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高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 万有引力定律的应用教学演示课件ppt
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 万有引力定律的应用教学演示课件ppt，共46页。
2.太阳质量的计算(1)思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力提供向心力。(2)关系式:G =m r。(3)结论:M= ,只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
(4)推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M,公 式是M= 。
1.人造地球卫星的发射及原理(1)牛顿的设想如图甲所示,当物体被抛出的速度足够大时,它将围绕地球旋转而不再落回地面,成为一颗人 造地球卫星。
(2)发射过程简介如图乙所示,发射人造地球卫星,一般使用三级火箭,三级依次点火使卫星进入地球轨道。2.动力学特点(1)运动模型一般情况下可认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动,其向心力由地球对它的万有引力提供。(2)卫星运动的规律
由G =m 可得v= 。
1.1845年,英国大学生亚当斯和法国天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料,利用万有引力 定律计算出天王星外“新”行星的轨道。2.1846年9月23日,德国的天文学家伽勒在勒维耶预测的区域发现了这颗行星——海王星。
1.发射人造地球卫星需要足够大的速度。 ( )2.卫星绕地球运行不需要力的作用。 ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
✕ 提示 卫星绕地球运行需要万有引力提供向心力。
3.绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s。 ( )
✕ 提示 绕地球做圆周运动的人造地球卫星的最大速度为7.9 km/s。
4.在地面上发射人造地球卫星的最小速度是7.9 km/s。 ( )5.要发射一颗月球人造卫星,在地面的发射速度应大于16.7 km/s。 ( )
✕ 提示 当发射速度达到16.7 km/s时,就会挣脱太阳引力的束缚,飞出太阳系。
6.海王星的发现确立了万有引力定律的地位。 ( )
情境探究 如图是太阳系的部分行星围绕太阳运动的示意图。
问题1 地球、火星等行星绕太阳的运动有什么特点?
提示 地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动,万有引力提供向心力。
问题2 如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度的 大小关系?
问题3 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他被称为是“可以称量地球质量的 人”。他“称量”的依据是什么?
提示 若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
问题4 若已知地球表面重力加速度g,地球半径R,如何求地球的质量和密度?
问题5 如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量吗?若要求 太阳的密度,还需要哪些量?
讲解分析1.基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有 引力提供,即F向=F万。2.常用关系(1)G =m =mrω2=mr =mωv=ma,万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg=G ,在天体表面上物体的重力近似等于它受到的引力,可得gR2=GM,该公式被称为“黄金代换式”。3.四个重要结论
速记口诀:“高轨低速周期长,低轨高速周期短”。
典例 我国2020年发射的火星探测器“天问一号”,实现了火星的环绕、着陆和巡视探测。 已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道,火星公转轨道半径约为地球公转轨道 半径的 倍【1】,火星的半径约为地球半径的 ,火星的质量约为地球质量的 ,以下说法正确的是 ( )A.火星的公转周期比地球的小B.火星的公转速度比地球的大C.探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小D.探测器在火星表面附近环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度大
信息提取 【1】火星和地球绕同一个中心天体(太阳)公转,知道轨道半径之比,就可以求出 周期、线速度之比。【2】知道火星与地球的质量之比和半径之比,根据黄金代换式就可以求出火星与地球表面 的重力加速度之比。
思路点拨 (1)比较围绕同一中心天体运动的不同环绕天体的周期大小,常采用开普勒第三 定律: =k。(2)根据万有引力提供向心力列式时,注意选取向心加速度的不同表述形式:G =ma=m =mω2r=m r=m(2πf)2r。
解析 火星的公转轨道半径大于地球公转轨道半径,根据开普勒第三定律可知,火星的公转 周期比地球的大,A错误;根据v= 可知,火星的公转速度比地球的小,B错误;根据g= ,则 = · = ×22= ,则探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小,C正确;根据v火= = = = v地,则探测器在火星表面附近环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度小,D错误。
讲解分析1.重力和万有引力间的大小关系重力为地球引力的分力。如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,则物体 受到地球的引力为F,方向指向地心O,由万有引力公式得F=G 。
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力,F2就是物体的重力mg,故一般情况下mg
典例 某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N。在火箭发射阶 段,发现当飞船随火箭以大小为a= 的加速度匀加速竖直上升【1】到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度),其身体下方的体重计的示数为1 220 N【2】。已知地球半径R=6 400 km, 地球表面的重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到 ≈1.03, ≈1.02)。问:(1)该位置处的重力加速度g'是地面处重力加速度g的多少倍?(2)该位置距地球表面的高度h为多大?
信息提取 【1】火箭上升过程中,加速度不变,宇航员所受合外力不变,而重力加速度减小, 即重力减小,支持力也减小。【2】体重计对宇航员的支持力大小等于体重计的示数。
思路点拨 (1)在飞船发射前和到达某高度处,对宇航员分别受力分析,据牛顿第二定律【3】列 方程,求g'与g的关系。(2)在地球表面和h高度处,利用重力和万有引力的关系【4】,列方程求h。
解析 (1)飞船发射前,对宇航员受力分析,有G=mg,得m=84 kg。在h高度处,对宇航员受力分析,有F-mg'=ma,其中a= ,F=1 220 N,解得 = (由【2】【3】得到)。(2)根据万有引力公式,在地面处,有G =mg;在h高度处,有G =mg'(由【4】得到)。联立以上两式解得h≈0.02R=128 km。
讲解分析1.地球同步卫星:位于地球赤道上方,相对于地面静止不动,它跟地球的自转角速度相同,广泛 应用于通信,又叫同步通信卫星。2.地球同步卫星的特点
讲解分析1.双星问题(1)双星模型宇宙中两颗靠得比较近的恒星构成双星,它们离其他星球都较远,因此其他星球对它们的万 有引力可以忽略不计。它们绕两者连线上某固定点做匀速圆周运动。如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星,它们组成一双星系统,它们间的距离 为L。
此双星系统的特点有:①两星的运行轨道为同心圆,圆心是它们之间连线上的某一点。②两星的向心力大小相等,由它们之间的万有引力提供。③两星的运动周期、角速度相同。④两星的运动半径之和等于它们之间的距离,即r1+r2=L。(2)双星问题的处理方法双星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力,即 =m1ω2r1=m2ω2r2。(3)双星问题的两个结论①m1r1=m2r2,可得 = ,可知双星系统中两颗恒星的运动半径之比等于其质量的反比。②由于ω= ,r1+r2=L,所以两恒星的质量之和m1+m2= 。
2.三星模型(1)如图甲所示,三个质量相等的星体,一个星体位于中心位置不动,另外两个星体围绕它做圆 周运动。这三个星体始终位于同一直线上,中心星体受力平衡。运转的星体由其余两个星体 的引力提供向心力: + =ma。 两星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。(2)如图乙所示,三个质量相等的星体分别位于一正三角形的顶点处,都绕三角形的中心做圆 周运动。每个星体运行所需的向心力都由其余两个星体对它的万有引力的合力来提供。
2× ×cs 30°=ma,其中L=2r cs 30°。三个星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。3.四星模型(1)如图甲所示,四个质量相等的星体分别位于正方形的四个顶点上,沿外接于正方形的圆轨 道做匀速圆周运动。
对四星中任一星体,由牛顿第二定律有2× ×cs 45°+ =ma,其中L= r。四个星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。(2)如图乙所示,三个质量相等的星体分别位于正三角形的三个顶点,另一颗星位于正三角形 的中心O点,三颗星以O点为圆心,沿正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
对三颗星中任一星体,由牛顿第二定律有2× ×cs 30°+ =ma,其中L=2r cs 30°。外围三颗星转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小均相等。
讲解分析1.人造卫星的轨道 卫星绕地球做匀速圆周运动时,由地球对它的万有引力提供向心力,因此卫星绕地球做 匀速圆周运动的圆轨道的圆心必与地心重合。这样的轨道有多种,其中比较特殊的有与赤道 共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道,也存在与赤道平面成某一角度的圆轨道,如 图所示。
2.卫星的变轨问题 卫星变轨时,先是线速度v发生变化,导致需要的向心力发生变化,进而导致轨道半径r发 生变化。(1)当卫星减速时,卫星所需的向心力F向=m 减小,万有引力大于卫星所需的向心力,卫星将做近心运动,向低轨道变轨。(2)当卫星加速时,卫星所需的向心力F向=m 增大,万有引力不足以提供卫星所需的向心力,卫星将做离心运动,向高轨道变轨。
导师点睛 以上两点是比较卫星在椭圆轨道和圆轨道切点处速度的依据。3.飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示,低轨道飞船通过合理加速,沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站,与其完 成对接。 (2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示,后面的飞船先减速降低运行高度,再加速提升运行高度,通过适当控制,使飞船追 上空间站时恰好具有与其相同的速度。
典例 质量为m的登月器与航天飞机连接在一起,随航天飞机绕月球做半径为3R(R为月球半 径)的圆周运动【1】。当它们运动到轨道的A点时,登月器被弹离,航天飞机速度变大,登月器速 度变小且仍沿原方向运动,随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的B点【2】,在月球表面逗留 一段时间后,经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接【3】,如图所示。 已知月球表面的重力加速度为g月。科学研究表明,天体在椭圆轨道上运行的周期的二次方与 轨道半长轴的三次方成正比。(1)登月器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少?(2)若登月器被弹离后,航天飞机的椭圆轨道的长轴为8R,为保证登月器能顺利返回A点实现对接,则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少?
信息提取 【1】登月器与航天飞机做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供。【2】椭圆轨道的半长轴为 =2R。【3】要完成对接,航天飞机和登月器需同时到达A点,此时航天飞机可能转过了一圈,也可能 转过了多圈。
思路点拨 (1)在月球表面,物体所受重力等于月球对它的万有引力【4】,列出关系式;登月器和 航天飞机一起做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力【5】,列出相关等式,求出圆周运动周 期。(2)对登月器和航天飞机分别应用开普勒第三定律【6】,求出航天飞机和登月器沿椭圆轨道运 动的周期;结合题意,求登月器在月球表面的逗留时间。
解析 (1)对于月球表面的物体,有mg月=G (由【4】得到)设登月器和航天飞机在半径为3R的圆轨道上运行时的周期为T,有G =m' ·3R(由【5】得到)联立以上两式得T=6π (2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1,航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2。对登月器,有 = (由【2】【6】得到)解得T1= T对航天飞机,有 = (由【6】得到)
解得T2= T为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点A与航天飞机对接,登月器在月球表面逗留的时间t应 满足:t=nT2-T1(其中n=1,2,3,…)(由【3】得到)故t= nT- T=4π(4n- ) (其中n=1,2,3,…)
讲解分析1.认识第一宇宙速度 第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动必须具备的速度,即近地卫星的 环绕速度。2.推导 对于近地人造卫星,轨道半径r近似等于地球半径R=6 400 km,卫星在轨道处所受的万有 引力近似等于卫星在地面上所受的重力,取g=9.8 m/s2,则
3.决定因素 由第一宇宙速度的计算式v= 可以看出,第一宇宙速度的值由中心天体决定,第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R,与卫星无关。
2.太阳质量的计算(1)思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力提供向心力。(2)关系式:G =m r。(3)结论:M= ,只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
(4)推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M,公 式是M= 。
1.人造地球卫星的发射及原理(1)牛顿的设想如图甲所示,当物体被抛出的速度足够大时,它将围绕地球旋转而不再落回地面,成为一颗人 造地球卫星。
(2)发射过程简介如图乙所示,发射人造地球卫星,一般使用三级火箭,三级依次点火使卫星进入地球轨道。2.动力学特点(1)运动模型一般情况下可认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动,其向心力由地球对它的万有引力提供。(2)卫星运动的规律
由G =m 可得v= 。
1.1845年,英国大学生亚当斯和法国天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料,利用万有引力 定律计算出天王星外“新”行星的轨道。2.1846年9月23日,德国的天文学家伽勒在勒维耶预测的区域发现了这颗行星——海王星。
1.发射人造地球卫星需要足够大的速度。 ( )2.卫星绕地球运行不需要力的作用。 ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
✕ 提示 卫星绕地球运行需要万有引力提供向心力。
3.绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s。 ( )
✕ 提示 绕地球做圆周运动的人造地球卫星的最大速度为7.9 km/s。
4.在地面上发射人造地球卫星的最小速度是7.9 km/s。 ( )5.要发射一颗月球人造卫星,在地面的发射速度应大于16.7 km/s。 ( )
✕ 提示 当发射速度达到16.7 km/s时,就会挣脱太阳引力的束缚,飞出太阳系。
6.海王星的发现确立了万有引力定律的地位。 ( )
情境探究 如图是太阳系的部分行星围绕太阳运动的示意图。
问题1 地球、火星等行星绕太阳的运动有什么特点?
提示 地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动,万有引力提供向心力。
问题2 如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度的 大小关系?
问题3 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他被称为是“可以称量地球质量的 人”。他“称量”的依据是什么?
提示 若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
问题4 若已知地球表面重力加速度g,地球半径R,如何求地球的质量和密度?
问题5 如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量吗?若要求 太阳的密度,还需要哪些量?
讲解分析1.基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有 引力提供,即F向=F万。2.常用关系(1)G =m =mrω2=mr =mωv=ma,万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg=G ,在天体表面上物体的重力近似等于它受到的引力,可得gR2=GM,该公式被称为“黄金代换式”。3.四个重要结论
速记口诀:“高轨低速周期长,低轨高速周期短”。
典例 我国2020年发射的火星探测器“天问一号”,实现了火星的环绕、着陆和巡视探测。 已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道,火星公转轨道半径约为地球公转轨道 半径的 倍【1】,火星的半径约为地球半径的 ,火星的质量约为地球质量的 ,以下说法正确的是 ( )A.火星的公转周期比地球的小B.火星的公转速度比地球的大C.探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小D.探测器在火星表面附近环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度大
信息提取 【1】火星和地球绕同一个中心天体(太阳)公转,知道轨道半径之比,就可以求出 周期、线速度之比。【2】知道火星与地球的质量之比和半径之比,根据黄金代换式就可以求出火星与地球表面 的重力加速度之比。
思路点拨 (1)比较围绕同一中心天体运动的不同环绕天体的周期大小,常采用开普勒第三 定律: =k。(2)根据万有引力提供向心力列式时,注意选取向心加速度的不同表述形式:G =ma=m =mω2r=m r=m(2πf)2r。
解析 火星的公转轨道半径大于地球公转轨道半径,根据开普勒第三定律可知,火星的公转 周期比地球的大,A错误;根据v= 可知,火星的公转速度比地球的小,B错误;根据g= ,则 = · = ×22= ,则探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小,C正确;根据v火= = = = v地,则探测器在火星表面附近环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度小,D错误。
讲解分析1.重力和万有引力间的大小关系重力为地球引力的分力。如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,则物体 受到地球的引力为F,方向指向地心O,由万有引力公式得F=G 。
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力,F2就是物体的重力mg,故一般情况下mg
典例 某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N。在火箭发射阶 段,发现当飞船随火箭以大小为a= 的加速度匀加速竖直上升【1】到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度),其身体下方的体重计的示数为1 220 N【2】。已知地球半径R=6 400 km, 地球表面的重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到 ≈1.03, ≈1.02)。问:(1)该位置处的重力加速度g'是地面处重力加速度g的多少倍?(2)该位置距地球表面的高度h为多大?
信息提取 【1】火箭上升过程中,加速度不变,宇航员所受合外力不变,而重力加速度减小, 即重力减小,支持力也减小。【2】体重计对宇航员的支持力大小等于体重计的示数。
思路点拨 (1)在飞船发射前和到达某高度处,对宇航员分别受力分析,据牛顿第二定律【3】列 方程,求g'与g的关系。(2)在地球表面和h高度处,利用重力和万有引力的关系【4】,列方程求h。
解析 (1)飞船发射前,对宇航员受力分析,有G=mg,得m=84 kg。在h高度处,对宇航员受力分析,有F-mg'=ma,其中a= ,F=1 220 N,解得 = (由【2】【3】得到)。(2)根据万有引力公式,在地面处,有G =mg;在h高度处,有G =mg'(由【4】得到)。联立以上两式解得h≈0.02R=128 km。
讲解分析1.地球同步卫星:位于地球赤道上方,相对于地面静止不动,它跟地球的自转角速度相同,广泛 应用于通信,又叫同步通信卫星。2.地球同步卫星的特点
讲解分析1.双星问题(1)双星模型宇宙中两颗靠得比较近的恒星构成双星,它们离其他星球都较远,因此其他星球对它们的万 有引力可以忽略不计。它们绕两者连线上某固定点做匀速圆周运动。如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星,它们组成一双星系统,它们间的距离 为L。
此双星系统的特点有:①两星的运行轨道为同心圆,圆心是它们之间连线上的某一点。②两星的向心力大小相等,由它们之间的万有引力提供。③两星的运动周期、角速度相同。④两星的运动半径之和等于它们之间的距离,即r1+r2=L。(2)双星问题的处理方法双星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力,即 =m1ω2r1=m2ω2r2。(3)双星问题的两个结论①m1r1=m2r2,可得 = ,可知双星系统中两颗恒星的运动半径之比等于其质量的反比。②由于ω= ,r1+r2=L,所以两恒星的质量之和m1+m2= 。
2.三星模型(1)如图甲所示,三个质量相等的星体,一个星体位于中心位置不动,另外两个星体围绕它做圆 周运动。这三个星体始终位于同一直线上,中心星体受力平衡。运转的星体由其余两个星体 的引力提供向心力: + =ma。 两星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。(2)如图乙所示,三个质量相等的星体分别位于一正三角形的顶点处,都绕三角形的中心做圆 周运动。每个星体运行所需的向心力都由其余两个星体对它的万有引力的合力来提供。
2× ×cs 30°=ma,其中L=2r cs 30°。三个星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。3.四星模型(1)如图甲所示,四个质量相等的星体分别位于正方形的四个顶点上,沿外接于正方形的圆轨 道做匀速圆周运动。
对四星中任一星体,由牛顿第二定律有2× ×cs 45°+ =ma,其中L= r。四个星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。(2)如图乙所示,三个质量相等的星体分别位于正三角形的三个顶点,另一颗星位于正三角形 的中心O点,三颗星以O点为圆心,沿正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
对三颗星中任一星体,由牛顿第二定律有2× ×cs 30°+ =ma,其中L=2r cs 30°。外围三颗星转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小均相等。
讲解分析1.人造卫星的轨道 卫星绕地球做匀速圆周运动时,由地球对它的万有引力提供向心力,因此卫星绕地球做 匀速圆周运动的圆轨道的圆心必与地心重合。这样的轨道有多种,其中比较特殊的有与赤道 共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道,也存在与赤道平面成某一角度的圆轨道,如 图所示。
2.卫星的变轨问题 卫星变轨时,先是线速度v发生变化,导致需要的向心力发生变化,进而导致轨道半径r发 生变化。(1)当卫星减速时,卫星所需的向心力F向=m 减小,万有引力大于卫星所需的向心力,卫星将做近心运动,向低轨道变轨。(2)当卫星加速时,卫星所需的向心力F向=m 增大,万有引力不足以提供卫星所需的向心力,卫星将做离心运动,向高轨道变轨。
导师点睛 以上两点是比较卫星在椭圆轨道和圆轨道切点处速度的依据。3.飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示,低轨道飞船通过合理加速,沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站,与其完 成对接。 (2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示,后面的飞船先减速降低运行高度,再加速提升运行高度,通过适当控制,使飞船追 上空间站时恰好具有与其相同的速度。
典例 质量为m的登月器与航天飞机连接在一起,随航天飞机绕月球做半径为3R(R为月球半 径)的圆周运动【1】。当它们运动到轨道的A点时,登月器被弹离,航天飞机速度变大,登月器速 度变小且仍沿原方向运动,随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的B点【2】,在月球表面逗留 一段时间后,经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接【3】,如图所示。 已知月球表面的重力加速度为g月。科学研究表明,天体在椭圆轨道上运行的周期的二次方与 轨道半长轴的三次方成正比。(1)登月器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少?(2)若登月器被弹离后,航天飞机的椭圆轨道的长轴为8R,为保证登月器能顺利返回A点实现对接,则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少?
信息提取 【1】登月器与航天飞机做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供。【2】椭圆轨道的半长轴为 =2R。【3】要完成对接,航天飞机和登月器需同时到达A点,此时航天飞机可能转过了一圈,也可能 转过了多圈。
思路点拨 (1)在月球表面,物体所受重力等于月球对它的万有引力【4】,列出关系式;登月器和 航天飞机一起做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力【5】,列出相关等式,求出圆周运动周 期。(2)对登月器和航天飞机分别应用开普勒第三定律【6】,求出航天飞机和登月器沿椭圆轨道运 动的周期;结合题意,求登月器在月球表面的逗留时间。
解析 (1)对于月球表面的物体,有mg月=G (由【4】得到)设登月器和航天飞机在半径为3R的圆轨道上运行时的周期为T,有G =m' ·3R(由【5】得到)联立以上两式得T=6π (2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1,航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2。对登月器,有 = (由【2】【6】得到)解得T1= T对航天飞机,有 = (由【6】得到)
解得T2= T为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点A与航天飞机对接,登月器在月球表面逗留的时间t应 满足:t=nT2-T1(其中n=1,2,3,…)(由【3】得到)故t= nT- T=4π(4n- ) (其中n=1,2,3,…)
讲解分析1.认识第一宇宙速度 第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动必须具备的速度,即近地卫星的 环绕速度。2.推导 对于近地人造卫星,轨道半径r近似等于地球半径R=6 400 km,卫星在轨道处所受的万有 引力近似等于卫星在地面上所受的重力,取g=9.8 m/s2,则
3.决定因素 由第一宇宙速度的计算式v= 可以看出,第一宇宙速度的值由中心天体决定,第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R,与卫星无关。
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