2023-2024学年河南省郑州七十三中八年级（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省郑州七十三中八年级（下）月考数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法错误的是( )
A. 若a+3>b+3，则a>bB. 若a1+c2>b1+c2，则a>b
C. 若a>b，则ac>bcD. 若a>b，则a+3>b+2
2.在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是( )
A. 底边上的高B. 腰上的中线C. 底边上的中线D. 顶角的角平分线
3.用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”时，应假设( )
A. a2≤b2B. a2≥b2C. a2>b2D. a24.如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是( )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 65°D. 100°
6.已知关于不等式2<(1−a)x的解集为x<21−a，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a>0C. a<0D. a<1
7.下列命题的逆命题是真命题的个数是( )
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；
③直角三角形的两个锐角互余；
④全等三角形的面积相等．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为( )
A. 14
B. 18
C. 20
D. 26
9.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=2 3，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD=1，则△ABD的面积为( )
A. 2B. 3C. 2 3D. 3
10.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个一元一次不等式______．
12.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE=DF.若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为______．
13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为______°.
14.若不等式组a−x≤02x−115.如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则 22BP+CP的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列不等式或不等式组
(1)2x−23<4；
(2)3x−517.(本小题8分)
先填空，后作图：

(1)到一个角的两边距离相等的点在它的__________________上；
(2)到线段两端点距离相等的点在它的__________________上；
(3)如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置(不写作法，保留作图痕迹)．
18.(本小题8分)
阅读下面的解题过程，再解题．
已知a>b，试比较−2024a+1与−2024b+1的大小．
解：因为a>b①，
所以−2024a>−2024b②，
所以−2024a+1>−2024b+1③．
问：
(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
(2)错误的原因______．
(3)请写出正确的解题过程．
19.(本小题9分)
如图，△ABC中，∠BAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
20.(本小题10分)
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AC.试判断∠BAE与∠BCE的数量关系．
探究展示：智慧小组发现，∠BAE与∠BCE互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，∴EF=EG，(依据1)
∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，(依据2)
……
反思交流：
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
(2)请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．
21.(本小题10分)
4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
以x(x>100单位：元)表示标价总额，y甲(单位：元)表示在甲书店应支付金额，y乙(单位：元)表示在乙书店应支付金额．
①就两家书店的优惠方式，分别求y甲，y乙关于x的函数表达式；
②“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
22.(本小题11分)
我们曾探究过“函数y=2x−5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式2x−5>0的解集是y=2x−5图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：kx+b>0(或kx+b<0)的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方(或x轴下方)部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
(1)如图1，观察图象，一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P(3,2)，则不等式kx+b<2的解集是______．
(2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，不等式2x−1>x+1的解是______．
【拓展延伸】：
(3)如图3，一次函数y1=−x+1和y2=12x−2的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①结合图象，直接写出关于x的不等式组12x−2>−x+112x−2<0的解集是______．
②若x轴上有一动点P(a,0)，是否存在点P，使得△ABP为直角三角形，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题11分)
如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边在PC右侧作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系______；
(2)如图2，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
(3)若动点P满足PAPB=23，求PCAC的值(请利用图3进行探求)．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.A
7.C
8.A
9.D
10.B
11.x−1>0(答案不唯一)
12.AF=CE
13.15或75
14.015.5 2
16.解：(1)2x−23<4，
去分母得：2x−2<12，
移项合并同类项得：2x<14，
系数化为1得：x<7；
(2)3x−5解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥−2，
∴不等式组的解集为：−2≤x<3．
17.(1)角平分线；
(2)垂直平分线；
(3)如图所示：
，
则点P为所求图形．
18.② 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变
19.解：(1)设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=PB，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP=x+z，∠C=∠CAQ=x+y，
∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=100°，
即x+y+z=80°，x+z+x+y=100°，
∴x=20°，
∴∠PAQ=20°；
(2)∵△APQ的周长为12，
∴AQ+PQ+AP=12，
∵AQ=CQ，AP=PB，
∴CQ+PQ+PB=12，
即CQ+BQ+2PQ=12，
BC+2PQ=12，
∵BC=8，
∴PQ=2．
20.解：(1)依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(2)证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EG(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠F=∠EGC=90°，
在Rt△AEF与Rt△CEG中
AE=CEEF=EG，
∴Rt△AEF≌Rt△CEG(HL)，
∴∠FAE=∠GCE，
又∵∠BAE+∠FAE=180°，
∴∠BAE+∠GCE=180°，
∴∠BAE与∠BCE互为补角．
21.解：①甲书店应支付金额为：y甲=0.8x；
乙书店应支付金额：y乙=100+0.6(x−100)=0.6x+40，
∴y甲=0.8x，y乙=0.6x+40；
②令0.8x=0.6x+40，解得x=200，
令0.8x<0.6x+40，解得x<200，
令0.8x>0.6x+40，解得x>200，
∴当x<200时，去甲书店省钱，
当x=200时，去甲乙两家书店购书支付金额相同，
当x>200时，去乙书店省钱．
22.解：(1)观察图象知，不等式kx+b<2的解集是x<3，
故答案为：x<3；
(2)观察函数图象知，两直线的交点坐标为：(2,3)，不等式2x−1>x+1的解是x<2，
故答案为：(2,3)，x<2；
(3)①观察函数图象知，符合条件的点在点A、C之间，
联立两个一次函数得：−x+1=12x−2，
解得：x=2，即点A(2,3)，
令0=12x−2，则x=4，即点C(4,0)；
故不等式组的解集为2故答案为：2②存在，理由：
由点A、B、P的坐标得，AB2=10，AP2=(a−2)2+9，BP2=(a−1)2，
当AB为斜边时，
则10=(a−2)2+9+(a−1)2，
解得：a=1(舍去)或2，
即点P(2,0)；
当AP或BP为斜边时，
则(a−2)2+9=(a−1)2+10或10+(a−2)2+9=(a−1)2，
解得：a=1(舍去)或11，
即点P(11,0)；
综上，P(2,0)或(11,0)．
23.解：(1)结论：PA2+PB2=PQ2．
理由：如图1，过点C作CD⊥AB于点D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=(AD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD⋅PD+PD2，
PB2=(BD−PD)2=(CD−PD)2=CD2−2CD⋅PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2)，
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2，
故答案为：PA2+PB2=PQ2；
(2)结论不变．
理由：如图2，过C作CD⊥AB于点D，
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=(AD+PD)2=(CD+PD)2=CD2−2CD⋅PD+PD2，PB2=(DP−BD)2=(PD−CD)2=CD2−2CD⋅PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2)，
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2；
(3)过点C作CD⊥AB于点D，
∵PAPB=23，
∴点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，
①如图3，当点P在线段AB上时，
∵PAPB=23，
∴PA=25AB=45CD，PD=15CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP= CD2+DP2= CD2+(15CD)2= 265CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= 2CD，
∴PCAC= 265CD 2CD= 135；
②如图4，当点P在线段BA的延长线上时，
∵PAPB=23，
∴PA=2AB=4CD，PD=5CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP= PD2+CD2= 26CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= 2CD，
∴PCAC= 13；
综上可知PCAC的值为 135或 13．