高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.7立体几何中的向量方法(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.7立体几何中的向量方法(真题测试)(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，平面的法向量为， 已知，则P到平面的距离等于 （ ）
A．B．C．D．
2．（陕西·高考真题（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
5．(2023·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，E是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，且有AB1⊥平面C1DE，则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·河南省直辖县级单位·二模（理））如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为，为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．与平面所成的角可以是
D．平面与底面和侧面的交线长之和为
10.(2023·江苏·高三专题练习）已知四棱锥的各顶点都在球上，底面为矩形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．球的表面积是
C．与平面所成角的正弦值是
D．平面截球的截面圆面积是
11．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得直线与所成的角是
C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是
D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．
12．(2023·湖南·岳阳一中一模）如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D．的取值范围为
三、填空题
13．(2023·福建漳州·三模）已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．
14.(2023·四川·高考真题（理））如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .
15．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.
16．(2023·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.
（1）直线与平面所成角的正切值为___________；
（2）直线到平面的距离为___________；
（3）已知点在棱上，平面与平面所成二面角为60°则线段的长为___________.
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
18．（2023·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
19．(2023·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2023·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
21．(2023·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
22.（2023·天津高考真题）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
专题8.7 立体几何中的向量方法（真题测试）
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，平面的法向量为， 已知，则P到平面的距离等于 （ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据点面距的向量公式计算．
【详解】
所求距离为．
故选：C．
2．（陕西·高考真题（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cs〈，〉＝
3．(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.
【详解】
以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
设异面直线PN和BM所成角为，则.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故选：D.
5．(2023·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，E是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，且有AB1⊥平面C1DE，则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
取上靠近的四等分点为F，由题设可得，利用空间向量证得，由线面垂直的判定可证平面，进而确定线面角正弦值最小时E的位置，即可求得答案.
【详解】
取上靠近的四等分点为F，连接，此时平面，
证明如下：
因为直三棱柱中侧棱长为，，，是的中点，
所以面，面，则，
以为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建系；
所以，即，
此时，即，，
所以平面，由面，易知：△上边的高为，
综上，动点在线段上，且要使直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小，只需E、F重合，则，
故直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为.
故选：C
6．(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
解法一：可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出；
解法二：通过空间向量法，用坐标运算可以求出.
【详解】
解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，
∵E是BC的中点，
∴∥，,,;
在中，由余弦定理可知
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，
所以，，
则，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.
故选：D
7．(2023·河南省直辖县级单位·二模（理））如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据圆柱的特征，以为原点建立空间直角坐标系，根据题意可得，，，利用向量法即可求出答案.
【详解】
解：因为AB是圆柱底面圆的一条直径，
所以，
又OP是圆柱的一条母线，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
又因，所以，
所以，即，
设，则，
则，
则，
设平面PAB的法向量为，
则有，可取，
则，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
故选：A.
8．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
连接，相交于点，依题意可得平面，从而得到平面平面，则是与底面所成角，利用锐角三角函数求出，建立如图所示空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到点的坐标，利用空间向量法求出线面角的正弦值．
【详解】
解：如图所示，连接，相交于点，连接．
平行六面体中，且，
不妨令
，，都是等边三角形．
是等边三角形．
，，，平面
平面，平面，
平面平面，
是与底面所成角．
因为，，所以．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
其中的坐标计算如下，过 作交于点，
因为，，所以，
所以，，
因为
所以，所以，
显然平面的法向量为，
设与底面所成的角为，则
故选：A
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为，为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．与平面所成的角可以是
D．平面与底面和侧面的交线长之和为
答案：AB
【解析】
分析：
由、可证得平面，由线面垂直的性质可证得A正确；由线面平行的判定可知平面，知点到平面的距离为，由棱锥体积公式可知B正确；以为坐标原点可建立空间直角坐标系，假设线面角为，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解知C错误；将底面和侧面展开到同一平面，可得交线的轨迹，由平行关系可知，知D错误.
【详解】
对于A，四边形为正方形，；
平面，平面，，
又，平面，平面；
平面，，A正确；
对于B，，平面，平面，平面，
又，点到平面的距离即为，
，B正确；
对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设，则，
；
若与平面所成的角为，则，方程无解，
与平面所成的角不能为，C错误；
对于D，设平面与底面和侧面的交线分别为，则，，
将底面和侧面沿展开到同一平面，则三点共线且，
，D错误.
故选：AB.
10.(2023·江苏·高三专题练习）已知四棱锥的各顶点都在球上，底面为矩形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．球的表面积是
C．与平面所成角的正弦值是
D．平面截球的截面圆面积是
答案：AD
【解析】
分析：
结合线面垂直、外接球、线面角、球的截面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，
，，
，，平面，平面，
平面，，
，是的中点，则，，
，，平面，
平面，
平面，，
依题意，，，平面．
平面故A正确；
因为，，三线两两垂直，所以以，，为棱的长方体的外接球即为四棱锥的外接球，且球心为的中点，，
则球的半径为，表面积为，故B错误，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，则
由A选项知平面，则平面的法向量为，
设与平面所成角为，故，故C错误
由A知：平面．
因为，
所以，，，
则平面截球的截面圆半径为，
则截面圆的面积为，故D正确．
故选：AD
11．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得直线与所成的角是
C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是
D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．
答案：AD
【解析】
分析：
建立空间直角坐标系，使用向量法可判断ABD；利用的外心坐标设外接球球心坐标，根据可得.
【详解】
易知AB、BC、两两垂直，如图建立空间直角坐标系
则
所以，，，
记
因为，所以，A正确；
因为
记直线与所成的角为，则，
因为，所以，故B错误；
当点是线段的中点时，点P坐标为
易知的外心坐标为，故设三棱锥外接球的球心为，
则，即，解得，
所以三棱锥外接球的半径，表面积，C错误；
当点是线段的中点时，，
易知为平面的一个法向量，记直线与平面所成角为，
则，
因为，所以，
所以，D正确.
故选：AD
12．(2023·湖南·岳阳一中一模）如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D．的取值范围为
答案：ABD
【解析】
分析：
连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；
对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；
对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；
对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.
【详解】
连结OB.
在三棱锥中，，，.
所以,,且,.
所以，所以.
又因为，所以面ABC.
可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以,,,.
对于A：在三棱锥中，，，，
所以底面三角形为直角三角形，其面积为；
为边长为2的等边三角形，所以面积为；
和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；
所以三棱锥的表面积为.故A正确；
对于B：为棱的中点，所以,所以,.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；
对于C：点是棱上一动点，不妨设，（） .
所以.
设为面PAM的一个法向量，则，
不妨设y=1，则
.因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得：取，则
显然，面PAC的一个法向量为.
设二面角的平面角为，所以，
所以.
故C错误；
对于D:
如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.
当M与B重合时，；
当M与C重合时，最大；
连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.
此时，，所以.
由余弦定理得：
.
所以的取值范围为.
故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·福建漳州·三模）已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．
答案：
【解析】
分析：
作出正方体，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，计算即可.
【详解】
如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，
所以有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量，则由
，令，得，
设直线BM与平面所成角为，则
，
故答案为：.
14.(2023·四川·高考真题（理））如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .
答案：
【解析】
【详解】
建立坐标系如图所示.设，则.设，则，
由于异面直线所成角的范围为，
所以.，
令，则，当时取等号.
所以，当时，取得最大值.
15．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.
答案：##
【解析】
分析：
建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再由向量的夹角公式代入求解余弦值，从而可得正弦值.
【详解】
设，则平面平面，
由重心的性质可得，
因为底面，，设，
，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
，
设平面，的法向量为，
则，
，
所以，由图可知，
二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为，
正弦值为.
故答案为：
16．(2023·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.
（1）直线与平面所成角的正切值为___________；
（2）直线到平面的距离为___________；
（3）已知点在棱上，平面与平面所成二面角为60°则线段的长为___________.
答案：
【解析】
分析：
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，二面角的余弦值以及点到平面的距离；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，．
，，，， ．
设平面的法向量为，则，即
令，则．
所以．
设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，即，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值．
因为，平面平面，所以平面，所以到平面的距离，即点到平面的距离，所以，故直线到平面的距离为；
假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，设，．
则，设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
又平面的法向量为．
所以，
解得，
故在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，点的坐标为，即．
故答案为：；；；
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
答案：(1)证明见解析；
(2).
【解析】
分析：
（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
(1)
证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
(2)
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
18．（2023·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
答案：（1）证明见解析；（2）．
【解析】
分析：
(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.
【详解】
(1)如图所示，取的中点，连结，
由于为正方体，为中点，故，
从而四点共面，即平面CDE即平面，
据此可得：直线交平面于点，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，
即点为中点.
(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
19．(2023·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
答案：(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
分析：
（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．
(1)
过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
(2)
因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
20．（2023·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】
分析：
（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.
（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
21．(2023·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
(1)
证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
(2)
解：过点作，如图建立平面直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.
22.（2023·天津高考真题）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.