2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级（下）月考数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，比−2小的是( )
A. −52B. 0C. −32D. 1
2.今年春节档电影《热辣滚烫》被影迷评为“国产励志电影之光”.据了解本片上映首日票房约4.4亿，4.4亿用科学记数法表示为( )
A. 4.4×109B. 4.4×108C. 0.44×109D. 44.0×108
3.下列计算正确的是( )
A. 2b6÷b2=2b3B. (−ab)3⋅a2b=−a3b4
C. xy−3yx=−2xyD. (2x−3)2=4x2−9
4.国际数学奥林匹克竞赛旨在激发全球青少年数学才能，调查某少年组奥林匹克数学竞赛队全体队员的年龄，得到数据结果如表：
则该队队员年龄的中位数是( )
A. 15岁B. 14岁C. 13岁D. 7人
5.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且CD/​/AB，若要证明四边形ABCD为平行四边形，不能添加的条件是( )
A. AD/​/CBB. AB=CD
C. AC=BDD. ∠DAB+∠ABC=180°
6.一个口袋中有红球、黑球共10个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程200次，发现有160次摸到红球，则估计摸到黑球的概率是( )
A. 160200B. 45C. 15D. 43200
7.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组( )
A. y−5x=45y−8x=18B. y−5x=458x−y=18C. 5x−y=45y−8x=18D. 5x−y=458x−y=18
8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(−5,0)，下列说法正确的是( )
A. c>0
B. b2−4ac<0
C. a+b+c>0
D. 图象的对称轴是直线x=−3
二、非选择题（共118分）
9.分解因式：8a2b3−2b= ______．
10.在平面直角坐标系中，若点A(−3,y1)，B(−5,y2)都在反比例函数y=2mx(m≠0)上，当m>0时，则y1 ______y2(填“>”或“<”)．
11.如图，已知正方形ABCD的边长为3，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′= ______．
12.在平面直角坐标系中，将点(a,3)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线y=−2x上，则a的值为______．
13.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交BC于点D；②分别以B，D为圆心，以大于12BD长为半径作弧，两弧交于点P；③连接AP交BD于点E，若∠B=2∠C，BC=33，DC=17，则AE= ______．
14.计算：(1)(2023+π)0−3tan60°+(−13)−1+|2−3 3|；
(2)解不等式组：3x+3≥2(x+2)x3−115.2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：A宣传公益，B清洁街道，C摆放车辆，D关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图：
根据统计图表提供的信息，解容下列问题：
(1)本次活动共有______名学生报名参加，扇形统计图中m的值为______；
(2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中D对应的圆心角度数；
(3)活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率．
16.华为今年在国内推出了一款新的电脑，如图所示是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个16°俯角(即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角)时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；(结果精确到0.1cm)
(2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC.(结果精确到0.1cm)
(参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96， 2≈1.41， 3≈1.73)
17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为BC上一点，F为DC延长线上一点，且EF=FP，FE与AB的延长线于点G，连接AE，交CD于点P．
(1)求证：FG为⊙O的切线；
(2)连接AD，若AD/​/FG，CD=8，csF=45，求EG和BG的长．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+10与反比例函数y=kx的图象交于A(m,8)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)过A作直线y=x+10的垂线l，点C为l上且在第四象限内的点，当满足s△ABC=2s△AOB时，求此时点C的坐标；
(3)在(2)的基础上，点P为C右侧且在反比例函数上一点，连接PC，过点P作PN⊥PC交x轴于点N，连接NC，M为线段AB上一点，且BM=16AB，连接MC，是否存在一点P，使得△PNC与△AMC相似，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
19.若2a2−2a−3=0，则代数式(a−2a−1a)÷a2−1a3+a2的值为______．
20.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块至少有______个.
21.如图，点A、D是以BC为直径的半圆O的三等分点，半径OC=3，∠E=90°，则图中阴影部分的面积为______．
22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD与CB交于点D，且CDBD=23，过D作DE/​/AC交AB于点E，将△ADE沿DE折叠得到△FDE，DF交AB于点M，则S△ACDS△EFM= ______．
23.定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”.例如，112=121，那么11是领先数.若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是______；第36个领先数是______．
24.在九年级迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视.同学们在八上期末、八下开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的150人满分，到八下半期满分人数上升至216人．
(1)如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
(2)已知体测满分50分，该年级共700名学生，其中有10名同学因身体原因每次测试只能得到35分.年级计划通过一系列举措，力争在八下期末测试时满分人数比八下半期满分人数增加25%.那么除了满分同学和10名因身体原因同学之外，其余同学至少平均多少分，才能使全年级平均分不低于46分？(结果精确到0.1)
25.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2nx−n2+2n+1的顶点为C．
(1)请写出顶点C的坐标______(用含n的代数式表示)；
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，求n的值；
(3)设点P(1,0)，直线l过点P且与抛物线y=−x2+2nx−n2+2n+1相交，若两交点间的距离为定值，请求出直线l的解析式．
26.如图，正方形ABCD中，AB=a，E是边BC上一点，连接EA，将线段EA绕点E顺时针旋转90°得线段EF，连接AF，EF、AF分别交CD于P、Q，连接EQ．
(1)如图1，连接CF，若a=2，当E为BC中点时，求CF的长；
(2)求证：∠QEF=∠CEF；
(3)设EQ=b，请直接写出ba的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.C
6.C
7.B
8.D
9.2b(2a+1)(2a−1)
10.<
11. 2
12.−32
13.15
14.解：(1)原式=1−3× 3−3+3 3−2
=1−3 3−3+3 3−2
=−4；
(2)3x+3≥2(x+2)①x3−1由①得：x≥1，
由②得：x<6，
∴不等式组的解集为1≤x<6，整数解为1，2，3，4，5，
则不等式组的最大整数解为5．
15.(1)50，20；
(2)C活动人数为50−(10+18+12)=10(人)，
补全图形如下：
扇形统计图中D对应的圆心角度数为360°×1250=86.4°；
(3)列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的有2种结果，
所以恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率为212=16．
16.解：(1)由已知得AP=BP=12AB=15cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP=APAE，
∴AE=AP sin∠AEP=15sin16∘≈150.28≈53.6(cm)，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53.6cm；
(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F，

∵∠EAB+∠BAF=90°，∠EAB+∠AEP=90°，
∴∠BAF=∠AEP=16°，
在Rt△ABF中，
AF=AB⋅cs∠BAF=30×cs16°≈30×0.96≈28.8(cm)，
BF=AB⋅sin∠BAF=30×sin16°≈30×0.28≈8.4(cm)，
∵BF/​/CD，
∴∠CBF=∠BCD=30°，
∴CF=BF⋅tan∠CBF=8.4×tan30°=8.4× 33≈4.8，
∴AC=AF+CF=28.8+4.8≈33.6(cm)．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为33.6cm．
17.(1)证明：连接OE，则OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵EF=FP，
∴∠FEP=∠FPE=∠APH，
∵CD⊥AB于点H，
∴∠AHP=90°，
∴∠OEF=∠FEP+∠OEA=∠APH+∠OAE=90°，
∵OE是⊙O的半径，且FG⊥OE，
∴FG为⊙O的切线．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8，
∴∠AHD=∠FHG=∠OHD=90°，DH=CH=12CD=4，
∵AD//FG，
∴∠ADH=∠F，
∴DHAD=cs∠ADH=csF=45，
∴AD=54DH=54×4=5，
∴AH= AD2−DH2= 52−42=3，
连接OD，设OD=OA=OB=OE=r，则OH=r−3，
∵OH2+DH2=OD2，
∴(r−3)2+42=r2，
解得r=256，
∴OB=OE=256，
∵∠OEG=90°，
∴∠EOG=90°−∠G=∠F=∠ADH，
∴EGOE=tan∠EOG=tan∠ADH=AHDH=34，OEOG=cs∠EOG=csF=45，
∴EG=34OE=34×256=258，OG=54OE=54×256=12524，
∴BG=OG−OB=12524−256=2524，
∴EG的长是258，BG的长是2524．
18.解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：8=m+10，则m=−2，
则点A(−2,8)，则k=−2×8=−16，
则反比例函数的表达式为：y=−16x，
联立上式和y=x+10得：−16x=x+10，
解得：x=−2(舍去)或−8，
即点B(−8,2)；
(2)过点A作直线y=x+10的垂线l，
则直线l的表达式为：y=−(x+2)+8=−x+6，
设直线AB交x轴于点T(0,10)，

取点N使ON=OT，则交直线l于点C，则此时，S△ABC=2S△AOB，
则点N(0,−10)，
则直线CN的表达式为：y=x−10，
联立上式和直线l的表达式得：x−10=−x+6，
解得：x=8，
即点C(8,−2)；
(3)存在，理由：
由点AB的坐标知，AB=6 2，AB和x轴的夹角为45°，
当BM=16AB时，BM= 2，则AM=5 2，
由点A、C的坐标得，AC=10 2，
则tan∠ACM=AMAC=12，
故当△PNC与△AMC相似时，tan∠NCP=12或2，
过点P作PS⊥x轴于点S，过点C作CR//x轴交PS于点R，

∵∠CPR+∠PCR=90°，∠CPR+∠NPS=90°，
∴∠NPS=∠PCR，
∵∠CRP=∠PSN=90°，
∴△CRP∽△PSN，
即CRNP=RPSN=PCNP，
而tan∠NCP=NPPC=12或2，
∴CRNP=2或12，
设点P(t,−16t)，
则NP=16t，CR=t−8，
则t−816t=2或12，
解得：t=4+4 3或4+2 6(不合题意的值已舍去)，
则点P的坐标为：(4+4 3,2−2 3)或(4+2 6,8−4 6).
19.1.5
20.9
21.9 32−3π2
22.3512
23.39 439
24.解：(1)设每次测试满分人数增加的百分率为x，
根据题意得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：每次测试满分人数增加的百分率为20%；
(2)设其余同学的平均得分为y分，
根据题意得：50×216×(1+25%)+35×10+[700−216×(1+25%)−10]y≥46×700，
解得：y≥43.7，
∴y的最小值为43.7．
答：其余同学至少平均得分为43.7分．
25.解：(1)∵y=−x2+2nx−n2+2n+1=−(x−n)2+2n+1，
∴顶点C的坐标为(n,2n+1)，
故答案为：(n,2n+1)；
(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点，假设点A在点B的左侧，
∴当y=0时，方程−x2+2nx−n2+2n+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2n)2+4(−n2+2n+1)>0，
∴n>−12，xA=n− 2n+1，xB=n+ 2n+1，
∵点C为抛物线的顶点，在抛物线对称轴上，
∴AC=BC，
当△ABC为等边三角形时，AC=AB，则AC2=AB2，
即：(xA−xC)2+(yA−yC)2=(xA−xB)2+(yA−yB)2，
∴(n− 2n+1−n)2+[0−(2n+1)]2=[(n+ 2n+1)−(n− 2n+1)]2，
整理得：2n2−n−1=0，
解得：n1=1，n2=12(舍去)，
∴当△ABC为等边三角形时，n=1；
(3)设过P(1,0)的直线l为y=kx+b，将P(1,0)代入得，k+b=0，则b=−k，
即：直线l为y=kx−k，
令直线l与抛物线交点为M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=kx−ky=−x2+2nx−n2+2n+1，
整理得：x2+(k−2n)x+n2−2n−1−k=0，
则x1+x2=−(k−2n)=2n−k，x1⋅x2=n2−2n−1−k，
则MN= (x1−x2)2+(y1−y2)2
= (x1−x2)2+[(kx1−k)−(kx2−k)]2
= (x1−x2)2+k2(x1−x2)2
= 1+k2 (x1−x2)2
= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2 (2n−k)2−4(n2−2n−1−k)
= 1+k2 (−4k+8)n+k2+4k+4，
∵两交点间的距离为定值，即：MN= 1+k2 (−4k+8)n+k2+4k+4的值与n无关，
∴−4k+8=0，
∴k=2，
当k=2时，Δ=(2−2n)2−4(n2−2n−1−2)=16>0，符合题意，
∴直线l的解析式为y=2x−2．
26.(1)解：过点F作FM⊥BC的延长线于点M，则∠M=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCB=∠M=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
由旋转可得：AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE≌△EMF(AAS)，
∴AB=EM，BE=FM，
∵BC=BE+EC，EM=EC+CM，AB=BC，
∴BE=CM，
又∵BE=FM，
∴BE=CM=FM，
∵点E是BC的中点，BC=AB=a=2，
∴BE=CM=FM=1，
在Rt△CFM中，CF= CM2+FM2= 12+12= 2；
(2)证明：以点A为旋转中心，将△ADQ绕点A旋转90°，得到△ABN，则∠ABN=∠D=90°，AQ=AN，∠QAD=∠NAB，

∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠ABN=180°，
∴点N，B，E三点在同一直线上，
由(1)可知，AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠EAF=45°，
则∠BAE+∠QAD=90°−∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠NAB=∠NAE=45°，则∠QAE=∠NAE，
又∵AE=AE，
∴△QAE≌△NAE(SAS)，
∴∠AEQ=∠AEN，
∵∠AEQ+∠QEF=90°，∠AEN+∠FEC=90°，
∴∠QEF=∠CEF；
(3)解：由(2)可知∠NAE=45°，△QAE≌△NAE，则EN=EQ=b，
作△ANE的外接圆⊙O，连接OA，ON，OE，则OA=ON=OE，过点O作OH⊥NE，

由圆周角定理可知∠NOE=2∠NAE=90°，则NE= ON2+OE2= 2ON，
∴OA=ON=OE= 22b，OH=12NE=12b，
则OA+OH≥AB，当点O在AB上时取等号，
即： 22b+12b≥a，亦即( 2+1)b≥2a，
∴ba≥2 2+1=2 2−2，
∵E是边BC上一点，
当E在点B或点C时，△ANE为等腰直角三角形，此时a=b，
则当E从B运动到C时，b≤a，即：ba≤1，
综上，2 2−2≤ba≤1．
年龄/岁
11
12
13
14
15
人数
3
4
7
2
2
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)