析】解：如图1，当∠AEO=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
∵AB=1，AD= 3，
∴BC= 3，
∴tan∠BAC=BCAB= 31= 3，
∴∠BAC=60°，
由勾股定理得AC= AB2+BC2= 12+( 3)2=2，
∵O为对角线AC的中点，
∴AO=12AC=1，
在Rt△AEO中，cs∠BAC=AEAO，
∴cs60°=AE1，
即12=AE1，
∴AE=12；
如图2，当∠AOE=90°时，
∵O为对角线AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠EAC=30°，
在Rt△AOE中，cs∠EAC=AOAE，
即cs30°=AOAE，
∴ 32=1AE，
∴AE=2 33；
综上，当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为12或2 33，
故答案为：12或2 33．
分两种情况讨论：当∠AEO=90°时，先求出∠BAC的度数，AO的长，再根据∠BAC的余弦值即可求出AE的长；当∠AOE=90°时，先证得AE=CE，得出∠EAC=∠ECA=30°，再根据∠EAC的余弦值即可求出AE的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】80°或140°
【解析】解：如图1中，当BE=BC时，
∵BE=BC，∠EBC=40°，
∴∠BCE=∠BEC=12×(180°-40°)=70°，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD=2∠BCE=140°；
如图2中，当EB=EC时，点E与O重合，
∵BE=BC，
∴∠EBC=∠BCD=40°，
∴∠BOD=2∠BCD=80°；
故答案为：80°或140°．
分两种情形：①BE=BC，②EB=EC，分别求出∠BOD即可．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】2 2-2或2 2+2
【解析】解：设直线A'E交AC于F，
当F在D下方时，如图：
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=4 2，∠A=45°，
∵将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，D为边AC的中点，
∴∠A'=∠A=45°，AD=A'D=2，
∵A'E⊥AC，
∴△AEF，△A'DF是等腰直角三角形，
∴DF=A'D 2= 2，
∴AF=AD+DF=2+ 2，
∴AE= 2AF=2 2+2，
∴BE=AB-AE=4 2-(2 2+2)=2 2-2；
当F在D上方时，如图：
同理可得A'D=AD=2，
∴DF=A'D 2= 2，
∴AF=AD-DF=2- 2，
∴AE= 2AF=2 2-2，
∴BE=AB-AE=2 2+2；
故答案为：2 2-2或2 2+2．
设直线A'E交AC于F，当F在D下方时，由AC=BC=4，∠C=90°，得AB=4 2，∠A=45°，根据将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，D为边AC的中点，有∠A'=∠A=45°，AD=A'D=2，而A'E⊥AC，故△AEF，△A'DF是等腰直角三角形，求出DF=A'D 2= 2，AF=AD+DF=2+ 2，可得AE= 2AF=2 2+2，从而BE=AB-AE=4 2-(2 2+2)=2 2-2；当F在D上方时，同理可得BE=AB-AE=2 2+2．
本题考查等腰直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折前后，对应边相等，对应角相等及等腰直角三角形三边的关系．
27.【答案】 10或 26
【解析】解：∵AB=BC=4 2，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=8，
分两种情况讨论：
①如图，
当点D运动到线段AC上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠CDE=180°-∠ADE=90°，
∵AD=2，
∴CD=AC-AD=8-2=6，
∴CE= CD2+DE2= 62+22=2 10，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 10；
②如图，
当点D运动到线段CA的延长线上时，
此时∠CDE=∠ADE=90°，CD=AC+AD=8+2=10，
∴CE= CD2+DE2= 102+22=2 26，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 26，
综上所述，OD的长为 10或 26，
故答案为： 10或 26．
首先利用勾股定理可得AC= AB2+BC2=8，然后分两种情况讨论：当点D运动到线段AC上和点D运动到线段CA的延长线上时，利用勾股定理求得CE的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
28.【答案】9
【解析】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'，若点B'刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∴B'E=BE=2CE=6，
∴BC=CE+BE=3+6=9．
故答案为：9．
根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E=BE，=2CE=6即可求解．
本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
29.【答案】GH=FH 60°
【解析】解：(1)∵点F、G是BC、DC的中点，
∴FH是△CBD的中位线，
∴FH//BD，FH=12BD，
∵点H、G是DC、DE的中点，
∴GH是△CDE的中位线，
∴GH//CE，GH=12CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
即BD=CE，
∴GH=FH，
∵FH//BD，
∴∠DHF=∠ADC，
∵GH//CE，
∴∠DHG=∠DCA，
∵∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴∠GHF=∠DHF+∠DHG=∠ADC+∠ACD=60°，
故答案为：GH=FH，60°；
(2)△GHF的形状是等边三角形，理由如下：
由旋转的性质得：∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同(1)得：FH是△CBD的中位线，GH是△CDE的中位线，
∴FH=12BD，GH=12CE，FH//BD，GH//CE，
∴FH=GH，∠DHG=∠DCE，∠HFC=∠DBC，
∴△GHF是等腰三角形，
∵∠DHF=∠HFC+∠DCB=∠DBC+∠DCB，
∴∠GHF=∠DHG+∠DHF=∠DCE+∠DBC+∠DCB=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴∠GHF=60°，
∴△GHF是等边三角形；
(3)由(2)知，△GHF是等边三角形，FH=GH=12BD，
∴GH最大时，△GHF面积最大，
∴点D在BA的延长线上，BD最大，此时△GHF的面积最大，
此时，BD=AB+AD=6+2=8，
∴GH=12BD=12×8=4，
∴S△GHF最大= 34GH2= 34×42=4 3．
(1)易证FH是△CBD的中位线，GH是△CDE的中位线，得出FH//BD，FH=12BD，GH//CE，GH=12CE，再求出BD=CE，得出GH=FH，然后由平行线的性质得出∠DHF=∠ADC，∠DHG=∠DCA，最后由三角形内角和定理即可得出结果；
(2)由旋转的性质得∠BAD=∠CAE，先证△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠ABD=∠ACE，BD=CE，同(1)得FH是△CBD的中位线，GH是△CDE的中位线，推出FH=GH，∠DHG=∠DCE，∠HFC=∠DBC，则△GHF是等腰三角形，再证∠GHF=60°，则△GHF是等边三角形；
(3)由(2)知△GHF是等边三角形，FH=GH=12BD，得出GH最大时，△GHF面积最大，推出点D在BA的延长线上，BD最大，此时△GHF的面积最大，求出BD最大时的长，得出GH的最大时长，然后由等边三角形面积公式即可得出结果．
本题是几何变换综合题，考查了三角形中位线定理、三角形内角和定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定由性质等知识，综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
30.【答案】BC=BM
【解析】(1)解：根据旋转的性质得CM=CB=4，∠BCM=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴BC=BM；
故答案为：BC=BM；
(2)①证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，
∴CN=CE=12CA，CM=CD=12CB，
∠ACN=∠BCM=60°．
∴CMCB=CNCA=12．
∴△BCM∽△ACN；
②解：AN= 32AC.理由如下：
如图2，连接MD，
∵BC=4，AB=3，
∴BD=DC=CM=2．
∵∠BCM=60°，
∴△CMD是等边三角形．
∴CD=MD=BD=2，∠DMC=∠MDC=60°．
∴∠DBM=∠DMB=12∠MDC=30°．
∴∠BMC=30°+60°=90°．
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
BM= BC2-CM2= 42-22=2 3．
∴BMBC=2 34= 32．
由①得，△BCM∽△ACN．
∴BMBC=ANAC= 32．
∴AN= 32AC；
(3)解：①如图所示，
∵∠B=90°，BC=4，AB=3，
∴AC=5，CD=CM=2，CN=CE=52，MN=DE=32，∠CMN=∠CMA=90°，∠MCN=∠BCA，
∴AM= AC2-CM2= 21，∠MCB=∠NCA，
∵BCAC=45，CMCN=252=45，
∴BCAC=CMCN=45，
∴△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM+MN)=4 21+65；
②如图所示，
同理，△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM-MN)=4 21-65；
综上所述，BM的长为4 21+65或4 21-65．
(1)证明△BCM是等边三角形，即可得到结论BC=BM；
(2)①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明△BCM∽△ACN；②证明△CMD是等边三角形，在Rt△BCM中，利用勾股定理求得BM的长，再利用相似三角形的性质求解即可；
(3)分两种情况分析，A、M、N三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案．
此题主要考查了几何变换综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
31.【答案】解：(1)结论：EF=BE；
(2)结论：AF2+BE2=EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ//BE，
∴∠AJD=∠DEB，
在△AJD和△BED中，
∠AJD=∠DEB∠ADJ=∠BDEAD=BD，
∴△AJD≌△BED(AAS)，
∴AJ=BE，DJ=DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ=EF，
∵∠FAJ=90°，
∴AF2+AJ2=FJ2，
∴AF2+BE2=EF2；
(3)AF的长为115或1．
【解析】【分析】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
(1)结论：EF=BE.利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
(2)结论：AF2+BE2=EF2.如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ.证明△AJD≌△BED(AAS)，推出AJ=BE，DJ=DE，再证明FJ=EF，然后由勾股定理可得结论．
(3)分两种情形：如图3-1中，当点E在线段BC上时，如图3-2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF=5-x.构建方程求解即可．
【解答】
解：(1)结论：EF=BE．
理由：如图1中，
∵当点F与点A重合时，FD=DB，DE⊥FB，
∴EF=EB；
(2)见答案；
(3)如图3-1中，当点E在线段BC上时，设AF=x，则CF=5-x．
∵BC=3，CE=1，
∴BE=2，
同(2)可得EF2=AF2+BE2，
∵EF2=CF2+CE2，
∴AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+22=(5-x)2+12，
∴x=115，
∴AF=115．
如图3-2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF=5-x．
∵BC=3，CE=1，
∴BE=4，
同(2)可得EF2=AF2+BE2，
∵EF2=CF2+CE2，
∴AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+42=(5-x)2+12，
∴x=1，
∴AF=1，
综上所述，满足条件的AF的长为115或1．
32.【答案】解：(1)AD⊥BE
(2)(1)中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵DCCE=ACBC=1m，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
(3)如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(4+AE)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(4+AE)2，
∴AE=2或AE=-8(舍去)，
∴BE=6 3，
当点D在线段AE上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(AE-4)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(AE-4)2，
∴AE=8或AE=-2(舍去)，
∴BE=4 3，
综上所述：BE=6 3或4 3．
【解析】解：(1)如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，
当m=1时，DC=CE，CB=CA，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
DC=CE∠ACD=∠BCECA=CB,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(2)通过证明△DCA∽△ECB，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得BE= 3AD，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
33.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，AD//BC，∠ADE=∠DCF=90°，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
AE=DFAD=DC
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE=CF，
∵CH=DE，
∴CF=CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH=∠DCF=90°，
在△DCF和△DCH中，
CF=CH∠DCF=∠DCHDC=DC
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠DFC=∠H，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠ADF=∠H；
(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AD//BC，
∴∠ADE=∠DCG，
在△ADE和△DCG中
AD=DC∠ADE=∠DCGDE=CG
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，
∵AE=DF，
∴DG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG=DF=11，
∵CF+CG=FG，
∴CF=FG-CG=11-8=3，
即CF的长为3．
【解析】(1)由矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再证∠AED=∠DFC，即可得出结论；
(2)证Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，得DE=CF，再证△DCF≌△DCH(SAS)，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，即可得出结论；
(3)延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，△ADE≌△DCG(SAS)，得∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，再证△DFG是等边三角形，得FG=DF=11，即可解决问题．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
34.【答案】菱形
【解析】解：(1)由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，
∵EF//AD，
∴∠DAF=∠EFA，
∴∠EFA=∠EAF，
∴EA=EF，
∴AD=DF=EF=AE，
∴四边形AEFD是菱形，
故答案为：菱形；
(2)PF⊥PC.理由如下：
连接AE，如图2，
由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵∠PEC+∠PEF=180°，
∴∠DAB=∠PEF，
∵点P是AD的中点，
∴PA=PD=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠DAB-∠PAE=∠PEF-∠PEA，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF，
∵PF=PF，
∴△PAF≌△PEF(SSS)，
∴∠APF=∠EPF，
∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，
∴2∠CPE+2∠FPE=180°，
∴∠FPC=90°，
∴PF⊥PC；
(3)分两种情况：
①当点P在DA的延长线上时，点E在CB的延长线上时，如图3，
由折叠的性质可知，DP=CE，DC=EP，四边形DCEP为平行四边形，
∵DP=AD+AP=7+3=10，
∴CE=DP=10，
∵BC=AD=7，
∴BE=CE-CB=10-7=3，
②当点P在DA间时，点E在AB间时，如图4，
延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x，
由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=10，
∵CD//BT，
∴∠T=∠DCP，
∴∠T=∠PCE，
∴EC=ET=10，AT=10-x，
∵AT//CD，
∴△PDC∽△PAT，
∴APPD=ATCD，
∴34=10-x10，
∴x=2.5，
∴AE=2.5，
∴BE=AB-AE=10-2.5=7.5．
(1)由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，再根据平行线的性质推出∠EFA=∠EAF，则EA=EF，进而推出AD=DF=EF=AE，即可证明四边形AEFD是菱形；
(2)连接AE.由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，由∠ADC+∠DAB=180°，∠PEC+∠PEF=180°，得到∠DAB=∠PEF；由点P是AD的中点，得到PA=PD=PE，则∠PAE=∠PEA，进一步证明∠AEF=∠EAF，得到AF=EF，证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠EPF，再根据平角的定义得到∠FPC=90°，则PF⊥PC；
(3)①当点P在DA的延长线上时，点E在CB的延长线上时，由折叠的性质可知，DP=CE，DC=EP，四边形DCEP为平行四边形，由DP=AD+AP=10可知CE=DP=10，由BC=AD=7即可求得BE=CE-CB=3；
②当点P在DA间时，点E在AB间时，延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x.由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=10，再证明∠T=∠PCE，得到EC=ET=10，AT=10-x，证明△PDC∽△PAT，得到34=10-x10，即可求出AE=2.5，由此可得BE=AB-AE.即可求解
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
35.【答案】解：(1)FG=BG，
理由如下：如图，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵点E是AB的中点，
∴AB=BE．
由折叠可知AE=EF，
∴EF=EB．
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
EF=EB,EG=EG,
∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)，
∴FG=BG；
(2)∵四边形ABCD是矩形，AB=4，
∴CD=AB=4．
∴DG= 42+22=2 5．
令AD=x，则DF=AD=x，
由(1)知FG=BG=x-2，
∴x+x-2=2 5．
解得x= 5+1，
即AD的长为 5+1．
(3)当点F在DC的下方时，如图2，连接BF，
∵折叠，
∴AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，
∵∠A+∠ABC=180°，∠DFE+∠EFG=180°，
∴∠EFG=∠ABC，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠GFB=∠GBF，
∴GF=BG=BC-CG=2-0.5=1.5，
∴DG=3.5；
当点F在DC的上方时，如图3，连接BF，
同理可求：FG=BG=BC+CG=2+0.5=2.5，
∴DG=4.5，
综上所述：DG的长为3.5或4.5．
【解析】(1)由“HL”可证Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG=BG；
(2)由勾股定理可求解；
(3)分两种情况讨论，由折叠的性质可得AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，由等腰三角形的性质可求FG的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
36.【答案】 32 30° 13 3- 392或13 3+ 392
【解析】解：(1)①∵∠ABC=90°，AB=4 3，
∴∠ACB=60°，csA=ABAC=4 3AC= 32，
∴AC=8，
∴BC=4，
∵点E是斜边AC的中点，ED⊥AB，
∴AE=12AC=4，∠EDA=90°，
∴DE=12AE=2，AD=2 3，
将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵ADAE=2 34= 32，ABAC=4 38= 32，
∴ADAE=ABAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴BDCE=ABAC= 32；
故答案为： 32；
②∵△DAB∽△EAC，
∴∠ACE=∠ABD，
设AB，CE交于点O，BD，CE交于点H，如图1，
则：∠AOC=∠BOH，
∴∠BHC=∠CAB=30°(8字型图)，即：直线BD与CE所夹锐角的度数为30°；
故答案为：30°；
(2)成立；理由如下：
∵∠DAB=∠CAD+∠CAB=∠CAD+30°，∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+30°，
∴∠DAB=∠CAE，
又∵ADAE=ABAC= 32，
∴△DAB∽△EAC，
∴BDCE=ABAC= 32，∠ACE=∠ABD，
设AB，CE交于点O，BD，CE交于点，如图2，
则：∠AOB=∠COH，
∴∠BHC=∠CAB=30°(8字型图)，即：直线BD与CE所夹锐角的度数为30°；
(3)①如图3，当点D在C，E之间时，
∵D、E、C三点共线，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∵AD=2 3,AC=8，
∴CD= AC2-AD2=2 13，
∴EC=CD+DE=2 13+2，
∴S△AEC=12CE⋅AD=12(2 13+2)×2 3=2 3+2 39，
由(2)知：△DAB∽△EAC，ADAE=ABAC= 32，
∴S△ABDS△AEC=(ABAC)2=34，
∴S△ABD=34S△AEC=3 3+3 392，
∴S△BDC=S△ADC+S△ABC-S△ABD=12AD⋅CD+12AB⋅BC-3 3+3 392=12×2 3×2 13+12×4 3×4-3 3+3 392=2 39+8 3-3 3+3 392=13 3+ 392；
②如图4，当点E在C，D之间时，
同①可得：CD=2 13，EC=CD-DE=2 13-2，
∴S△AEC=12CE⋅AD=12(2 13-2)×2 3=2 39-2 3，△DAB∽△EAC，ADAE=ABAC= 32，
∴S△ABDS△AEC=(ABAC)2=34，
∴S△ABD=34S△AEC=3 39-3 32，
∴S△BDC=S△ABD+S△ABC-S△ADC=3 39-3 32+12AB⋅BC-12AD⋅CD=3 39-3 32+8 3-2 39=13 3- 392；
综上：△BCD的面积为13 3- 392或13 3+ 392；
故答案为：13 3- 392或13 3+ 392．
(1)①解直角三角形，分别求出的长，证明△DAB∽△EAC，得到；②根据△DAB∽△EAC，得到∠ACE=∠ABD，利用8字型图，得到∠BHC=∠CAB=30°即可；
(2)证明△DAB∽△EAC，得到BDCE=ABAC= 32，∠ACE=∠ABD，利用8字型图，求出直线BD与CE所夹锐角的度数即可；
(3)分点D在C，E之间，以及点E在C，D之间，两种情况，分类讨论求解即可．
本题考查含30°的直角三角形，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形的相似，是解题的关键．注意，分类讨论．
37.【答案】EF=BE+DF
【解析】解：(1)如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF'=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEF'中，
AF=AF'∠EAF'=EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AEF'(SAS)，
∴EF=EF'，
又EF'=BE+BF'=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
(2)(1)中的结论不成立，
理由：将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使得点B与点D重合，则点E的对应点记为点G，则△ABE≌△ADG，
∴DG=BE，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠GAF=45°，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴FG=EF，
∵DG+DF>FG，
∴BE+DF>EF；
(3)把△ADF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与AB上的点D'重合，则点F的对应点记为点F'，则△AD'F'≌△ADF，
∴∠AD'F'=∠ADF=90°，∠F'AF'=90°，AF'=AF，∠F'AD'=∠FAD，AD'=AD，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠F'AD'+∠BAE=∠F'AE=∠EAF=45°，
∵E是BC边的三等分点，BC=AD=3，
∴BE=1，
延长F'D'交AE于H，交CD于G，连接FH，
则四边形AD'GD是正方形，四边形D'BCG是矩形，
∴AD'=AD=D'G=DG=3，BC=D'G=3，
∴BD'=AB-AD'=CG=1，
∵AF=AF'，∠F'AH=∠FAH，AH=AH，
∴△AF'H≌△AFH(SAS)，
∴F'H=FH，
∵D'H//BE，
∴△AD'H∽△ABE，
∴D'HBE=AD'AB，
∴D'H1=34，
∴D'H=34，
∴HG=D'G-D'H=94，
设DF=D'F'=x，F'H=FH=x+94，FG=3-x，
∵FG2+HG2=FH2，
∴(3-x)2+(94)2=(x+94)2，
解得x=95，
∴DF的长为95．
(1)根据旋转的性质得到∠EAF'=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EF=EF'，于是得到EF=BE+DF；
(2)根据旋转的性质得到DG=BE，∠DAG=∠BAE，AE=AG，得到∠EAF=∠GAF=45°，根据全等三角形的性质得到FG=EF，根据三角形的三边关系即可得到结论；
(3)把△ADF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与AB上的点D'重合，则点F的对应点记为点F'，则△AD'F'≌△ADF，得到∠AD'F'=∠ADF=90°，∠F'AF'=90°，AF'=AF，∠F'AD'=∠FAD，AD'=AD，根据已知条件得到BE=1，延长F'D'交AE于H，交CD于G，连接FH，根据矩形的性质和正方形的性质得到AD'=AD=D'G=DG=3，BC=D'G=3，根据全等三角形的性质得到F'H=FH，根据相似三角形的性质得到D'H=34，设DF=D'F'=x，F'H=FH=x+94，FG=3-x，根据勾股定理即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
38.【答案】解：(1)∵抛物线y=-12x2+bx+c与x轴的交点坐标为A(-1,0)、B(3,0)两点，
∴抛物线解析式为y=-12(x+1)(x-3)，
即y=-12x2+x+32；
∵y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2，
∴抛物线顶点G的坐标为(1,2)；
(2)当x=0时，y=-12x2+x+32=32，
∴C(0,32)，
∵线段AC向右水平移动m个单位长度，当C点的对应点在抛物线上，
∴C点的对应点与C点关于抛物线的对称轴对称，此时C点的对应点的坐标为(2,32)，m的值为2；
∵线段AC向右水平移动m个单位长度，当A点的对应点在抛物线上，即点A平移到B点，此时m的值为4，
∴若平移线段AC后与抛物线只有一个交点时，m的取值范围为2≤m≤4．
【解析】(1)利用交点式写出抛物线解析式，然后把一般式化为顶点得到G点坐标；
(2)先确定C(2,32)，平移后，当C点的对应点在抛物线上，C点的对应点与C点关于抛物线的对称轴对称，此时C点的对应点的坐标为(2,32)，从而得到m的值为2；当A点的对应点在抛物线上，即点A平移到B点，此时m的值为4，所以m的取值范围为2≤m≤4．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
39.【答案】解：(1)由题意知，水柱所在抛物线经过点(4,2)，(6,0)，
将其分别代入y=ax2+bx+1，得：
16a+4b+1=236a+6b+1=0，
解得：a=-524b=1312，
∴水柱所在抛物线的解析式为y=-524x2+1312x+1；
(2)①令y=1，则-524x2+1312x+1=1，
解得x1=0，x2=5.2，
∴高度为1m的鲜花，与喷灌嘴的水平距离大于0m且小于5.2m时，才不会被水柱直接喷到；
②不会被水柱直接喷到，理由如下：
令x=0.4，则y=-524×425+1312×25+1=1.4，
∵1.3<1.4，
∴不会被水柱直接喷到．
【解析】(1)将点(4,2)，(6,0)代入y=ax2+bx+1得16a+4b+1=26a+6b+1=0，解答即可；
(2)①令y=1，则-524x2+1312x+1=1，即可得答案；②令x=0.4，则y=-524×425+1312×25+1=1.4，即可得答案．
本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
40.【答案】72
【解析】解：(1)∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0-4)2+8，
解得：a=-12，
∴抛物线的表达式为y=-12(x-4)2+8；
(2)联立方程组y=-12(x-4)2+8y=12x，
解得x=0y=0或x=7y=72，
∴A(7,72)，
∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为72米，
故答案为：72；
(3)当x=2时，y1=12x=1，y2=-12(x-4)2+8=6，
∵6-1>4，
∴小球M能飞过这个广告牌．
(1)设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
(2)联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出A点坐标即可；
(3)把x=2分别代入y=-12(x-4)2+8和y=12x，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
41.【答案】解：(1)(0,70)，(40,30)；
(2)把A(0,70)，P(40,30)代入y=-116x2+bx+c得：
c=70-116×1600+40b+c=30，
解得b=32c=70，
所以二次函数的表达式为y=-116x2+32x+70；
(3)运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
【解析】【分析】
(1)根据题意可直接求出A，P坐标；
(2)把A，P坐标代入y=-116x2+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
(3)作MN//y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
【解答】
解：(1)根据题意得，A(0,70)，P(40,30)，
故答案为：(0,70)，(40,30)；
(2)见答案；
(3)如图，作MN//y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC=60m，
∴C(0,60)，
设线段BC的关系式为y=kx+m，则m=6040k+m=30，
解得：k=-34m=60，
所以线段BC的关系式为y=-34x+60，
设M(a,-116a2+32a+70)，则N(a,-34a+60)，
则MN=-116a2+32a+70+34a-60=-116a2+94a+10=-116(a-18)2+30.25，
∵-116<0，
∴当a=18时，MN有最大值，最大值为30.25，
故答案为：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
42.【答案】解：(1)根据题意，设y关于x的函数表达式为：
y=a(x-4.5)2+258，
把(0,2)代入解析式得，
2=a(0-4.5)2+258，
解得：a=-118
∴y关于x的函数表达式为：y=-118(x-4.5)2+258；
(2)该生在此项考试中得不到满分，理由：
当y=0，则，-118(x-4.5)2+258=0，
解得：x1=12，x2=-3(舍去)，
∵12<12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【解析】【分析】
(1)根据题意设出顶点式，再将点(0,2)代入求出a的值即可；
(2)根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
43.【答案】解：(1)根据题意可得，抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴为直线x=1，
设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c，
∴c=109a+3b+c=7-b2a=1，
解得：a=-1b=2c=10，
∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10；
(2)在y=-x2+2x+10中，令y=0得0=-x2+2x+10，
解得x= 11+1或x=- 11+1(舍去)，
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为( 11+1)米．
【解析】(1)用待定系数法可得函数解析式；
(2)结合(1)，令y=0解得x的值即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．
44.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2，
∵桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，
∴点A(-10,-4)，
∴-4=100a，
解得：a=-125，
∴该抛物线的解析式y=-125x2；
(2)在y=-125x2中，设x=52得y=-14，
∵-14-3=-134，
∴水面所在直线为y=-134，
在y=-125x2中，令y=-134得：-134=-125x2，
解得x=5 132或x=-5 132，
∵5 132-(-5 132)=5 13(m)，
∴此时水面的宽度为5 13m.
【解析】【分析】
(1)求出A的坐标，用待定系数法可得抛物线函数表达式；
(2)根据题意得出x=52时y的值，即可得出水面所在直线为y=-134，从而可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
45.【答案】解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+2，
将点B(2,1.2)代入y=ax2+2中，
解得a=-0.2
∴y=-0.2x2+2；
(2)将y=1.8代入y=-0.2x2+2，
解得x1=-1，x2=1，
∵EO=2，
∴2-1=1，2+1=3．
∴1≤t≤3；
(3)他们可以安全跳绳．理由如下：
当y=1.8时，则1.8=-0.2x2+2，
解得：x1=-1，x2=1，
∴可以站立跳绳的距离为1-(-1)=2(m)．
∵(1+4-1)×0.4=1.6(m)，且1.6<2，
∴他们可以安全跳绳．
【解析】(1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+2，把点B(2,1.2)代入y=ax2+2中，求出a的值即可求出抛物线的解析式；
(2)将y=1.8代入y=-0.2x2+2，求出x的值即可求出t的取值范围；
(3)由(2)可知当y=1.8时，x1=-1，x2=1，所以可求出可以站立跳绳的距离为4-2=2米，因为1.6<2，所以他们可以安全起跳．
本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键．温馨提示：
本卷共45题，题目均选自2024年河南省各地市一模真题。
本卷共分为六部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。
本卷难度较大，适合基础较好的同学。
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：AP⋅BP=CP⋅DP．
证明：
如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，(根据)
∴APDP=@，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
1.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s.点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D.点D运动2s时，点P与点A重合.△PBD的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点.当S(cm2)取最大值时，PD的长为( )
A. 2 3cmB. (1+ 3)cmC. (1+2 3)cmD. (2+2 3)cm
2.(2024·河南省南阳市·一模)如图1，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为( )
A. 6B. 8C. 10D. 13
3.(2024·河南省开封市·一模)如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°.设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的( )
A. 线段CGB. 线段AGC. 线段AHD. 线段CH
4.(2024·河南省南阳市·一模)如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
5.(2024·河南省洛阳市·一模)正方形ABCD与正方形BEFG按照如图所示的位置摆放，其中点E在AB上，点G、B、C在同一直线上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B'E'F'G'，当点G'与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形B'E'F'G'与正方形ABCD的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为( )
A. B.
C. D.
6.(2024·河南省驻马店市·一模)如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x.则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.(2024·河南省漯河市·一模)如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为s(cm2)，则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )
A. B.
C. D.
第二部分 一次函数与反比例函数
8.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
9.(2024·河南省漯河市·一模)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(1,2)，B(a,-1)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出不等式kx+b-mx<0的解集．
(3)若直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
10.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
(3)请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD//x轴，交OA于点D，(提示：即作一个角∠ABD等于已知角∠ACO，保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出梯形OCBD的面积．
11.(2024·河南省洛阳市·一模)如图，双曲线y=kx与直线y=mx+n交于A(6,6)，B(a,-1)，直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
(1)求双曲线与直线AB的解析式；
(2)直接写出不等式kx≥mx+n的解集；
(3)请用无刻度的直尺和圆规作出线段ON的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)，交直线AB于点P，交双曲线于点Q.求出点Q的坐标．
12.(2024·河南省周口市·一模)如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB上的点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，点B(3,-1)在第四象限，菱形OCDE的顶点D在x轴的负半轴上，顶点E在反比例函数y=kx的图象上．
(1)k的值为______；
(2)求∠AOB的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
13.(2024·河南省开封市·一模)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0, 3)，B(1,0)，C(2, 3)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C．
(1)求k的值．
(2)点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，且BD⊥AC于点E，DE=BE，请说明四边形ABCD是菱形．
(3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第三部分 圆与扇形
14.(2024·河南省开封市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积= ．
15.(2024·河南省南阳市·一模)如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为______．
16.(2024·河南省开封市·一模)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PB经过圆心O，且与⊙O交于点B，C，若AP=AB=3，则直径BC的长为______．
17.(2024·河南省南阳市·一模)如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC．
(1)求证：AC平分∠BAE；
(2)若AC=5，tan∠ACE=34，求⊙O的半径．
18.(2024·河南省开封市·一模)如图，⊙O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切线交CD延长线于点F，且∠AED=∠EAD．
(1)求证：AD=FD；
(2)若AE=6，sin∠AFE=35，求⊙O半径的长．
19.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
(1)求证：BE=EC．
(2)填空：
①若∠B=30°，AC=2 3，则DE=______；
②当∠B=_____°时，四边形DECO是正方形．
20.(2024·河南省驻马店市·一模)阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：______；@：______．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径．
第四部分 全等与相似三角形
21.(2024·河南省开封市·一模)已知∠ABC=30°，AB=4，P是BC边上一点，当△ABP是以PA为腰的等腰三角形时，BP的长为______．
22.(2024·河南省洛阳市·一模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为______．
23.(2024·河南省驻马店市·一模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若AD=3，当△ABP与△BFC相似时，AP的长为______．
24.(2024·河南省周口市·一模)矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C，且AB=1，AD= 3.当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为______．
25.(2024·河南省商丘市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，AB=4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为______．
26.(2024·河南省开封市·一模)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D为边AC的中点，E为边AB上的一个动点，连接DE，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，当A'E⊥AC时，BE的长度为______．
27.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在△ABC和△ADE中，AB=BC=4 2，AD=DE=2，∠ABC=∠ADE=90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD.将△ADE绕点A在平面内旋转，当∠CDE=90°时，OD的长为______．
28.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC
(1)观察猜想
图1中，线段GH与FH的数量关系是______，∠GHF的度数为______；
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接GF，BD，CE，判断△GHF的形状，并说明理；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=6，请直接写出△GHF面积的最大值．
30.(2024·河南省开封市·一模)转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用．
如图1，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=3.请解答下面的问题：
(1)基础巩固：
如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则BC与BM之间的数量关系是______；
(2)拓展探究：
如图2，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN．
①求证：△BCM∽△ACN；
②用等式表示AC与AN之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：
点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，将△CDE绕点C旋转得到△CMN，请直接写出点A，M，N在同一直线上时BM的长．
31.(2024·河南省南阳市·一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长．
32.(2024·河南省驻马店市·一模)【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：______．
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当m= 3，AB=4 7，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
第五部分 特殊四边形
33.(2024·河南省南阳市·一模)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH.求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
34.(2024·河南省漯河市·一模)综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱ABCD中(∠ADC>∠DAB)，点P是边AD上一点.将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF//AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD的形状一定是______(选填“菱形”“矩形”或“正方形”)；
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF.试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：若点P是射线DA上一点，当点E恰好落在▱ABCD的边或边的延长线上时，AP=3，AD=7，CD=10，直接写出BE的长．
35.(2024·河南省商丘市·一模)综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：
如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G.请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；
(2)迁移思考：
如图1，若AB=4，按照(1)中的操作进行折叠和作图，当CG=2时，求AD的值；
(3)拓展探索：
如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G.若AD=2，CG=0.5，请直接写出线段DG的值．
36.(2024·河南省洛阳市·一模)【问题背景】：
如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4 3，∠BAC=30°，点E是斜边AC的中点，过点E作ED⊥AB交AB于点D．
【实验探究】：
(1)数学活动课中，小明同学将图1中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①BDCE= ______；②直线BD与CE所夹锐角的度数为______；
(2)若我们继续将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【拓展延伸】：
(3)在以上探究中，当△ADE旋转至D、E、C三点共线时，则△BCD的面积为______．
37.(2024·河南省开封市·一模)某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：
初步探索
(1)如图1，E，F分别是正方形ABCD的BC边和CD边上的点，并且∠EAF=45°，我们可通过如下方法探索EF与BE和DF之间的数量关系：
因为AD=AB，∠D=∠ABE=90°，所以我们以点A为旋转中心，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在CB的延长线上，记为点F'，由△ADF≌△ABF'且易证△AEF≌△AEF'，从而可知，EF，BE，DF的数量关系是______．
探索延伸
(2)如图2，E，F是等腰直角△ABD的底边BD上的点，∠EAF=45°，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．
拓展应用
(3)如图3，在矩形ABCD中，E是BC边的三等分点，F为CD边上的点，且∠EAF=45°，当AB=4，AD=3时，直接写出DF的长．
第六部分 二次函数
38.(2024·河南省周口市·一模)如图，抛物线y=-12x2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．
39.(2024·河南省开封市·一模)如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴P，把开关开至最大时，喷出的形状接近于抛物线y=ax2+bx+1，当水柱距地面2m时，距喷嘴的水平距离为4m，水柱落地点距喷嘴的水平距离OA=6m．
(1)求水柱所在抛物线的解析式．
(2)已知在水柱正下方OA的范围内开有一些鲜花．
①若鲜花的高度为1m，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，才不会被水柱直接喷到．
②开在距喷嘴水平距离为0.4m处的高度为1.3m的鲜花，是否会被水柱直接喷到？判断并说明理由．
40.(2024·河南省南阳市·一模)一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画.若小球到达最高点的坐标为(4,8)．
(1)求抛物线的函数解析式(不写自变量x的取值范围)；
(2)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为______米；
(3)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．
41.(2024·河南省开封市·一模)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=-116x2+bx+c.已知OA=70m，OC=60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
(1)点A的坐标是______，点P的坐标是______；
(2)求满足的函数关系式y=-116x2+bx+c；
(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
42.(2024·河南省漯河市·一模)掷实心球是某市中考体育考试的选考项目.如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点258m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准(男生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分.按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
43.(2024·河南省南阳市·一模)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
44.(2024·河南省洛阳市·一模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米.如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．
45.(2024·河南省商丘市·一模)某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系(甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处)，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围；
(3)经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？
参考答案
1.【答案】B
【解析】解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1所示．
此时，在Rt△PBD中，BD=2cm，∠B=60°，PD⊥BC，
∴PB=2BD=4(cm)，
∴PD= PB2-BD2=2 3(cm)．
由函数图象得BC=(2+2 3)×1=(2+2 3)cm，
∴DC=BC-BD=2+2 3-2=2 3(cm)，
∴PD=DC．
由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．
当2≤t≤2+2 3时，点P在AC边上，如图2，
此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+2 3-t)cm，
∴S△PBD=12×BD×PD=12×t×(2+2 3-t)=-12t2+(1+ 3)t．
∵S△PBD=-12[t-(1+ 3)]2+2+ 3，
又∵-12<0，
∴当t=1+ 3时，S△PBD的值最大，
此时PD=CD=2+2 3-(1+ 3)=(1+ 3)cm．
故选：B．
先根据点D运动2s时，点P与点A重合．从而求得PD= PB2-BD2=2 3(cm)，再由函数图象求得BC=(2+2 3)×1=(2+2 3)cm，从而求得DC=BC-BD=2+2 3-2=2 3(cm)，得出PD=DC，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．所以当2≤t≤2+2 3时，点P在AC边上，此时BD=t×1=t(cm)，PD=DC=(2+2 3-t)cm，根据三角形面积公式求得S△PBD=-12[t-(1+ 3)]2+2+ 3，最后根据二次函数的性质求解即可．
本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．
2.【答案】A
【解析】解：由图2知，AB+BC=2 13，
∵AB=BC，
∴AB= 13，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AC=2AD，∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2=13①，
设点M到AC的距离为h，
∴S△ADM=12AD⋅h，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h=BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴12AD⋅BD=3，
∴AD⋅BD=6②，
①+2×②得，AD2+BD2+2AD⋅BD=13+2×6=25，
∴(AD+BD)2=25，
∴AD+BD=5(负值舍去)，
∴BD=5-AD③，
将③代入②得，AD(5-AD)=6，
∴AD=3或AD=2，
∵AD>BD，
∴AD=3，
∴AC=2AD=6，
故选：A．
先根据AB=BC结合图2得出AB= 13，进而利用勾股定理得，AD2+BD2=13，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即12AD⋅BD=3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB= 13和点M和点B重合时，△ADM的面积为3是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；
若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；
若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；
若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；
故选D．
根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．
【解答】
解：当P在BC上，即0
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
把运动距离分0≤x≤2，2
【解答】
解：①当0≤x≤2时，S随x的增大而增大，最大值为4；
②当2
6.【答案】D
【解析】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：EF12=6-x6，
即EF=2(6-x)
所以y=12×2(6-x)x=-x2+6x.(0
故选：D．
可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意BE=CF=t，CE=8-t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
OB=OC∠OBE=∠OCFBE=CF，
∴△OBE≌△OCF(SAS)，
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四边形OECF=S△OBC=14×82=16，
∴S=S四边形OECF-S△CEF=16-12(8-t)⋅t=12t2-4t+16=12(t-4)2+8(0≤t≤8)，
∴s(cm2)与t(s)的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为0≤t≤8．
故选：B．
由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8-t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF-S△CEF=16-12(8-t)⋅t，然后配方得到S=12(t-4)2+8(0≤t≤8)，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
8.【答案】解：(1)∵OA=1，
∴点A的坐标为(-1,0)，
则-k+2=0，
解得：k=2，
∴直线l的解析式为y=2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2=6，
∴点C的坐标为(2,6)，
∴m=2×6=12；
(2)设点D的坐标为(n,2n+2)，则点E的坐标为(n,12n)，
∴DE=|2n+2-12n|，
∵OB//DE，
∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y=2x+2与y轴交于点B，
∴OB=2，
∴|2n+2-12n|=2，
当2n+2-12n=2时，n1= 6，n2=- 6(舍去)，
此时，点D的坐标为( 6,2 6+2)，
当2n+2-12n=-2时，n1= 7-1，n2=- 7-1(舍去)，
此时，点D的坐标为( 7-1,2 7)，
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为( 6,2 6+2)或( 7-1,2 7).
【解析】(1)根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
(2)分2n+2-12n=2、2n+2-12n=-2两种情况，计算即可．
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9.【答案】解：(1)把点A(1,2)代入y=mx得，2=m1，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把B(a,-1)代入y=2x得，a=-2，
∴B(-2,-1)，
把点A(1,2)，B(-2,-1)代入y=kx+b得k+b=2-2k+b=-1，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)当y=0时，0=x+1，
解得：x=-1，
∴C(-1,0)，
设P(x,0)，
∴S△APC=12×|x+1|×2=4，
∴x=3或x=-5，
∴P(3,0)或(-5,0)．
【解析】(1)把点A(1,2)代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A(1,2)，B(-2,-1)代入y=kx+b得到一次函数的解析式为：y=x+1；
(2)当y=0时，得到C(-1,0)，设P(x,0)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
10.【答案】解：(1)∵反比例函数图象点B(4,2)，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的表达式为：y=8x，
把A(a,4)代入y=8x得：a=2，
∴A(2,4)，
∵一次函数y=mx+n的图象过点A，点B，
∴4m+n=22m+n=4，
解得：m=-1n=6，
∴一次函数的表达式为y=- x+6；
(2)观察函数图象可得，- x+6≥的解集为：2≤ x≤4；
(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，如下图：
由一次函数的表达式知，点C(6,0)，
由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y=2x，
当y=2时，2y=2x，
则x=1，
即点D(1,2)，则BD=4-1=3，
则梯形OCBD的面积=12×(BD+OC)×yB=12×(3+6)×2=9．
【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；
(2)利用数形结合思想可求解；
(3)用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，由梯形OCBD的面积=12×(BD+OC)×yB=12×(3+6)×2=9，即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到面积的计算、函数作图、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．
11.【答案】解：(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=6×6=36，
则反比例函数表达式为：y=36x，
将点B的坐标代入上式得：-1=36a，则a=-36，
即点B的坐标为：(-36,-1)，
将A、B的坐标代入一次函数表达式得：-1=-36m+n6=6m+n，
解得：m=16n=5，
则直线AB的表达式为：y=16x+5；
(2)从函数图象看，不等式kx≥mx+n的解集为：0
令y=16x+5=0，则x=-30，即点N(-30,0)，
则ON的中垂线为x=-15，
当x=-15时，y=36x=-125，
即点Q的坐标为：(-15,-125).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)分别以点O、N为圆心，以大于12NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，得到ON的中垂线为x=-15，即可求解．
本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质，不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：(1)∵点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=1×3=3，
故答案为：3；
(2)如图，分别过点A，B作AF⊥x轴于点F，BG⊥x轴于点G，
则OF=BG=1，AF=OG=3．
又OA=OB，
∴△OAF≌△BOG(SAS)，
∴∠AOF=∠OBG，
又∠BOG+∠OBG=90°，
∴∠BOG+∠AOF=90°，
∴∠AOB=90°；
(3)连接CE交OD于H，
∵四边形OCDE是菱形，
∴OD⊥CE，
∴S△COD=2S△OHE，
∵顶点E在反比例函数y=3x的图象上，
∴S△OEH=12×3=32，
∴S△COD=2S△OHE=3，
∵OA= AF2+OF2= 12+32= 10，
∴图中阴影部分面积之和=3+90⋅π×10360=3+5π2．
(1)根据点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，求得k=1×3=3，
(2)如图，分别过点A，B作AF⊥x轴于点F，BG⊥x轴于点G，得到OF=BG=1，AF=OG=3.根据全等三角形的性质得到∠AOF=∠OBG，于是得到结论，
(3)连接CE交OD于H，根据菱形的性质得到OD⊥CE，得到S△COD=2S△OHE，求得S△OEH=12×3=32，根据勾股定理得到OA= AF2+OF2= 12+32= 10，于是得到图中阴影部分面积之和=3+90⋅π×10360=3+5π2．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．
13.【答案】(1)解：把点C(2, 3)代入y=kx(x>0)，得 3=k2，
∴k=2 3．
(2)证明：∵点A和点C的纵坐标都是 3，
∴AC//x轴．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥x轴，
∴AO//EB，
∴四边形AOBE是平行四边形．
∵∠AOB=90°，
∴四边形AOBE是矩形，
∴AE=OB=1．
又∵AC=2，
∴EC=AE=1．
∵DE=BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形．
(3)解：存在，点P的坐标为(-1,0)或(3,0)．
∵A(0, 3)，B(1,0)，C(2, 3)，
∴AB2=( 3)2+1=4，AC2=( 3- 3)2+22=4，CB2=( 3)2+(2-1)2=4，
∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等，
∴可设点P(x,0)，
当菱形ABPC以AB为对角线，则1=x+2，
解得x=-1，
当菱形ABCP以CB为对角线，则x+0=1+2，
解得x=3，
则P1(-1,0)，P2(3,0)．
【解析】(1)将点C(2, 3)代入y=kx即可；
(2)根据题意得AC//x轴，且BD⊥x轴，则有四边形AOBE是平行四边形，结合∠AOB=90°，那么四边形AOBE是矩形，由于EC=AE，DE=BE和BD⊥AC即可判定；
(3)根据点的坐标可求得AB=AC=CB，且点A和点C纵坐标相等，可设点P(x,0)，分以AB为对角线和以CB为对角线，列方程求解即可．
本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理与性质．
14.【答案】23π
【解析】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴S△AFD=S△OFA，
∴S阴=S扇形OFA，
∵OD=OA=2，AB=6，
∴OB=4，
∴OB=2OD，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OF=OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴S阴=S扇形OFA=60⋅π⋅22360=2π3．
故答案为：2π3．
连接OD，OF.首先证明OD//AC，推出S阴=S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
15.【答案】25π8
【解析】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD=CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE=90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影=S△DCE+S半弓形BCE=S△OCE+S半弓形BCE=S扇形COB=45π×52360
=25π8，
故答案为：25π8．
先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】2 3
【解析】解：连接OA、AC，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠PAC+∠CAO=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAO+∠CAO=90°，
∴∠PAC=∠BAO，
∵AP=AB，
∴∠P=∠B，
∵∠PAC=∠BAO，AP=AB，∠P=∠B，
∴△PAC≌△BAO(ASA)，
∴AC=AO，
∵AO=CO，
∴AC=AO=CO，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACB=60°
∴BC=ABsin60∘=3 32=2 3，
故答案为：2 3．
连接OA、AC，证明△ACO是等边三角形，再利用三角函数可求BC．
本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
17.【答案】(1)证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC//AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠EAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
(2)解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AE⊥DC，
由(1)得：∠EAC=∠OAC，
∴∠ABC=∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan∠ACE=34，
∴ACBC=5BC=34，
∴BC=203，
在Rt△ABC中，AB= AB2+BC2=253，
∴OA=256．
【解析】(1)连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC//AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
(2)连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE=90°，再利用(1)的结论可得tan∠ABC=tan∠ACE=34，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AF与圆相切于A，
∴直径AB⊥AF，
∴∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90°，
∵∠AED=∠EAD，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=FD；
(2)解：连接BD，
∵∠EAF=90°，
∵sin∠AFE=35，
∴cs∠AEF=AEEF=45，
∵AE=6，
∴EF=7.5，
∵∠AED=∠EAD，
∴AD=ED，
∴AD=12EF=3.75，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠AED=∠EAD，
∵cs∠EAD=cs∠AEF=45，
∴ADAB=45，
∴AB=7516，
∴⊙O半径的长是7532．
【解析】(1)由切线的性质推出∠FAD+∠EAD=∠F+∠AED=∠90°，而∠AED=∠EAD，因此∠F=∠FAD，即可证明AD=FD；
(2)由锐角的余弦求出FE的长，即可得到AD的长，由cs∠EAD=cs∠AEF=35，求出AB长，即可求出圆的半径长．
本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接DO；如图所示：
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
(2)3， 45 ．
【解析】【分析】
本题考查了圆的切线性质、切线长定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
(1)证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；
(2)①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°，先证明四边形DECO是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 3，
∴AB=2AC=4 3，
∴BC= AB2-AC2=6，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由(1)得：BE=EC，
∴DE=12BC=3，
故答案为：3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=∠OCE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．
20.【答案】有两个角对应相等的两个三角形相似 CPBP
【解析】解：(1)连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，(有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴APDP=CPBP，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP；
(2)延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，
设圆O的半径为rcm，则PF=(5+r)cm，PD=(r-5)cm，
根据(1)中结论得AP⋅BP=DP⋅FP，即为4×(10-4)=(r+5)(r-5)，
解得：r=7或r=-7(不符合题意，舍去)，⊙O的半径为7cm．
(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可；
(2)延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF=(5+r)cm，PD=(r-5)cm，根据(1)中结论代入求解即可．
题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
21.【答案】4 33或4 3
【解析】解：分两种情况：
①如图，AB是等腰△ABP的底，则BP=AP，
∵∠ABC=30°，AB=4，
过点P作PD⊥AB于点D，
∴BD=12AB=12×4=2，csB=BDBP，
∴BP=BDcsB=2cs30∘=4 33；
②如图，AB是等腰△ABP的腰，则AP=AB=4，
∵∠ABC=30°，AB=4，
过点A作AD⊥BP于点D，
∴BD=PD=12BP，csB=BDAB，
∴BD=AB⋅csB=4×cs30°=4× 32=2 3，
∴BP=2BD=4 3；
综上所述，BP的长为4 33或4 3．
故答案为：4 33或4 3．
根据等腰三角形的三线合一性质，分两种情况讨论即可．
本题考查锐角三角函数的应用，等腰三角形的三线合一性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】12或32
【解析】【分析】
分两种情形：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J.如图2中，当PD⊥BC于点J时，分别求出PB，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J．
∵∠C=90°，AC=1，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2，BC= 3AC= 3，
由翻折变换的性质可知，∠D=∠B=30°，DM=BM= 32，
∴JM=12DM= 34，
∴BJ=BM-JM= 34，
∴PB=BJcs30∘=12，
∴AP=AB-PB=2-12=32．
如图2中，当PD⊥BC于点J时，同法可得MJ=JC= 34，
∴BJ=3 34，
∴PB=BJcs30∘=32，
∴AP=AB-PB=2-32=12．
综上所述，AP的值为12或32．
故答案为：12或32．
23.【答案】5 54或4 5
【解析】解：∵AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，
∴∠ADB=∠BEF=90°，∠BAE=∠CAE，BE=CE，
∴∠FBE=∠FCE，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠FBC=∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠FCB=∠FBC，
当∠PAB=∠PBA时，△APB∽△BFC，
∴APBF=ABBC，
∵BD= AB2-AD2= 52-32=4，
设BF=CF=x，
在Rt△CDF中，x2=(4-x)2+22，
∴x=52，
∵BC= BD2+CD2= 42+22=2 5，
∴AP52=52 5，
∴AP=5 54．
当∠AP'B=∠BAE时，△ABP'∽△BFC，
∴AP'BC=ABBF，
∴AP'2 5=552，
∴AP'=4 5．
综上所述，AP的长为5 54或4 5．
故答案为：5 54或4 5．
分两种情形：当∠PAB=∠PBA时，△APB∽△BFC，当∠AP'B=∠BAE时，△ABP'∽△BFC，分别构建方程求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题．
24.【答案】12或2 33
【解析】解：如图1，当∠AEO=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
∵AB=1，AD= 3，
∴BC= 3，
∴tan∠BAC=BCAB= 31= 3，
∴∠BAC=60°，
由勾股定理得AC= AB2+BC2= 12+( 3)2=2，
∵O为对角线AC的中点，
∴AO=12AC=1，
在Rt△AEO中，cs∠BAC=AEAO，
∴cs60°=AE1，
即12=AE1，
∴AE=12；
如图2，当∠AOE=90°时，
∵O为对角线AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠EAC=30°，
在Rt△AOE中，cs∠EAC=AOAE，
即cs30°=AOAE，
∴ 32=1AE，
∴AE=2 33；
综上，当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为12或2 33，
故答案为：12或2 33．
分两种情况讨论：当∠AEO=90°时，先求出∠BAC的度数，AO的长，再根据∠BAC的余弦值即可求出AE的长；当∠AOE=90°时，先证得AE=CE，得出∠EAC=∠ECA=30°，再根据∠EAC的余弦值即可求出AE的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】80°或140°
【解析】解：如图1中，当BE=BC时，
∵BE=BC，∠EBC=40°，
∴∠BCE=∠BEC=12×(180°-40°)=70°，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD=2∠BCE=140°；
如图2中，当EB=EC时，点E与O重合，
∵BE=BC，
∴∠EBC=∠BCD=40°，
∴∠BOD=2∠BCD=80°；
故答案为：80°或140°．
分两种情形：①BE=BC，②EB=EC，分别求出∠BOD即可．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】2 2-2或2 2+2
【解析】解：设直线A'E交AC于F，
当F在D下方时，如图：
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=4 2，∠A=45°，
∵将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，D为边AC的中点，
∴∠A'=∠A=45°，AD=A'D=2，
∵A'E⊥AC，
∴△AEF，△A'DF是等腰直角三角形，
∴DF=A'D 2= 2，
∴AF=AD+DF=2+ 2，
∴AE= 2AF=2 2+2，
∴BE=AB-AE=4 2-(2 2+2)=2 2-2；
当F在D上方时，如图：
同理可得A'D=AD=2，
∴DF=A'D 2= 2，
∴AF=AD-DF=2- 2，
∴AE= 2AF=2 2-2，
∴BE=AB-AE=2 2+2；
故答案为：2 2-2或2 2+2．
设直线A'E交AC于F，当F在D下方时，由AC=BC=4，∠C=90°，得AB=4 2，∠A=45°，根据将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，D为边AC的中点，有∠A'=∠A=45°，AD=A'D=2，而A'E⊥AC，故△AEF，△A'DF是等腰直角三角形，求出DF=A'D 2= 2，AF=AD+DF=2+ 2，可得AE= 2AF=2 2+2，从而BE=AB-AE=4 2-(2 2+2)=2 2-2；当F在D上方时，同理可得BE=AB-AE=2 2+2．
本题考查等腰直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折前后，对应边相等，对应角相等及等腰直角三角形三边的关系．
27.【答案】 10或 26
【解析】解：∵AB=BC=4 2，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=8，
分两种情况讨论：
①如图，
当点D运动到线段AC上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠CDE=180°-∠ADE=90°，
∵AD=2，
∴CD=AC-AD=8-2=6，
∴CE= CD2+DE2= 62+22=2 10，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 10；
②如图，
当点D运动到线段CA的延长线上时，
此时∠CDE=∠ADE=90°，CD=AC+AD=8+2=10，
∴CE= CD2+DE2= 102+22=2 26，
∵点O为CE的中点，
∴OD=12CE= 26，
综上所述，OD的长为 10或 26，
故答案为： 10或 26．
首先利用勾股定理可得AC= AB2+BC2=8，然后分两种情况讨论：当点D运动到线段AC上和点D运动到线段CA的延长线上时，利用勾股定理求得CE的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
28.【答案】9
【解析】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'，若点B'刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC
∴BC=CE+BE=3+6=9．
故答案为：9．
根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E=BE，=2CE=6即可求解．
本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
29.【答案】GH=FH 60°
【解析】解：(1)∵点F、G是BC、DC的中点，
∴FH是△CBD的中位线，
∴FH//BD，FH=12BD，
∵点H、G是DC、DE的中点，
∴GH是△CDE的中位线，
∴GH//CE，GH=12CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
即BD=CE，
∴GH=FH，
∵FH//BD，
∴∠DHF=∠ADC，
∵GH//CE，
∴∠DHG=∠DCA，
∵∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴∠GHF=∠DHF+∠DHG=∠ADC+∠ACD=60°，
故答案为：GH=FH，60°；
(2)△GHF的形状是等边三角形，理由如下：
由旋转的性质得：∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同(1)得：FH是△CBD的中位线，GH是△CDE的中位线，
∴FH=12BD，GH=12CE，FH//BD，GH//CE，
∴FH=GH，∠DHG=∠DCE，∠HFC=∠DBC，
∴△GHF是等腰三角形，
∵∠DHF=∠HFC+∠DCB=∠DBC+∠DCB，
∴∠GHF=∠DHG+∠DHF=∠DCE+∠DBC+∠DCB=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴∠GHF=60°，
∴△GHF是等边三角形；
(3)由(2)知，△GHF是等边三角形，FH=GH=12BD，
∴GH最大时，△GHF面积最大，
∴点D在BA的延长线上，BD最大，此时△GHF的面积最大，
此时，BD=AB+AD=6+2=8，
∴GH=12BD=12×8=4，
∴S△GHF最大= 34GH2= 34×42=4 3．
(1)易证FH是△CBD的中位线，GH是△CDE的中位线，得出FH//BD，FH=12BD，GH//CE，GH=12CE，再求出BD=CE，得出GH=FH，然后由平行线的性质得出∠DHF=∠ADC，∠DHG=∠DCA，最后由三角形内角和定理即可得出结果；
(2)由旋转的性质得∠BAD=∠CAE，先证△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠ABD=∠ACE，BD=CE，同(1)得FH是△CBD的中位线，GH是△CDE的中位线，推出FH=GH，∠DHG=∠DCE，∠HFC=∠DBC，则△GHF是等腰三角形，再证∠GHF=60°，则△GHF是等边三角形；
(3)由(2)知△GHF是等边三角形，FH=GH=12BD，得出GH最大时，△GHF面积最大，推出点D在BA的延长线上，BD最大，此时△GHF的面积最大，求出BD最大时的长，得出GH的最大时长，然后由等边三角形面积公式即可得出结果．
本题是几何变换综合题，考查了三角形中位线定理、三角形内角和定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定由性质等知识，综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
30.【答案】BC=BM
【解析】(1)解：根据旋转的性质得CM=CB=4，∠BCM=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴BC=BM；
故答案为：BC=BM；
(2)①证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，
∴CN=CE=12CA，CM=CD=12CB，
∠ACN=∠BCM=60°．
∴CMCB=CNCA=12．
∴△BCM∽△ACN；
②解：AN= 32AC.理由如下：
如图2，连接MD，
∵BC=4，AB=3，
∴BD=DC=CM=2．
∵∠BCM=60°，
∴△CMD是等边三角形．
∴CD=MD=BD=2，∠DMC=∠MDC=60°．
∴∠DBM=∠DMB=12∠MDC=30°．
∴∠BMC=30°+60°=90°．
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
BM= BC2-CM2= 42-22=2 3．
∴BMBC=2 34= 32．
由①得，△BCM∽△ACN．
∴BMBC=ANAC= 32．
∴AN= 32AC；
(3)解：①如图所示，
∵∠B=90°，BC=4，AB=3，
∴AC=5，CD=CM=2，CN=CE=52，MN=DE=32，∠CMN=∠CMA=90°，∠MCN=∠BCA，
∴AM= AC2-CM2= 21，∠MCB=∠NCA，
∵BCAC=45，CMCN=252=45，
∴BCAC=CMCN=45，
∴△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM+MN)=4 21+65；
②如图所示，
同理，△MCB∽△NCA，
∴BMAN=45，
∴BM=45(AM-MN)=4 21-65；
综上所述，BM的长为4 21+65或4 21-65．
(1)证明△BCM是等边三角形，即可得到结论BC=BM；
(2)①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明△BCM∽△ACN；②证明△CMD是等边三角形，在Rt△BCM中，利用勾股定理求得BM的长，再利用相似三角形的性质求解即可；
(3)分两种情况分析，A、M、N三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案．
此题主要考查了几何变换综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
31.【答案】解：(1)结论：EF=BE；
(2)结论：AF2+BE2=EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ//BE，
∴∠AJD=∠DEB，
在△AJD和△BED中，
∠AJD=∠DEB∠ADJ=∠BDEAD=BD，
∴△AJD≌△BED(AAS)，
∴AJ=BE，DJ=DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ=EF，
∵∠FAJ=90°，
∴AF2+AJ2=FJ2，
∴AF2+BE2=EF2；
(3)AF的长为115或1．
【解析】【分析】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
(1)结论：EF=BE.利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
(2)结论：AF2+BE2=EF2.如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ.证明△AJD≌△BED(AAS)，推出AJ=BE，DJ=DE，再证明FJ=EF，然后由勾股定理可得结论．
(3)分两种情形：如图3-1中，当点E在线段BC上时，如图3-2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF=5-x.构建方程求解即可．
【解答】
解：(1)结论：EF=BE．
理由：如图1中，
∵当点F与点A重合时，FD=DB，DE⊥FB，
∴EF=EB；
(2)见答案；
(3)如图3-1中，当点E在线段BC上时，设AF=x，则CF=5-x．
∵BC=3，CE=1，
∴BE=2，
同(2)可得EF2=AF2+BE2，
∵EF2=CF2+CE2，
∴AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+22=(5-x)2+12，
∴x=115，
∴AF=115．
如图3-2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF=5-x．
∵BC=3，CE=1，
∴BE=4，
同(2)可得EF2=AF2+BE2，
∵EF2=CF2+CE2，
∴AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+42=(5-x)2+12，
∴x=1，
∴AF=1，
综上所述，满足条件的AF的长为115或1．
32.【答案】解：(1)AD⊥BE
(2)(1)中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵DCCE=ACBC=1m，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
(3)如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(4+AE)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(4+AE)2，
∴AE=2或AE=-8(舍去)，
∴BE=6 3，
当点D在线段AE上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(AE-4)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(AE-4)2，
∴AE=8或AE=-2(舍去)，
∴BE=4 3，
综上所述：BE=6 3或4 3．
【解析】解：(1)如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，
当m=1时，DC=CE，CB=CA，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
DC=CE∠ACD=∠BCECA=CB,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(2)通过证明△DCA∽△ECB，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得BE= 3AD，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
33.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，AD//BC，∠ADE=∠DCF=90°，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
AE=DFAD=DC
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE=CF，
∵CH=DE，
∴CF=CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH=∠DCF=90°，
在△DCF和△DCH中，
CF=CH∠DCF=∠DCHDC=DC
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠DFC=∠H，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠ADF=∠H；
(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AD//BC，
∴∠ADE=∠DCG，
在△ADE和△DCG中
AD=DC∠ADE=∠DCGDE=CG
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，
∵AE=DF，
∴DG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG=DF=11，
∵CF+CG=FG，
∴CF=FG-CG=11-8=3，
即CF的长为3．
【解析】(1)由矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再证∠AED=∠DFC，即可得出结论；
(2)证Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，得DE=CF，再证△DCF≌△DCH(SAS)，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，即可得出结论；
(3)延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，△ADE≌△DCG(SAS)，得∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，再证△DFG是等边三角形，得FG=DF=11，即可解决问题．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
34.【答案】菱形
【解析】解：(1)由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，
∵EF//AD，
∴∠DAF=∠EFA，
∴∠EFA=∠EAF，
∴EA=EF，
∴AD=DF=EF=AE，
∴四边形AEFD是菱形，
故答案为：菱形；
(2)PF⊥PC.理由如下：
连接AE，如图2，
由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵∠PEC+∠PEF=180°，
∴∠DAB=∠PEF，
∵点P是AD的中点，
∴PA=PD=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠DAB-∠PAE=∠PEF-∠PEA，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF，
∵PF=PF，
∴△PAF≌△PEF(SSS)，
∴∠APF=∠EPF，
∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，
∴2∠CPE+2∠FPE=180°，
∴∠FPC=90°，
∴PF⊥PC；
(3)分两种情况：
①当点P在DA的延长线上时，点E在CB的延长线上时，如图3，
由折叠的性质可知，DP=CE，DC=EP，四边形DCEP为平行四边形，
∵DP=AD+AP=7+3=10，
∴CE=DP=10，
∵BC=AD=7，
∴BE=CE-CB=10-7=3，
②当点P在DA间时，点E在AB间时，如图4，
延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x，
由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=10，
∵CD//BT，
∴∠T=∠DCP，
∴∠T=∠PCE，
∴EC=ET=10，AT=10-x，
∵AT//CD，
∴△PDC∽△PAT，
∴APPD=ATCD，
∴34=10-x10，
∴x=2.5，
∴AE=2.5，
∴BE=AB-AE=10-2.5=7.5．
(1)由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，再根据平行线的性质推出∠EFA=∠EAF，则EA=EF，进而推出AD=DF=EF=AE，即可证明四边形AEFD是菱形；
(2)连接AE.由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，由∠ADC+∠DAB=180°，∠PEC+∠PEF=180°，得到∠DAB=∠PEF；由点P是AD的中点，得到PA=PD=PE，则∠PAE=∠PEA，进一步证明∠AEF=∠EAF，得到AF=EF，证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠EPF，再根据平角的定义得到∠FPC=90°，则PF⊥PC；
(3)①当点P在DA的延长线上时，点E在CB的延长线上时，由折叠的性质可知，DP=CE，DC=EP，四边形DCEP为平行四边形，由DP=AD+AP=10可知CE=DP=10，由BC=AD=7即可求得BE=CE-CB=3；
②当点P在DA间时，点E在AB间时，延长CP交BA的延长线于点T.设AE=x.由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=10，再证明∠T=∠PCE，得到EC=ET=10，AT=10-x，证明△PDC∽△PAT，得到34=10-x10，即可求出AE=2.5，由此可得BE=AB-AE.即可求解
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
35.【答案】解：(1)FG=BG，
理由如下：如图，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵点E是AB的中点，
∴AB=BE．
由折叠可知AE=EF，
∴EF=EB．
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
EF=EB,EG=EG,
∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)，
∴FG=BG；
(2)∵四边形ABCD是矩形，AB=4，
∴CD=AB=4．
∴DG= 42+22=2 5．
令AD=x，则DF=AD=x，
由(1)知FG=BG=x-2，
∴x+x-2=2 5．
解得x= 5+1，
即AD的长为 5+1．
(3)当点F在DC的下方时，如图2，连接BF，
∵折叠，
∴AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，
∵∠A+∠ABC=180°，∠DFE+∠EFG=180°，
∴∠EFG=∠ABC，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠GFB=∠GBF，
∴GF=BG=BC-CG=2-0.5=1.5，
∴DG=3.5；
当点F在DC的上方时，如图3，连接BF，
同理可求：FG=BG=BC+CG=2+0.5=2.5，
∴DG=4.5，
综上所述：DG的长为3.5或4.5．
【解析】(1)由“HL”可证Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG=BG；
(2)由勾股定理可求解；
(3)分两种情况讨论，由折叠的性质可得AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，由等腰三角形的性质可求FG的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
36.【答案】 32 30° 13 3- 392或13 3+ 392
【解析】解：(1)①∵∠ABC=90°，AB=4 3，
∴∠ACB=60°，csA=ABAC=4 3AC= 32，
∴AC=8，
∴BC=4，
∵点E是斜边AC的中点，ED⊥AB，
∴AE=12AC=4，∠EDA=90°，
∴DE=12AE=2，AD=2 3，
将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵ADAE=2 34= 32，ABAC=4 38= 32，
∴ADAE=ABAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴BDCE=ABAC= 32；
故答案为： 32；
②∵△DAB∽△EAC，
∴∠ACE=∠ABD，
设AB，CE交于点O，BD，CE交于点H，如图1，
则：∠AOC=∠BOH，
∴∠BHC=∠CAB=30°(8字型图)，即：直线BD与CE所夹锐角的度数为30°；
故答案为：30°；
(2)成立；理由如下：
∵∠DAB=∠CAD+∠CAB=∠CAD+30°，∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+30°，
∴∠DAB=∠CAE，
又∵ADAE=ABAC= 32，
∴△DAB∽△EAC，
∴BDCE=ABAC= 32，∠ACE=∠ABD，
设AB，CE交于点O，BD，CE交于点，如图2，
则：∠AOB=∠COH，
∴∠BHC=∠CAB=30°(8字型图)，即：直线BD与CE所夹锐角的度数为30°；
(3)①如图3，当点D在C，E之间时，
∵D、E、C三点共线，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∵AD=2 3,AC=8，
∴CD= AC2-AD2=2 13，
∴EC=CD+DE=2 13+2，
∴S△AEC=12CE⋅AD=12(2 13+2)×2 3=2 3+2 39，
由(2)知：△DAB∽△EAC，ADAE=ABAC= 32，
∴S△ABDS△AEC=(ABAC)2=34，
∴S△ABD=34S△AEC=3 3+3 392，
∴S△BDC=S△ADC+S△ABC-S△ABD=12AD⋅CD+12AB⋅BC-3 3+3 392=12×2 3×2 13+12×4 3×4-3 3+3 392=2 39+8 3-3 3+3 392=13 3+ 392；
②如图4，当点E在C，D之间时，
同①可得：CD=2 13，EC=CD-DE=2 13-2，
∴S△AEC=12CE⋅AD=12(2 13-2)×2 3=2 39-2 3，△DAB∽△EAC，ADAE=ABAC= 32，
∴S△ABDS△AEC=(ABAC)2=34，
∴S△ABD=34S△AEC=3 39-3 32，
∴S△BDC=S△ABD+S△ABC-S△ADC=3 39-3 32+12AB⋅BC-12AD⋅CD=3 39-3 32+8 3-2 39=13 3- 392；
综上：△BCD的面积为13 3- 392或13 3+ 392；
故答案为：13 3- 392或13 3+ 392．
(1)①解直角三角形，分别求出的长，证明△DAB∽△EAC，得到；②根据△DAB∽△EAC，得到∠ACE=∠ABD，利用8字型图，得到∠BHC=∠CAB=30°即可；
(2)证明△DAB∽△EAC，得到BDCE=ABAC= 32，∠ACE=∠ABD，利用8字型图，求出直线BD与CE所夹锐角的度数即可；
(3)分点D在C，E之间，以及点E在C，D之间，两种情况，分类讨论求解即可．
本题考查含30°的直角三角形，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形的相似，是解题的关键．注意，分类讨论．
37.【答案】EF=BE+DF
【解析】解：(1)如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF'=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEF'中，
AF=AF'∠EAF'=EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AEF'(SAS)，
∴EF=EF'，
又EF'=BE+BF'=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
(2)(1)中的结论不成立，
理由：将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使得点B与点D重合，则点E的对应点记为点G，则△ABE≌△ADG，
∴DG=BE，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠GAF=45°，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴FG=EF，
∵DG+DF>FG，
∴BE+DF>EF；
(3)把△ADF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与AB上的点D'重合，则点F的对应点记为点F'，则△AD'F'≌△ADF，
∴∠AD'F'=∠ADF=90°，∠F'AF'=90°，AF'=AF，∠F'AD'=∠FAD，AD'=AD，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠F'AD'+∠BAE=∠F'AE=∠EAF=45°，
∵E是BC边的三等分点，BC=AD=3，
∴BE=1，
延长F'D'交AE于H，交CD于G，连接FH，
则四边形AD'GD是正方形，四边形D'BCG是矩形，
∴AD'=AD=D'G=DG=3，BC=D'G=3，
∴BD'=AB-AD'=CG=1，
∵AF=AF'，∠F'AH=∠FAH，AH=AH，
∴△AF'H≌△AFH(SAS)，
∴F'H=FH，
∵D'H//BE，
∴△AD'H∽△ABE，
∴D'HBE=AD'AB，
∴D'H1=34，
∴D'H=34，
∴HG=D'G-D'H=94，
设DF=D'F'=x，F'H=FH=x+94，FG=3-x，
∵FG2+HG2=FH2，
∴(3-x)2+(94)2=(x+94)2，
解得x=95，
∴DF的长为95．
(1)根据旋转的性质得到∠EAF'=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EF=EF'，于是得到EF=BE+DF；
(2)根据旋转的性质得到DG=BE，∠DAG=∠BAE，AE=AG，得到∠EAF=∠GAF=45°，根据全等三角形的性质得到FG=EF，根据三角形的三边关系即可得到结论；
(3)把△ADF绕点A顺时针旋转90°，使得点D与AB上的点D'重合，则点F的对应点记为点F'，则△AD'F'≌△ADF，得到∠AD'F'=∠ADF=90°，∠F'AF'=90°，AF'=AF，∠F'AD'=∠FAD，AD'=AD，根据已知条件得到BE=1，延长F'D'交AE于H，交CD于G，连接FH，根据矩形的性质和正方形的性质得到AD'=AD=D'G=DG=3，BC=D'G=3，根据全等三角形的性质得到F'H=FH，根据相似三角形的性质得到D'H=34，设DF=D'F'=x，F'H=FH=x+94，FG=3-x，根据勾股定理即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
38.【答案】解：(1)∵抛物线y=-12x2+bx+c与x轴的交点坐标为A(-1,0)、B(3,0)两点，
∴抛物线解析式为y=-12(x+1)(x-3)，
即y=-12x2+x+32；
∵y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2，
∴抛物线顶点G的坐标为(1,2)；
(2)当x=0时，y=-12x2+x+32=32，
∴C(0,32)，
∵线段AC向右水平移动m个单位长度，当C点的对应点在抛物线上，
∴C点的对应点与C点关于抛物线的对称轴对称，此时C点的对应点的坐标为(2,32)，m的值为2；
∵线段AC向右水平移动m个单位长度，当A点的对应点在抛物线上，即点A平移到B点，此时m的值为4，
∴若平移线段AC后与抛物线只有一个交点时，m的取值范围为2≤m≤4．
【解析】(1)利用交点式写出抛物线解析式，然后把一般式化为顶点得到G点坐标；
(2)先确定C(2,32)，平移后，当C点的对应点在抛物线上，C点的对应点与C点关于抛物线的对称轴对称，此时C点的对应点的坐标为(2,32)，从而得到m的值为2；当A点的对应点在抛物线上，即点A平移到B点，此时m的值为4，所以m的取值范围为2≤m≤4．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
39.【答案】解：(1)由题意知，水柱所在抛物线经过点(4,2)，(6,0)，
将其分别代入y=ax2+bx+1，得：
16a+4b+1=236a+6b+1=0，
解得：a=-524b=1312，
∴水柱所在抛物线的解析式为y=-524x2+1312x+1；
(2)①令y=1，则-524x2+1312x+1=1，
解得x1=0，x2=5.2，
∴高度为1m的鲜花，与喷灌嘴的水平距离大于0m且小于5.2m时，才不会被水柱直接喷到；
②不会被水柱直接喷到，理由如下：
令x=0.4，则y=-524×425+1312×25+1=1.4，
∵1.3<1.4，
∴不会被水柱直接喷到．
【解析】(1)将点(4,2)，(6,0)代入y=ax2+bx+1得16a+4b+1=26a+6b+1=0，解答即可；
(2)①令y=1，则-524x2+1312x+1=1，即可得答案；②令x=0.4，则y=-524×425+1312×25+1=1.4，即可得答案．
本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
40.【答案】72
【解析】解：(1)∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0-4)2+8，
解得：a=-12，
∴抛物线的表达式为y=-12(x-4)2+8；
(2)联立方程组y=-12(x-4)2+8y=12x，
解得x=0y=0或x=7y=72，
∴A(7,72)，
∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为72米，
故答案为：72；
(3)当x=2时，y1=12x=1，y2=-12(x-4)2+8=6，
∵6-1>4，
∴小球M能飞过这个广告牌．
(1)设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
(2)联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出A点坐标即可；
(3)把x=2分别代入y=-12(x-4)2+8和y=12x，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
41.【答案】解：(1)(0,70)，(40,30)；
(2)把A(0,70)，P(40,30)代入y=-116x2+bx+c得：
c=70-116×1600+40b+c=30，
解得b=32c=70，
所以二次函数的表达式为y=-116x2+32x+70；
(3)运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
【解析】【分析】
(1)根据题意可直接求出A，P坐标；
(2)把A，P坐标代入y=-116x2+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
(3)作MN//y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
【解答】
解：(1)根据题意得，A(0,70)，P(40,30)，
故答案为：(0,70)，(40,30)；
(2)见答案；
(3)如图，作MN//y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC=60m，
∴C(0,60)，
设线段BC的关系式为y=kx+m，则m=6040k+m=30，
解得：k=-34m=60，
所以线段BC的关系式为y=-34x+60，
设M(a,-116a2+32a+70)，则N(a,-34a+60)，
则MN=-116a2+32a+70+34a-60=-116a2+94a+10=-116(a-18)2+30.25，
∵-116<0，
∴当a=18时，MN有最大值，最大值为30.25，
故答案为：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
42.【答案】解：(1)根据题意，设y关于x的函数表达式为：
y=a(x-4.5)2+258，
把(0,2)代入解析式得，
2=a(0-4.5)2+258，
解得：a=-118
∴y关于x的函数表达式为：y=-118(x-4.5)2+258；
(2)该生在此项考试中得不到满分，理由：
当y=0，则，-118(x-4.5)2+258=0，
解得：x1=12，x2=-3(舍去)，
∵12<12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【解析】【分析】
(1)根据题意设出顶点式，再将点(0,2)代入求出a的值即可；
(2)根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
43.【答案】解：(1)根据题意可得，抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴为直线x=1，
设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c，
∴c=109a+3b+c=7-b2a=1，
解得：a=-1b=2c=10，
∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10；
(2)在y=-x2+2x+10中，令y=0得0=-x2+2x+10，
解得x= 11+1或x=- 11+1(舍去)，
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为( 11+1)米．
【解析】(1)用待定系数法可得函数解析式；
(2)结合(1)，令y=0解得x的值即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．
44.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2，
∵桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，
∴点A(-10,-4)，
∴-4=100a，
解得：a=-125，
∴该抛物线的解析式y=-125x2；
(2)在y=-125x2中，设x=52得y=-14，
∵-14-3=-134，
∴水面所在直线为y=-134，
在y=-125x2中，令y=-134得：-134=-125x2，
解得x=5 132或x=-5 132，
∵5 132-(-5 132)=5 13(m)，
∴此时水面的宽度为5 13m.
【解析】【分析】
(1)求出A的坐标，用待定系数法可得抛物线函数表达式；
(2)根据题意得出x=52时y的值，即可得出水面所在直线为y=-134，从而可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
45.【答案】解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+2，
将点B(2,1.2)代入y=ax2+2中，
解得a=-0.2
∴y=-0.2x2+2；
(2)将y=1.8代入y=-0.2x2+2，
解得x1=-1，x2=1，
∵EO=2，
∴2-1=1，2+1=3．
∴1≤t≤3；
(3)他们可以安全跳绳．理由如下：
当y=1.8时，则1.8=-0.2x2+2，
解得：x1=-1，x2=1，
∴可以站立跳绳的距离为1-(-1)=2(m)．
∵(1+4-1)×0.4=1.6(m)，且1.6<2，
∴他们可以安全跳绳．
【解析】(1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+2，把点B(2,1.2)代入y=ax2+2中，求出a的值即可求出抛物线的解析式；
(2)将y=1.8代入y=-0.2x2+2，求出x的值即可求出t的取值范围；
(3)由(2)可知当y=1.8时，x1=-1，x2=1，所以可求出可以站立跳绳的距离为4-2=2米，因为1.6<2，所以他们可以安全起跳．
本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键．温馨提示：
本卷共45题，题目均选自2024年河南省各地市一模真题。
本卷共分为六部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。
本卷难度较大，适合基础较好的同学。
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：AP⋅BP=CP⋅DP．
证明：
如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，(根据)
∴APDP=@，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
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