2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试卷

这是一份2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）与|（﹣n）2|（n为实数）的值相等的是（ ）
A．﹣n2B．n2C．（﹣n）3D．|n3|
2．（2分）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024B．0C．1D．2024
3．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC
4．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
5．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（ ）
A．24°B．28°C．48°D．66°
6．（2分）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）化简2m﹣（3m+8m）的结果是 ．
8．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 ．
9．（2分）如图，△AOB顶点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，1），将△AOB平移后，点A的对应点D的坐标是（1，2），则点B的对应点E的坐标是 ．
10．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为 °．
11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，当BC＝8，PB＝5时，则AB的长为 ．
12．（2分）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝ ．
13．（2分）已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 ．
14．（2分）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，代数式2m2﹣6m+2024的值是 ．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，则AB＝ ．
16．（2分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：[3×（﹣1）+22+|﹣8|]2．
18．（8分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．
19．（8分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②依据数据，谈谈你的结论；
③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
20．（8分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
21．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求CH的长．
22．（7分）已知a＞0，b＞0．试说明：a+b≥2．
23．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：AC•PC＝BC2；
（2）已知BC2＝3FP•DC，的值为 ；
（3）延长DC交AB的延长线于M，连接PM．当AB＝10时，随着点C的变化，PM的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
27．（10分）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）与|（﹣n）2|（n为实数）的值相等的是（ ）
A．﹣n2B．n2C．（﹣n）3D．|n3|
【解答】解：|（﹣n）2|＝|n2|＝n2，
故选：B．
2．（2分）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024B．0C．1D．2024
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣2，b＝2，
所以（a+b）2024＝02024＝0．
故选：B．
3．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
4．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【解答】解：过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝x cm，A'P＝y cm，圆的直径为d cm，
由题意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，
∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，
∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，
∴△APA'∽△ADC，
∴，即，
∴y＝，
∴x＝，d＝，
∴半径为：cm．
故选：A．
5．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（ ）
A．24°B．28°C．48°D．66°
【解答】解：∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝66°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝66°
∴∠BAD＝48°，
故选：C．
6．（2分）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）化简2m﹣（3m+8m）的结果是 ﹣9m ．
【解答】解：原式＝2m﹣3m﹣8m
＝﹣9m．
故答案为：﹣9m．
8．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 30 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
9．（2分）如图，△AOB顶点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，1），将△AOB平移后，点A的对应点D的坐标是（1，2），则点B的对应点E的坐标是 （3，2） ．
【解答】解：由题可知A（﹣1，1）平移后得到点D（1，2）；
∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度；
∴点B（1，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度；
∴点E（3，2）；
故答案为（3，2）．
10．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为 78 °．
【解答】解：连接OA，OB1，OC1，
∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，
∴∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，
∴∠AOC1＝144°，
∴∠AFC1＝AOC1＝72°，
∵AF＝EF，∠AFE＝120°，
∴∠GAF＝30°，
∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°，
故答案为：78．
11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，当BC＝8，PB＝5时，则AB的长为 ．
【解答】解：过点A作AF⊥PB，交PB的延长线于点F，如图，
则∠APB+∠PAF＝90°，
∵∠APB+2∠PAB＝90°，
∴∠PAF＝2∠PAB，
∴∠EAB＝∠FAB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∵∠PBC＝∠BAC，∠PBC+∠CBF＝180°，
∴∠CBF＝2∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABF，
在△ABE和△ABF中，
，
∴△ABE≌△ABF（ASA），
∴AE＝AF，BE＝BF，∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵AB＝AC，BC＝8，
∴BE＝BC＝4＝BF，
在Rt△PBE中，
∵PB＝5
∴由勾股定理，得PE＝＝＝3，PF＝PB+BF＝5+4＝9，
设AF＝x，则AP＝x+3，
在Rt△PAF中，
由勾股定理，得PA2＝AF2+PF2，
即（x+3）2＝x2+92，
解得x＝12，
在Rt△ABF中，
由勾股定理，得AB＝＝＝，
故答案为：．
12．（2分）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝ ﹣ ．
【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，
则a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
则原式＝﹣﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
13．（2分）已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 60°或108° ．
【解答】解：①当∠BAC是锐角时，如图所示：
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣（90°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴2∠BAC＝90°+∠BAC，
解得：∠BAC＝60°．
②当∠BAC是钝角时，如图，
∵∠BIC＝90°+∠BAC，
∵∠BOC＝2∠BA′C，
∴2∠BA′C＝90°+∠BAC，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴2（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，
解得：∠BAC＝108°．
故答案为：60°或108°．
14．（2分）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，代数式2m2﹣6m+2024的值是 6072+2n ．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，
∴m2﹣3m﹣2024＝n．
∴m2﹣3m＝2024+n．
∴2m2﹣6m+2024
＝2（m2﹣3m）+2024
＝2（2024+n）+2024
＝6072+2n．
故答案为：6072+2n．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，则AB＝ 6.5 ．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴tan∠BCD＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴tan∠BCD＝tanA＝＝，
∴＝＝，
∴BD＝2，AD＝4.5，
∴BC＝AD+BD＝6.5．
故答案为：6.5．
16．（2分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝ ．
【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴＝＝，
设BC＝4a，
由＝＝得，DM＝3a，
∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，
∴＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：[3×（﹣1）+22+|﹣8|]2．
【解答】解：原式＝（﹣3+4+8）2
＝92
＝81．
18．（8分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．
【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝2﹣时，
原式＝＝．
19．（8分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 30 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②依据数据，谈谈你的结论；
③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
【解答】解：（1）本次调查的好友人数为6÷20%＝30（人），
故答案为：30；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，
根据题意，得：a+6+12+5a＝30，
解得：a＝2，
即A类人数为10、D类人数为2，
补全图形如下：
②由图可知，C类人数最多；
故答案为：120；
③150×＝70（人），
答：估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为70人．
20．（8分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 不可能 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
【解答】解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
（2）树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为＝．
21．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求CH的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴＝，即＝，
∴GH＝1.2，
∴CH＝GC﹣GH＝4.8．
22．（7分）已知a＞0，b＞0．试说明：a+b≥2．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴a+b﹣2＝≥0，
∴a+b≥2．
23．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30•cs58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：AC•PC＝BC2；
（2）已知BC2＝3FP•DC，的值为 ；
（3）延长DC交AB的延长线于M，连接PM．当AB＝10时，随着点C的变化，PM的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠PBC，
∴∠BAC＝∠PBC，
又∵∠ACB＝∠BCP，
∴△ACB∽D△BCP，
∴，
∴AC•PC＝BC2．
（2）解：作PE⊥AB于E，如图，
由（1）可知AC•PC＝BC2，
∵BC2＝3FP•DC，
∴AC•PC＝3FP•DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠ADC＝∠BCP，
∵∠DAC＝∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴，
∴AC•PC＝BP•DC，
∴BP•DC＝3FP•DC，
∴BP＝3FP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
∵∠PEB＝∠AFB＝90°，∠ABF＝∠PBE，
∴△ABF∽△PBE，
＝＝．
故答案为：．
（3）解：如图，过O作MN⊥AB，
∵AD与圆交于点F，
∴0°＜∠DAB＜90°，
∵AC平分∠DAB，
∴0°＜∠BAC＜45°，
∴点C只能在上运动，且不能与B重合，
①当C在圆上从M到B的过程中，此时PM的长度逐渐减小，
∵F和C越来越靠近B点，
∴BF和AC交点P越来越靠近点B，且M也离B点越来越近，
∴PM逐渐减小；
②当C在圆上从B到N的过程中，此时PM的长度逐渐增大．
∵F和C离B点，越来越远，
∴BF和AC交点P同样离B点越来越远，且M也是离B的距离逐渐增大
∴PM逐渐增大；
综上，PM随着点C的变化，PM先减小再增大．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2﹣k
解得k＝
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2﹣k＝k2+k
把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k＝k2﹣k+8
∵y1＞y2
∴k2+k＞k2﹣k+8
解得k＞1
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得
y＝（x﹣k+1）2+（﹣）
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
y＝（x﹣k）2+（﹣）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k，
∴k2﹣k＝﹣，解得k1＝1，k2＝
都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小＝﹣k﹣1，
∴﹣k﹣1＝﹣
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k+3，
∴k2﹣k+3＝﹣
解得k1＝3，k2＝（舍去）
综上，k＝1或3．
27．（10分）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
【解答】问题1，
（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
∴∠BED＝∠A，
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠DEC＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝2∠ACB；
（2）解：如图1，
作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，
∴∠AGD＝∠DFC＝90°，
由折叠得，
AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝
∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，
∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，
∴2∠ADB+∠EDC＝180°，
∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，
∴2∠DCE+∠EDC＝180°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADG≌△DFC（AAS），
∴AG＝DF，DG＝CF＝，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
BG＝＝，
∴BD＝BG+DG＝；
问题2，
解：如图2，
连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，
∵AB＝BD，
∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∴CD∥BE，
∴CD⊥AD，
∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE，DF＝BE，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，
∴AD＝＝，
∴BF＝DE＝，
在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，
∴DF＝BE＝＝，
∴CF＝DF﹣CD＝，
在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，
∴BC＝＝．