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2024河南中考数学全国真题分类卷 第四讲 方程(组)及其应用 强化训练(含答案)
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这是一份2024河南中考数学全国真题分类卷 第四讲 方程(组)及其应用 强化训练(含答案)，共17页。试卷主要包含了 方程 3x＝2x＋7的解是， 解方程组等内容，欢迎下载使用。
1. (2023青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )
A. 若 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) ，则a＝b
B. 若ac＝bc，则a＝b
C. 若a2＝b2，则a＝b
D. 若－ eq \f(1,3) x＝6，则x＝－2
2. (2022安徽)设a，b，c为互不相等的实数，且b＝ eq \f(4,5) a＋ eq \f(1,5) c，则下列结论正确的是( )
A. a＞b＞c B. c＞b＞a
C. a－b＝4(b－c) D. a－c＝5(a－b)
命题点2 一次方程(组)及其解法
类型一 一次方程的解法及其解的应用
3. (2023百色)方程 3x＝2x＋7的解是 ( )
A. x＝4 B. x＝－4
C. x＝7 D. x＝－7
4. (2022重庆A卷)若关于x的方程 eq \f(4－x,2) ＋a＝4的解是x＝2，则a的值为________．
类型二 一次方程组的解法及其解的应用
5. (2023株洲)对于二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1，①,x＋2y＝7，②)) 将①式代入②式，消去y可以得到( )
A. x＋2x－1＝7 B. x＋2x－2＝7
C. x＋x－1＝7 D. x＋2x＋2＝7
6. (2023随州)已知二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4,2x＋y＝5)) ，则 x－y的值为______．
7. (2021绍兴)若关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,A＝0)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，)) 则多项式A可以是______(写出一个即可).
8. (2023山西)解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝3，①,x＋y＝6.②))
9. (2022扬州)已知方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7,x＝y－1)) 的解也是关于x、y的方程ax＋y＝4的一个解，求a的值．
命题点3 一次方程(组)的实际应用
类型一 购买、销售问题
10. (2023杭州)某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则( )
A. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(10x,19y))) ＝320 B. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(10y,19x))) ＝320
C. |10x－19y|＝320 D. |19x－10y|＝320
11. (2023泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
类型二 分配问题
12. (新趋势)·数学文化 (2023宿迁)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9（x－1）＝y)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9（x－1）＝y)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9x－1＝y)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9x－1＝y))
类型三 工程问题
13. (2022桂林)为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造．现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成 800平方米的绿化改造面积．
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元．比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．
哪一种方案的施工费用最少？
类型四 行程问题
14. (2023张家界)中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
类型五 阶梯费用问题
15. (2022贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12 m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10 m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14 m3，缴纳水费51.4元．
(1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
(2)某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
类型六 比赛积分问题
16. (2023嘉兴)“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝7,3x＋y＝17)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝9,3x＋y＝17)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝7,x＋3y＝17)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝9,x＋3y＝17))
其他类型
17. (新趋势)·跨学科背景 (2023河北)“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是( )
第17题图
A. 依题意3×120＝x－120
B. 依题意20x＋3×120＝(20＋1)x＋120
C. 该象的重量是5040斤
D. 每块条形石的重量是260斤
命题点4 分式方程及其解法
类型一 分式方程的解法
18. (2023海南)分式方程 eq \f(2,x－1) －1＝0的解是( )
A. x＝1 B. x＝－2 C. x＝3 D. x＝－3
19. (新考法)·结合新定义考查解分式方程 (2023宁波)定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) .若(x＋1)⊗x＝ eq \f(2x＋1,x) ，则x的值为________．
20. (2023贺州)解方程： eq \f(3－x,x－4) ＝ eq \f(1,4－x) －2.
21. (2023青海)解方程： eq \f(x,x－2) －1＝ eq \f(4,x2－4x＋4) .
类型二 分式方程解的应用
22. (2023遂宁)若关于x的方程 eq \f(2,x) ＝ eq \f(m,2x＋1) 无解，则m的值为( )
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
23. (2023德阳)如果关于x的方程 eq \f(2x＋m,x－1) ＝1的解是正数，那么m的取值范围是( )
A. m＞－1 B. m＞－1且 m≠0
C. m＜－1 D. m＜－1且 m≠－2
24. (2022贺州)若关于x的分式方程 eq \f(m＋4,x－3) ＝ eq \f(3x,x－3) ＋2有增根，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
命题点5 分式方程的实际应用
类型一 工程问题
25. (2023宜宾)某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是( )
A. eq \f(540,x－2) － eq \f(540,x) ＝3 B. eq \f(540,x＋2) － eq \f(540,x) ＝3
C. eq \f(540,x) － eq \f(540,x＋2) ＝3 D. eq \f(540,x) － eq \f(540,x－2) ＝3
26. (2023重庆B卷)为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务．求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%.灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
类型二 行程问题
27. (2023常德)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时. 某天，他们以平常的速度行驶了 eq \f(1,2) 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
类型三 购买、销售问题
28. (2023丽水)某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程 eq \f(5000,2x) ＝ eq \f(4000,x) －30，则方程中x表示( )
A. 足球的单价 B. 篮球的单价
C. 足球的数量 D. 篮球的数量
29. (2022江西)甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
(1)求这种商品的单价；
(2)甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是________元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是________元/件；
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果， 建议按相同________加油更合算(填“金额”或“油量”).
其他类型
30. (2023山西)2023年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
命题点6 一元二次方程及其解法
类型一 解一元二次方程
31. (2023甘肃省卷)用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是( )
A. (x＋1)2＝3 B. (x＋1)2＝6
C. (x－1)2＝3 D. (x－1)2＝6
32. (2023云南)方程2x2＋1＝3x的解为________．
33. (新趋势)·条件开放性问题 (2023贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
类型二 一元二次方程解的应用
34. (2023益阳)若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
35. (2023连云港)若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是x＝1，则m＋n的值是__________．
命题点7 一元二次方程根的判别式
36. (2023河南)一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
37. (2023攀枝花)若关于x的方程x2－x－m＝0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m＜ eq \f(1,4) B. m≤ eq \f(1,4) C. m≥－ eq \f(1,4) D. m＞－ eq \f(1,4)
38. (2023江西)关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
39. (新趋势)·条件开放性问题 (2023扬州)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋________＝0有两个不相等的实数根．
命题点8 一元二次方程根与系数的关系[2023版课标调整为要求内容]
40. (2023成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是________.
41. (2023南充)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
命题点9 一元二次方程的实际应用
类型一 变化率问题
42. (2023新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为( )
A. 8(1＋2x)＝11.52 B. 2×8(1＋x)＝11.52
C. 8(1＋x)2＝11.52 D. 8(1＋x2)＝11.52
43. (2023宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为 1000元，5月份再生纸产量比上月增加 m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 eq \f(m,2) %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元. 求 m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
类型二 图形面积问题
44. (2023青海省卷)如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为________．
第44题图
类型三 每每问题
45. (2022菏泽)列方程(组)解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
参考答案与解析
1. A 【解析】B选项忽略了c≠0；C选项a与b还可能互为相反数；D选项应为x＝－18.
2. D 【解析】等式两边同时乘以5，得5b＝4a＋c，等式两边同时加上a－5b－c，得a－c＝5a－5b，即a－c＝5(a－b).
3. C 4. 3 5. B
6. 1 【解析】令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4①,2x＋y＝5 ②)) ，②－①得x－y＝1.
7. 解：①＋②，得3x＝9，
解得x＝3.
将x＝3代入②，得3＋y＝6，
解得y＝3.
∴原方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
8. x－y(答案不唯一) 【解析】∵关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2,A＝0)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1)) ，而1－1＝0，∴多项式A可以是x－y(答案不唯一).
9. 解：令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7①,x＝y－1②)) ，
把②代入①得：2(y－1)＋y＝7，
解得y＝3，代入①中，
解得x＝2，
将x＝2，y＝3代入方程ax＋y＝4，得2a＋3＝4，
解得a＝ eq \f(1,2) .
10. C 【解析】根据题意可得方程10x－19y＝320或19y－10x＝320，∴方程应为|10x－19y|＝320.
11. 解：设第一次购进的A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，
根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30x＋20y＝6000,1.2x×20＋1.2y×15＝5100)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝100,y＝150)) ，
答：第一次购进的A种茶每盒100元，B种茶每盒150元．
12. B
13. 解：(1)设乙工程队每天完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天完成(x＋200)平方米的绿化改造面积，根据题意得：(x＋200)＋x＝800，
解得x＝300，
∴x＋200＝500(平方米).
答：甲工程队每天完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天完成300平方米的绿化改造面积；
(2)①甲队单独完成的施工费用为12000÷500×600＝14400(元)，
②乙队单独完成的施工费用为12000÷300×400＝16000(元)，
③甲乙两队合作完成的施工费用为12000÷(500＋300)×(600＋400)＝15000(元)，
∵14400＜15000＜16000，
∴方案①甲队单独完成的施工费用最少．
14. 解：设高铁的平均速度为x km/h，则普通列车的平均速度为(x－200) km/h，
由题意得：x＋40＝3.5(x－200)，
解得x＝296.
答：高铁的平均速度为296 km/h.
15. 解：(1)设该市一级水费的单价为x元/m3，二级水费的单价为y元/m3，
依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10x＝32,12x＋（14－12）y＝51.4)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3.2,y＝6.5)) .
答：该市一级水费的单价为3.2元/m3，二级水费的单价为6.5元/m3；
(2)当水费为64.4元时，则用水量超过12 m3，
设用水量为a m3，
得12×3.2＋(a－12)×6.5＝64.4，
解得a＝16，
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16 m3.
16. A
17. B 【解析】∵第一次船里有20块条形石和3个搬运工，第二次船里有21块条形石和1个搬运工，且两次水位在同一位置，∴20x＋3×120＝(20＋1)x＋120，解得x＝240，∴该象的重量为20×240＋3×120＝5160斤．
18. C
19. － eq \f(1,2) 【解析】根据新运算可得 eq \f(1,x＋1) ＋ eq \f(1,x) ＝ eq \f(2x＋1,x) ，去分母，得x＋x＋1＝(2x＋1)(x＋1)，解得x1＝－ eq \f(1,2) ，x2＝0(舍去).
20. 解：方程两边同时乘以最简公分母(x－4)，得
3－x＝－1－2(x－4)，
去括号，得3－x＝－1－2x＋8，
解方程，得x＝4.
检验：当x＝4时，x－4＝0，
∴x＝4不是原方程的根，原方程无解．
21. 解：方程两边同时乘以x2－4x＋4＝(x－2)2，
得x(x－2)－(x2－4x＋4)＝4，
解得x＝4，
经检验，当x＝4时，x2－4x＋4＝(x－2)2＝4≠0，
∴x＝4是原分式方程的解．
22. D 【解析】方程两边同乘以x(2x＋1)，得2(2x＋1)＝mx，化简得，(4－m)x＋2＝0.①当4－m＝0时，解得m＝4，此时方程无解；②当4－m≠0时，由题意知，2x＋1＝0则无解，即x＝ eq \f(－2,4－m) ＝－ eq \f(1,2) ，解得m＝0，故m的值为0或4.
23. D 【解析】去分母得：2x＋m＝x－1，解得：x＝－m－1，由关于x的方程 eq \f(2x＋m,x－1) ＝1的解为正数，则x＞0，且x≠1，∴－m－1＞0，且－m－1≠1，解得m＜－1，且m≠－2.
24. D 【解析】方程整理得：m＋4＝3x＋2(x－3)，∴m＝5x－10，∵方程有增根，∴x－3＝0，∴x＝3，∴m＝5×3－10＝5.
25. C 【解析】设原计划每天完成x套桌凳，该家具厂要在开学前赶制540套桌凳，原计划需要的时间为 eq \f(540,x) 天；为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，可得实际需要加工的时间为 eq \f(540,x＋2) 天．根据“结果提前3天完成任务”可列方程 eq \f(540,x) － eq \f(540,x＋2) ＝3.
26. 解：(1)设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，
由题意可得，5(x－20)＋2x＝600，解得x＝100，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
(2)∵两施工队修建的长度恰好相同，
∴甲施工队和乙施工队各修筑了900米，且两队同时完成．
设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，
由题意可得， eq \f(360,y) ＋ eq \f(900－360,（1＋20%）y) ＝ eq \f(900,100) ，解得y＝90，
经检验，y＝90是原分式方程的解，且符合实际．
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
27. 解：设小强家到他奶奶家的距离是x千米，根据题意得，
4× eq \f(1,2) ＋ eq \f(\f(1,2)x,\f(x,4)－20) ＝5，
解得x＝240，
经检验，x＝240是原分式方程的解，且符合实际，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
28. D 【解析】所列方程为 eq \f(5000,2x) ＝ eq \f(4000,x) －30，根据等量关系篮球单价比足球单价贵30元，即足球单价＝篮球单价－30，则 eq \f(4000,x) 为篮球单价，∵购买篮球用了4000元，∴x为篮球的数量．
29. 解：(1)设商品的单价是x 元/件，根据题意得： eq \f(2400,x) ＝ eq \f(3000,x) －10，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：这种商品的单价是60 元/件；
(2)48，50；
【解法提示】甲第二次购买的数量为2400÷(60－20)＝60件，第一次购买的数量为2400÷60＝40件，两次购买这种商品的平均单价为(2400＋2400)÷(60＋40)＝48元/件；乙第一次购买的数量为3000÷60＝50件，第二次购买的数量为50件，两次购买这种商品的平均单价为[3000＋(60－20)×50]÷(50＋50)＝50元/件．
(3)金额．
【解法提示】由(2)知，按相同金额购买的平均单价比按相同数量购买的平均单价低，类比到加油中，建议按相同金额加油更合算．
30. 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得 eq \f(200,x) ＝ eq \f(200,x＋0.6) ×4.
解得x＝0.2.
经检验，x＝0.2是原分式方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
31. C 32. x1＝ eq \f(1,2) ，x2＝1
33. 解：任选两个方程求解即可．
①x2＋2x－1＝0，
x2＋2x＝1，
(x＋1)2＝2，
∴x＋1＝± eq \r(2) ，
∴x＝－1± eq \r(2) ，
∴x1＝－1＋ eq \r(2) ，x2＝－1－ eq \r(2) .
②x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
∴x1＝0，x2＝3.
③x2－4x＝4，
(x－2)2＝8，
∴x－2＝±2 eq \r(2) ，
∴x＝2±2 eq \r(2) ，
∴x1＝2＋2 eq \r(2) ，x2＝2－2 eq \r(2) .
④x2－4＝0，
x2＝4，
∴x1＝2，x2＝－2.
34. B 【解析】将x＝－1代入x2＋x＋m＝0中，得0＋m＝0，解得m＝0，∴该一元二次方程为x2＋x＝0，解该方程得x1＝－1，x2＝0，∴该方程的另一个根为0.
35. 1 【解析】∵x＝1是一元二次方程mx2＋nx－1＝0的一个解，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.
36. A 【解析】Δ＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
37. C 【解析】根据题意得，Δ＝(－1)2－4×1×(－m)＝1＋4m≥0，解得m≥－ eq \f(1,4) .
38. 1
39. －1(答案不唯一) 【解析】设这个常数为m，∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴(－2)2－4m>0，解得m<1，∴m可为－1.
40. 2 eq \r(7) 【解析】设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴直角三角形斜边的长是 eq \r(x eq \\al(2,1) ＋x eq \\al(2,2) ) ，∵x eq \\al(2,1) ＋x eq \\al(2,2) ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝62－2×4＝28，∴ eq \r(x eq \\al(2,1) ＋x eq \\al(2,2) ) ＝ eq \r(28) ＝2 eq \r(7) .
41. 解：(1)∵一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，
∴b2－4ac＝32－4(k－2)＝－4k＋17≥0，
∴k≤ eq \f(17,4) ；
(2)由题意可得x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2，
∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝k－2＋(－3)＋1＝k－4.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，
∴k－4＝－1，
∴k＝3.
42. C 【解析】∵第一个月销售额为8万元，月平均增长率为x，∴第二个月销售额为8(1＋x)万元，第三个月销售额为8(1＋x)(1＋x)万元，即8(1＋x)2＝11.52.
43. 解：(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x－100)吨．
由题意得x＋(2x－100)＝800，
解得x＝300，
∴2x－100＝500.
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)由题意得500(1＋m%)×1000(1＋ eq \f(m,2) %)＝660000，
整理得m2＋300m－6400＝0，
解得m1＝20，m2＝－320(不合题意，舍去)，
∴m的值为20；
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
1200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1200(1＋y)·a，
∴1200(1＋y)2＝1500.
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
44. (1－2x)(7－2x)＝21
45. 解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，
由题意得(38－x－22)(160＋ eq \f(x,3) ×120)＝3640，
整理得x2－12x＋27＝0，
∴x＝3或x＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38－9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
1. (2023青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )
A. 若 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) ，则a＝b
B. 若ac＝bc，则a＝b
C. 若a2＝b2，则a＝b
D. 若－ eq \f(1,3) x＝6，则x＝－2
2. (2022安徽)设a，b，c为互不相等的实数，且b＝ eq \f(4,5) a＋ eq \f(1,5) c，则下列结论正确的是( )
A. a＞b＞c B. c＞b＞a
C. a－b＝4(b－c) D. a－c＝5(a－b)
命题点2 一次方程(组)及其解法
类型一 一次方程的解法及其解的应用
3. (2023百色)方程 3x＝2x＋7的解是 ( )
A. x＝4 B. x＝－4
C. x＝7 D. x＝－7
4. (2022重庆A卷)若关于x的方程 eq \f(4－x,2) ＋a＝4的解是x＝2，则a的值为________．
类型二 一次方程组的解法及其解的应用
5. (2023株洲)对于二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1，①,x＋2y＝7，②)) 将①式代入②式，消去y可以得到( )
A. x＋2x－1＝7 B. x＋2x－2＝7
C. x＋x－1＝7 D. x＋2x＋2＝7
6. (2023随州)已知二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4,2x＋y＝5)) ，则 x－y的值为______．
7. (2021绍兴)若关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,A＝0)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，)) 则多项式A可以是______(写出一个即可).
8. (2023山西)解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝3，①,x＋y＝6.②))
9. (2022扬州)已知方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7,x＝y－1)) 的解也是关于x、y的方程ax＋y＝4的一个解，求a的值．
命题点3 一次方程(组)的实际应用
类型一 购买、销售问题
10. (2023杭州)某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则( )
A. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(10x,19y))) ＝320 B. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(10y,19x))) ＝320
C. |10x－19y|＝320 D. |19x－10y|＝320
11. (2023泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
类型二 分配问题
12. (新趋势)·数学文化 (2023宿迁)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9（x－1）＝y)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9（x－1）＝y)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9x－1＝y)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9x－1＝y))
类型三 工程问题
13. (2022桂林)为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造．现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成 800平方米的绿化改造面积．
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元．比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．
哪一种方案的施工费用最少？
类型四 行程问题
14. (2023张家界)中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
类型五 阶梯费用问题
15. (2022贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12 m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10 m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14 m3，缴纳水费51.4元．
(1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
(2)某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
类型六 比赛积分问题
16. (2023嘉兴)“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝7,3x＋y＝17)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝9,3x＋y＝17)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝7,x＋3y＝17)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝9,x＋3y＝17))
其他类型
17. (新趋势)·跨学科背景 (2023河北)“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是( )
第17题图
A. 依题意3×120＝x－120
B. 依题意20x＋3×120＝(20＋1)x＋120
C. 该象的重量是5040斤
D. 每块条形石的重量是260斤
命题点4 分式方程及其解法
类型一 分式方程的解法
18. (2023海南)分式方程 eq \f(2,x－1) －1＝0的解是( )
A. x＝1 B. x＝－2 C. x＝3 D. x＝－3
19. (新考法)·结合新定义考查解分式方程 (2023宁波)定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) .若(x＋1)⊗x＝ eq \f(2x＋1,x) ，则x的值为________．
20. (2023贺州)解方程： eq \f(3－x,x－4) ＝ eq \f(1,4－x) －2.
21. (2023青海)解方程： eq \f(x,x－2) －1＝ eq \f(4,x2－4x＋4) .
类型二 分式方程解的应用
22. (2023遂宁)若关于x的方程 eq \f(2,x) ＝ eq \f(m,2x＋1) 无解，则m的值为( )
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
23. (2023德阳)如果关于x的方程 eq \f(2x＋m,x－1) ＝1的解是正数，那么m的取值范围是( )
A. m＞－1 B. m＞－1且 m≠0
C. m＜－1 D. m＜－1且 m≠－2
24. (2022贺州)若关于x的分式方程 eq \f(m＋4,x－3) ＝ eq \f(3x,x－3) ＋2有增根，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
命题点5 分式方程的实际应用
类型一 工程问题
25. (2023宜宾)某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是( )
A. eq \f(540,x－2) － eq \f(540,x) ＝3 B. eq \f(540,x＋2) － eq \f(540,x) ＝3
C. eq \f(540,x) － eq \f(540,x＋2) ＝3 D. eq \f(540,x) － eq \f(540,x－2) ＝3
26. (2023重庆B卷)为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务．求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%.灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
类型二 行程问题
27. (2023常德)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时. 某天，他们以平常的速度行驶了 eq \f(1,2) 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
类型三 购买、销售问题
28. (2023丽水)某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程 eq \f(5000,2x) ＝ eq \f(4000,x) －30，则方程中x表示( )
A. 足球的单价 B. 篮球的单价
C. 足球的数量 D. 篮球的数量
29. (2022江西)甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
(1)求这种商品的单价；
(2)甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是________元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是________元/件；
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果， 建议按相同________加油更合算(填“金额”或“油量”).
其他类型
30. (2023山西)2023年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
命题点6 一元二次方程及其解法
类型一 解一元二次方程
31. (2023甘肃省卷)用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是( )
A. (x＋1)2＝3 B. (x＋1)2＝6
C. (x－1)2＝3 D. (x－1)2＝6
32. (2023云南)方程2x2＋1＝3x的解为________．
33. (新趋势)·条件开放性问题 (2023贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
类型二 一元二次方程解的应用
34. (2023益阳)若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
35. (2023连云港)若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是x＝1，则m＋n的值是__________．
命题点7 一元二次方程根的判别式
36. (2023河南)一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
37. (2023攀枝花)若关于x的方程x2－x－m＝0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m＜ eq \f(1,4) B. m≤ eq \f(1,4) C. m≥－ eq \f(1,4) D. m＞－ eq \f(1,4)
38. (2023江西)关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
39. (新趋势)·条件开放性问题 (2023扬州)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋________＝0有两个不相等的实数根．
命题点8 一元二次方程根与系数的关系[2023版课标调整为要求内容]
40. (2023成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是________.
41. (2023南充)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
命题点9 一元二次方程的实际应用
类型一 变化率问题
42. (2023新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为( )
A. 8(1＋2x)＝11.52 B. 2×8(1＋x)＝11.52
C. 8(1＋x)2＝11.52 D. 8(1＋x2)＝11.52
43. (2023宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为 1000元，5月份再生纸产量比上月增加 m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 eq \f(m,2) %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元. 求 m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
类型二 图形面积问题
44. (2023青海省卷)如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为________．
第44题图
类型三 每每问题
45. (2022菏泽)列方程(组)解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
参考答案与解析
1. A 【解析】B选项忽略了c≠0；C选项a与b还可能互为相反数；D选项应为x＝－18.
2. D 【解析】等式两边同时乘以5，得5b＝4a＋c，等式两边同时加上a－5b－c，得a－c＝5a－5b，即a－c＝5(a－b).
3. C 4. 3 5. B
6. 1 【解析】令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4①,2x＋y＝5 ②)) ，②－①得x－y＝1.
7. 解：①＋②，得3x＝9，
解得x＝3.
将x＝3代入②，得3＋y＝6，
解得y＝3.
∴原方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
8. x－y(答案不唯一) 【解析】∵关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2,A＝0)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1)) ，而1－1＝0，∴多项式A可以是x－y(答案不唯一).
9. 解：令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7①,x＝y－1②)) ，
把②代入①得：2(y－1)＋y＝7，
解得y＝3，代入①中，
解得x＝2，
将x＝2，y＝3代入方程ax＋y＝4，得2a＋3＝4，
解得a＝ eq \f(1,2) .
10. C 【解析】根据题意可得方程10x－19y＝320或19y－10x＝320，∴方程应为|10x－19y|＝320.
11. 解：设第一次购进的A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，
根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30x＋20y＝6000,1.2x×20＋1.2y×15＝5100)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝100,y＝150)) ，
答：第一次购进的A种茶每盒100元，B种茶每盒150元．
12. B
13. 解：(1)设乙工程队每天完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天完成(x＋200)平方米的绿化改造面积，根据题意得：(x＋200)＋x＝800，
解得x＝300，
∴x＋200＝500(平方米).
答：甲工程队每天完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天完成300平方米的绿化改造面积；
(2)①甲队单独完成的施工费用为12000÷500×600＝14400(元)，
②乙队单独完成的施工费用为12000÷300×400＝16000(元)，
③甲乙两队合作完成的施工费用为12000÷(500＋300)×(600＋400)＝15000(元)，
∵14400＜15000＜16000，
∴方案①甲队单独完成的施工费用最少．
14. 解：设高铁的平均速度为x km/h，则普通列车的平均速度为(x－200) km/h，
由题意得：x＋40＝3.5(x－200)，
解得x＝296.
答：高铁的平均速度为296 km/h.
15. 解：(1)设该市一级水费的单价为x元/m3，二级水费的单价为y元/m3，
依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10x＝32,12x＋（14－12）y＝51.4)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3.2,y＝6.5)) .
答：该市一级水费的单价为3.2元/m3，二级水费的单价为6.5元/m3；
(2)当水费为64.4元时，则用水量超过12 m3，
设用水量为a m3，
得12×3.2＋(a－12)×6.5＝64.4，
解得a＝16，
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16 m3.
16. A
17. B 【解析】∵第一次船里有20块条形石和3个搬运工，第二次船里有21块条形石和1个搬运工，且两次水位在同一位置，∴20x＋3×120＝(20＋1)x＋120，解得x＝240，∴该象的重量为20×240＋3×120＝5160斤．
18. C
19. － eq \f(1,2) 【解析】根据新运算可得 eq \f(1,x＋1) ＋ eq \f(1,x) ＝ eq \f(2x＋1,x) ，去分母，得x＋x＋1＝(2x＋1)(x＋1)，解得x1＝－ eq \f(1,2) ，x2＝0(舍去).
20. 解：方程两边同时乘以最简公分母(x－4)，得
3－x＝－1－2(x－4)，
去括号，得3－x＝－1－2x＋8，
解方程，得x＝4.
检验：当x＝4时，x－4＝0，
∴x＝4不是原方程的根，原方程无解．
21. 解：方程两边同时乘以x2－4x＋4＝(x－2)2，
得x(x－2)－(x2－4x＋4)＝4，
解得x＝4，
经检验，当x＝4时，x2－4x＋4＝(x－2)2＝4≠0，
∴x＝4是原分式方程的解．
22. D 【解析】方程两边同乘以x(2x＋1)，得2(2x＋1)＝mx，化简得，(4－m)x＋2＝0.①当4－m＝0时，解得m＝4，此时方程无解；②当4－m≠0时，由题意知，2x＋1＝0则无解，即x＝ eq \f(－2,4－m) ＝－ eq \f(1,2) ，解得m＝0，故m的值为0或4.
23. D 【解析】去分母得：2x＋m＝x－1，解得：x＝－m－1，由关于x的方程 eq \f(2x＋m,x－1) ＝1的解为正数，则x＞0，且x≠1，∴－m－1＞0，且－m－1≠1，解得m＜－1，且m≠－2.
24. D 【解析】方程整理得：m＋4＝3x＋2(x－3)，∴m＝5x－10，∵方程有增根，∴x－3＝0，∴x＝3，∴m＝5×3－10＝5.
25. C 【解析】设原计划每天完成x套桌凳，该家具厂要在开学前赶制540套桌凳，原计划需要的时间为 eq \f(540,x) 天；为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，可得实际需要加工的时间为 eq \f(540,x＋2) 天．根据“结果提前3天完成任务”可列方程 eq \f(540,x) － eq \f(540,x＋2) ＝3.
26. 解：(1)设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，
由题意可得，5(x－20)＋2x＝600，解得x＝100，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
(2)∵两施工队修建的长度恰好相同，
∴甲施工队和乙施工队各修筑了900米，且两队同时完成．
设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，
由题意可得， eq \f(360,y) ＋ eq \f(900－360,（1＋20%）y) ＝ eq \f(900,100) ，解得y＝90，
经检验，y＝90是原分式方程的解，且符合实际．
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
27. 解：设小强家到他奶奶家的距离是x千米，根据题意得，
4× eq \f(1,2) ＋ eq \f(\f(1,2)x,\f(x,4)－20) ＝5，
解得x＝240，
经检验，x＝240是原分式方程的解，且符合实际，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
28. D 【解析】所列方程为 eq \f(5000,2x) ＝ eq \f(4000,x) －30，根据等量关系篮球单价比足球单价贵30元，即足球单价＝篮球单价－30，则 eq \f(4000,x) 为篮球单价，∵购买篮球用了4000元，∴x为篮球的数量．
29. 解：(1)设商品的单价是x 元/件，根据题意得： eq \f(2400,x) ＝ eq \f(3000,x) －10，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：这种商品的单价是60 元/件；
(2)48，50；
【解法提示】甲第二次购买的数量为2400÷(60－20)＝60件，第一次购买的数量为2400÷60＝40件，两次购买这种商品的平均单价为(2400＋2400)÷(60＋40)＝48元/件；乙第一次购买的数量为3000÷60＝50件，第二次购买的数量为50件，两次购买这种商品的平均单价为[3000＋(60－20)×50]÷(50＋50)＝50元/件．
(3)金额．
【解法提示】由(2)知，按相同金额购买的平均单价比按相同数量购买的平均单价低，类比到加油中，建议按相同金额加油更合算．
30. 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得 eq \f(200,x) ＝ eq \f(200,x＋0.6) ×4.
解得x＝0.2.
经检验，x＝0.2是原分式方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
31. C 32. x1＝ eq \f(1,2) ，x2＝1
33. 解：任选两个方程求解即可．
①x2＋2x－1＝0，
x2＋2x＝1，
(x＋1)2＝2，
∴x＋1＝± eq \r(2) ，
∴x＝－1± eq \r(2) ，
∴x1＝－1＋ eq \r(2) ，x2＝－1－ eq \r(2) .
②x2－3x＝0，
x(x－3)＝0，
∴x1＝0，x2＝3.
③x2－4x＝4，
(x－2)2＝8，
∴x－2＝±2 eq \r(2) ，
∴x＝2±2 eq \r(2) ，
∴x1＝2＋2 eq \r(2) ，x2＝2－2 eq \r(2) .
④x2－4＝0，
x2＝4，
∴x1＝2，x2＝－2.
34. B 【解析】将x＝－1代入x2＋x＋m＝0中，得0＋m＝0，解得m＝0，∴该一元二次方程为x2＋x＝0，解该方程得x1＝－1，x2＝0，∴该方程的另一个根为0.
35. 1 【解析】∵x＝1是一元二次方程mx2＋nx－1＝0的一个解，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.
36. A 【解析】Δ＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
37. C 【解析】根据题意得，Δ＝(－1)2－4×1×(－m)＝1＋4m≥0，解得m≥－ eq \f(1,4) .
38. 1
39. －1(答案不唯一) 【解析】设这个常数为m，∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴(－2)2－4m>0，解得m<1，∴m可为－1.
40. 2 eq \r(7) 【解析】设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴直角三角形斜边的长是 eq \r(x eq \\al(2,1) ＋x eq \\al(2,2) ) ，∵x eq \\al(2,1) ＋x eq \\al(2,2) ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝62－2×4＝28，∴ eq \r(x eq \\al(2,1) ＋x eq \\al(2,2) ) ＝ eq \r(28) ＝2 eq \r(7) .
41. 解：(1)∵一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，
∴b2－4ac＝32－4(k－2)＝－4k＋17≥0，
∴k≤ eq \f(17,4) ；
(2)由题意可得x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2，
∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝k－2＋(－3)＋1＝k－4.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，
∴k－4＝－1，
∴k＝3.
42. C 【解析】∵第一个月销售额为8万元，月平均增长率为x，∴第二个月销售额为8(1＋x)万元，第三个月销售额为8(1＋x)(1＋x)万元，即8(1＋x)2＝11.52.
43. 解：(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x－100)吨．
由题意得x＋(2x－100)＝800，
解得x＝300，
∴2x－100＝500.
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)由题意得500(1＋m%)×1000(1＋ eq \f(m,2) %)＝660000，
整理得m2＋300m－6400＝0，
解得m1＝20，m2＝－320(不合题意，舍去)，
∴m的值为20；
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
1200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1200(1＋y)·a，
∴1200(1＋y)2＝1500.
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
44. (1－2x)(7－2x)＝21
45. 解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，
由题意得(38－x－22)(160＋ eq \f(x,3) ×120)＝3640，
整理得x2－12x＋27＝0，
∴x＝3或x＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38－9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
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