中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题一0二函数的实际应用举例(原卷版+解析)

这是一份中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题一0二函数的实际应用举例(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了几种常见的函数模型，某商品的进价为每件50元等内容，欢迎下载使用。


知识要点
1．几种常见的函数模型
2.函数的实际应用
解题的重要步骤：
第一步：读懂题意，弄清题目中的相关量及其数学含义；
第二步：设出未知量(如何设、带不带单位、取值范围是否有限制)，并建立相应的目标函数(最常见函数模型有二次函数与分段函数)；
第三步：列式(弄清“利润”“路程”“面积”等一些基本常识)并求解；
第四步：验证．把解出的数学结论放回到实际问题中去检验得到符合条件的结论．
典例解析
【例1】 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )
【变式训练1】
汽车由重庆驶往相距400 km的成都，如果汽车的平均速度是100 km/h，那么汽车距成都的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图像表示为( )
【例2】 甲、乙两人在一次活动中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．乙比甲先出发
B．甲比乙跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
【变式训练2】
某长途汽车公司对乘客携带行李作如下规定：一个乘客可免费携带30千克行李，如果超过30千克，那么超过部分每千克收行李费2元．设一个乘客的行李重为x千克(x>30)，则行李费y(元)关于行李重量x(千克)的函数关系式为( )
A．y＝2x B．y＝2x－30
C．y＝2(x－30) D．y＝2(30－x)
【例3】 某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20 时，按2元/计算，月用水量超过20 时，其中的20 m3还按2元/计算，超过部分按2.6元/计算，设某户家庭月用水量x，应交水费y元．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)小亮家第二季度用水情况如下：
小亮家这个季度共缴纳水费多少元？
【变式训练3】
国家规定个人稿费纳税办法如下：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税350元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )
A．2 500元 B．3 180元 C．3 300元 D．3 800元
【例4】 如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P点处有一水龙头(不考虑水龙头的粗细)，与两墙的距离分别为4米和a米(a≤12)．现在要用16米长的篱笆，借助原有墙角围成一个矩形的花圃ABCD，要求将水龙头围在花圃内．设AD＝x米．
(1)确定花圃ABCD的面积S与x之间的函数关系式(要求给出x的取值范围)；
(2)当a＝3时，求使花圃面积最大的x的值．
【变式训练4】
长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
高考链接
1．一个工厂生产A产品，每年需要固定投资80万元，此外每生产1件A产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件，当x≤20时，年销售总收入为(33x－)万元；当x>20时，年销售总收入为(260＋1.1x)万元，需另增广告宣传费用0.7x万元．
(1)写出该工厂生产并销售A产品所得年利润y(万元)与年产量x(件)的函数解析式；
(2)年产量为多少件时，所得年利润最大．
2．(四川省2015年对口升学考试试题)某商品的进价为每件50元．根据市场调查，如果售价每件50元时，每天可卖出400件；商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件．设每件商品的售价定为x元(x≥50，x∈N)．
(1)求每天销售量与自变量x的函数关系式；
(2)求每天销售利润与自变量x的函数关系式；
(3)每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？
3.(四川省2016年对口升学考试试题)A市居民生活用水原收费标准为4元/，为保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下：
第一阶梯：每户用水量不超过25 的部分(含25 )，按3元/计费；
第二阶梯：每户用水量超过25 且不超过35 m3的部分(含35 )，按4元/计费；
第三阶梯：每户用水量超过35 的部分，按6元/计费．
若当某户月用水量为30 时，该户当月应缴水费为3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假设某户月用水量为x 时，当月应缴水费为y元．
(1)求调整收费标准后y与自变量x的函数关系；
(2)当某户用水量超过多少时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？
同步精练
选择题
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14 400亩 B．172 800亩
C．17 280亩 D．20 736亩
2．某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的爱好，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是( )
A．y是w的函数 B．z是y的函数
C．w是y的函数 D．z是x的函数
3．用一根6米长的木条锯成几段围成一个日字形窗框，则窗户最大透光面积为( )
A．18平方米 B.平方米
C．12平方米 D．6平方米
4．一个铅球被抛出后，如果距离地面的高度h(m)和运行时间t(s)的函数解析式为h＝－10t2＋20t＋2，那么小球到达最高点时距离地面的高度是( )
A．2 m B．6 m
C．12 m D．10 m
5．周长为定值l的矩形，若矩形面积最大，则边长a等于( )
A. B.
C. D.
6．李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－10 000和L2＝300x－1 000(其中x为销售辆数)．若某月两连锁店共销售了100辆，则能获得的最大利润为( )
A．22 000 B．29 000
C．30 500 D．37 000
用长为24米的铁丝围成一个长方形，则使得长方形面积最大的长为________米．
8．直径R＝80 cm的圆柱形木料，要锯成截面为矩形的木材，为节约原料，则其长宽之比应为 ．
9．某市出租车起步价5公里以内为10元，每超过一公里加1元，则某人坐车x公里与坐车费用y元的关系式为 ．
10．某礼花的升空高度h(m)和飞行时间t(s)的关系式为h＝－＋2t＋3，若这种礼花在点火升空到最高处时引爆，则点火升空到引爆所需时间为______ s.
解答题
11．心理学家发现，学生的注意力集中程度与教师的讲授时间之间存在依赖关系：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．设x为教师讲授时间(单位：min)，f(x)为学生的注意力集中程度[f(x)的值越大，表示学生的注意力集中程度越高]，f(x)与x之间的关系可由以下函数表示：
f(x)＝
(1)讲授第5 min时和讲授第20 min时比较，何时学生的注意力更集中？
(2)请分析学生的注意力集中程度最高的时间段．
12．某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个；如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个．为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？
13.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式．
14．某木工师傅想从形状为等腰直角三角形的木板PQR中切去三个角，使剩余部分ABCD是一个矩形，已知PR＝4米，当矩形的边AB取多少米时，才能使其面积最大，最大面积是多少？
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝a＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与幂函数相关模型
f(x)＝a＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
分段函数模型
由两个或两个以上的表达式组成
月份
4月
5月
6月
用水量/m3
15
17
21
函数的实际应用举例
思维导图
知识要点
1．几种常见的函数模型
2.函数的实际应用
解题的重要步骤：
第一步：读懂题意，弄清题目中的相关量及其数学含义；
第二步：设出未知量(如何设、带不带单位、取值范围是否有限制)，并建立相应的目标函数(最常见函数模型有二次函数与分段函数)；
第三步：列式(弄清“利润”“路程”“面积”等一些基本常识)并求解；
第四步：验证．把解出的数学结论放回到实际问题中去检验得到符合条件的结论．
典例解析
【例1】 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( C )
【思路点拨】 抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
【变式训练1】
汽车由重庆驶往相距400 km的成都，如果汽车的平均速度是100 km/h，那么汽车距成都的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图像表示为( C )
【提示】 函数关系为s＝400－100t(0≤t≤4)，图像为C.
【例2】 甲、乙两人在一次活动中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( D )
A．乙比甲先出发
B．甲比乙跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
【思路点拨】 根据图形可知甲、乙两人同时出发，经过同样的路程，由于甲的速度快，∴甲先到达．
【变式训练2】
某长途汽车公司对乘客携带行李作如下规定：一个乘客可免费携带30千克行李，如果超过30千克，那么超过部分每千克收行李费2元．设一个乘客的行李重为x千克(x>30)，则行李费y(元)关于行李重量x(千克)的函数关系式为( C )
A．y＝2x B．y＝2x－30
C．y＝2(x－30) D．y＝2(30－x)
【提示】 超重(x－30)千克，超过部分每千克收行李费2元，所以共收2(x－30)元．
【例3】 某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20 时，按2元/计算，月用水量超过20 时，其中的20 m3还按2元/计算，超过部分按2.6元/计算，设某户家庭月用水量x，应交水费y元．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)小亮家第二季度用水情况如下：
小亮家这个季度共缴纳水费多少元？
【思路点拨】 分段函数是对口考试的热点问题，现实生活中很多问题都是用分段函数表示的，关键是弄清分段的条件及该如何分.
答案： 解：(1)y＝
(2)4月水费为15×2＝30元，5月水费为17×2＝34元，6月水费为20×2＋2.6×1＝42.6元，第二季度共缴纳水费为30＋34＋42.6＝106.6元．
答：小亮家第二季度共缴纳水费106.6元．
【变式训练3】
国家规定个人稿费纳税办法如下：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税350元，则这个人应得稿费(扣税前)为( C )
A．2 500元 B．3 180元 C．3 300元 D．3 800元
【提示】 y＝
【例4】 如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P点处有一水龙头(不考虑水龙头的粗细)，与两墙的距离分别为4米和a米(a≤12)．现在要用16米长的篱笆，借助原有墙角围成一个矩形的花圃ABCD，要求将水龙头围在花圃内．设AD＝x米．
(1)确定花圃ABCD的面积S与x之间的函数关系式(要求给出x的取值范围)；
(2)当a＝3时，求使花圃面积最大的x的值．
【思路点拨】 注意面积公式和实际条件．
答案： 解：(1)设AD＝x，CD＝(16－x)，S＝x(16－x)＝－＋16x，x∈(a，12)．
(2)S＝－＋64，当a＝3时，x∈(3，12)，此时x＝8，S有最大值，Smax＝64()．
【变式训练4】
长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( B )
A．2 B．3 C．4 D．6
【提示】 由题意，设隔墙的长度为x，则S＝x(12－2x)＝－2 ＋18，当x＝3，面积最大．
高考链接
1．一个工厂生产A产品，每年需要固定投资80万元，此外每生产1件A产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件，当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为(260＋1.1x)万元，需另增广告宣传费用0.7x万元．
(1)写出该工厂生产并销售A产品所得年利润y(万元)与年产量x(件)的函数解析式；
(2)年产量为多少件时，所得年利润最大．
解：(1)由题意得，
y＝
(2)当0≤x≤20时，y＝－(x－16)2＋176⇒x＝16，ymax＝176；
当x>20时，ymax＝－0.6×20＋180＝168.
综上，当x＝16时，ymax＝176万元，为最大值．
2．(四川省2015年对口升学考试试题)某商品的进价为每件50元．根据市场调查，如果售价每件50元时，每天可卖出400件；商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件．设每件商品的售价定为x元(x≥50，x∈N)．
(1)求每天销售量与自变量x的函数关系式；
(2)求每天销售利润与自变量x的函数关系式；
(3)每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？
解：(1)设销售量为y件，y＝400－(x－50)×10⇒y＝900－10x，x∈[50，90]．
(2)设利润为z元，z＝y(x－50)＝－10＋1 400x－45 000，x∈[50，90]．
(3)由配方法，得z＝－10＋4 000，当x＝70时，zmax＝4 000元．
3.(四川省2016年对口升学考试试题)A市居民生活用水原收费标准为4元/，为保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下：
第一阶梯：每户用水量不超过25 的部分(含25 )，按3元/计费；
第二阶梯：每户用水量超过25 且不超过35 m3的部分(含35 )，按4元/计费；
第三阶梯：每户用水量超过35 的部分，按6元/计费．
若当某户月用水量为30 时，该户当月应缴水费为3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假设某户月用水量为x时，当月应缴水费为y元．
(1)求调整收费标准后y与自变量x的函数关系；
(2)当某户用水量超过多少时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？
解：(1)由题意得y＝
(2)分析知，当x≤35时不满足题意，
当x>35时，有6x－95>4x⇒x>47.5，
故当x≥48 时，调整后收费标准超过原收费标准．
同步精练
选择题
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( C )
A．14 400亩 B．172 800亩
C．17 280亩 D．20 736亩
【提示】 10 000＝17 280.
2．某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的爱好，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是( C )
A．y是w的函数 B．z是y的函数
C．w是y的函数 D．z是x的函数
【提示】 函数的定义．
3．用一根6米长的木条锯成几段围成一个日字形窗框，则窗户最大透光面积为( B )
A．18平方米 B.平方米 C．12平方米 D．6平方米
4．一个铅球被抛出后，如果距离地面的高度h(m)和运行时间t(s)的函数解析式为h＝－10＋20t＋2，那么小球到达最高点时距离地面的高度是( C )
A．2 m B．6 m C．12 m D．10 m
【提示】 h＝－10(t－1)2＋12，当t＝1时，h＝12.
5．周长为定值l的矩形，若矩形面积最大，则边长a等于( C )
A. B. C. D.
6．李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5＋900x－10 000和L2＝300x－1 000(其中x为销售辆数)．若某月两连锁店共销售了100辆，则能获得的最大利润为( D )
A．22 000 B．29 000 C．30 500 D．37 000
【提示】 设其中一家销售x辆，则另一家销售(100－x)辆．总利润S＝－5＋900x－10 000＋300(100－x)－1 000＝－5＋3 700.∴当x＝60时，S取值最大值，Smax＝37 000.
用长为24米的铁丝围成一个长方形，则使得长方形面积最大的长为___6_____米．
【提示】 设长为x，宽为12－x，S＝x(12－x)＝－＋36.
8．直径R＝80 cm的圆柱形木料，要锯成截面为矩形的木材，为节约原料，则其长宽之比应为1∶1．
【提示】 当截面为正方形时，面积最大．
9．某市出租车起步价5公里以内为10元，每超过一公里加1元，则某人坐车x公里与坐车费用y元的关系式为．
10．某礼花的升空高度h(m)和飞行时间t(s)的关系式为h＝－＋2t＋3，若这种礼花在点火升空到最高处时引爆，则点火升空到引爆所需时间为___1___ s.
【提示】 h＝－＋4，当t＝1时，hmax＝4.
解答题
11．心理学家发现，学生的注意力集中程度与教师的讲授时间之间存在依赖关系：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．设x为教师讲授时间(单位：min)，f(x)为学生的注意力集中程度【f(x)的值越大，表示学生的注意力集中程度越高】，f(x)与x之间的关系可由以下函数表示：
f(x)＝
(1)讲授第5 min时和讲授第20 min时比较，何时学生的注意力更集中？
(2)请分析学生的注意力集中程度最高的时间段．
解：(1)∵5∈(0，10]，
∴f(5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5.
又20∈[16，40)，∴f(20)＝－3×20＋107＝47.
∵f(5)＝53.5>f(20)＝47，
∴讲授第5 min时学生的注意力更集中．
(2)当x∈(0，10]时，
f(x)＝－0.1＋2.6x＋43
＝－0.1＋59.9，
∴函数f(x)在(0，10]上是增函数，
∴当x＝10时，f(x)取最大值，f(10)＝59；
当x∈(10，16)时，f(x)＝59；
当x∈[16，40)时，f(x)＝－3x＋107是减函数，
∴f(x)≤f(16)＝－3×16＋107＝59.
综上所述，学生的注意力集中程度最高的时间段是10～16 min.
12．某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个；如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个．为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？
解：设售价为(50＋x)元时，最大利润为y元，由题意得，
y＝(50＋x)(50－x)－(50－x)×40
＝－＋40x＋500，
当x＝20时，y取得最大值，
∴此商品的最佳售价应为70元．
13.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式．
解：(1)设当一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元，则60－0.02(x－100)＝51⇒x＝550.
(2)当0当100当x≥550时，p＝51.
∴p＝f(x)＝
14．某木工师傅想从形状为等腰直角三角形的木板PQR中切去三个角，使剩余部分ABCD是一个矩形，已知PR＝4米，当矩形的边AB取多少米时，才能使其面积最大，最大面积是多少？
解：设AB＝x米，
∵△PQR是等腰直角三角形，
∴∠Q＝90°，∠P＝∠R＝45°，
又ABCD为矩形，∴∠BAP＝∠CDR＝90°，
故△BAP和△CDR均为等腰直角三角形．
∴AB＝PA＝CD＝DR＝x，
又PR＝4，∴AD＝4－2x，
SABCD＝x(4－2x)＝4x－2，
故当x＝1时，S取最大值，Smax＝2.
答：当矩形的边AB＝1时，其面积最大，最大面积为2.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝a＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与幂函数相关模型
f(x)＝a＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
分段函数模型
由两个或两个以上的表达式组成
月份
4月
5月
6月
用水量/m3
15
17
21