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2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）-第11章 三角形全章复习与测试（原卷版+解析版）
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这是一份2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）-第11章 三角形全章复习与测试（原卷版+解析版），文件包含第11章三角形全章复习与测试原卷版docx、第11章三角形全章复习与测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
知识点一、三角形的有关概念和性质
三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边。
推论：三角形任意两边的之差小于第三边。
解题策略：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
三角形的分类：
按“角”分类：
按“边”分类：
三角形的重要线段：
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
三角形的内角和与外角和：
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
知识点二、多边形及其相关概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
解题策略：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
知识点三、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
知识四、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
一．三角形（共3小题）
1．（2023秋•蜀山区期末）的三角之比是，则是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【分析】设，则，，再根据三角形内角和定理求出的值，进而可得出结论．
【解答】解：在中，若，
设，则，，
，
解得，
，
此三角形是直角三角形．
故选：．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
2．（2023秋•临沭县期末）如图，在中，，，则为
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能
【分析】先求得，再由得到，从而可得，最后可得结论．
【解答】解：在中，，
，
，
，
，
即为直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的两个锐角互余．
3．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，．动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是
A．直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形
B．等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形
C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
D．等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
【分析】根据三角形的特征解答即可．
【解答】解：在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）
4．（2023秋•江门期末）如图，四个图形中，线段是的高的图是
A．B．
C．D．
【分析】根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高．
【解答】解：由图可得，线段是的高的图是选项．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
5．（2023秋•桂平市期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个
A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形
C．直角三角形D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：．
【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
6．（2023秋•海珠区期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为
A．B．C．D．
【分析】根据是的中线可知，再由，的周长比的周长大即可得出结论．
【解答】解：是的中线，，
，
的周长，的周长，
的周长比的周长大，
，即，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．
7．（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的
A．角平分线B．中线C．高线D．以上都不是
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
他所作的线段应该是的中线，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
8．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 1 ．
【分析】易得，为面积的一半，同理可得的面积等于面积的一半，那么阴影部分的面积等于的面积的一半．
【解答】解：为中点，根据同底等高的三角形面积相等，
，
同理，
，
为中点，
．
故答案为1．
【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
三．三角形的稳定性（共2小题）
9．（2023秋•青铜峡市期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的
A．全等形B．稳定性C．灵活性D．对称性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
10．（2023秋•潮南区期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是
A．两点之间线段最短B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：工人盖房时常用木条固定矩形门框，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
四．三角形的重心（共2小题）
11．（2023秋•邯郸期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是
A．点B．点C．点D．点
【分析】取的中点，取的中点，连接，，然后根据图形可知与的交点为，即可得到点为的重心．
【解答】解：取的中点，取的中点，连接，，如图所示，
则与的交点为，
故点是的重心，
故选：．
【点评】本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．
12．（2023秋•海淀区校级期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点、、、、、、在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 点 ．
【分析】由三角形中线、重心的定义，即可得到答案．
【解答】解：由勾股定理得：，
是的中线，
，
是的中线，
表示三条中线的交点是点．
故答案为：点．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，关键是掌握三角形中线，重心的定义．
五．三角形三边关系（共4小题）
13．（2024春•郸城县期末）现有两根木条，它们的长分别是和，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为 ，则
A．B．C．D．
【分析】已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：，即．
故选：．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
14．（2023秋•双辽市期末）若一个三角形的三边长分别为2、6、，则的值可以是
A．3B．4C．7D．8
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出的取值范围．
【解答】解：三角形的三边长分别为2，6，，
，即，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
15．（2024•盐都区三模）下列各组线段中，能构成三角形的是
A．2，5，8B．3，3，6C．3，4，5D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
、，不能构成三角形，此项不符题意；
、，不能构成三角形，此项不符题意；
、，能构成三角形，此项符合题意；
、，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
16．（2023秋•公安县期末）如果三角形的两条边长分别为2和7，那么这个三角形的周长可以是
A．14B．18C．15D．20
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设这个三角形的第三边长是，周长是，得到，因此，即可得到答案．
【解答】解：设这个三角形的第三边长是，周长是，
，
，
，
，
这个三角形的周长可以是15．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
六．三角形内角和定理（共6小题）
17．（2023秋•林芝市期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是
A．B．C．D．
【分析】根据高线的定义可得，然后根据，求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【解答】解：为的高，
，，
，
是角平分线，
，
在中，．
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
18．（2023秋•恩平市期末）将两块大小相同的含角的直角三角板按如图所示放置，的直角边恰好平分的直角，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】利用角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【解答】解：平分，
．
在中，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
19．（2023秋•玉林期末）纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），若，则的度数为 ．
【分析】先根据，，求出的度数．再由可求出的度数，由三角形内角和定理及平角的性质即可求解．
【解答】解：中，，，
，
，
，
在中，，
，
故答案为．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是．
20．（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．
【解答】解：在中，，，
，
又是的平分线，
，
又是边上的高，
，
．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用．
21．（2023秋•楚雄州期末）如图，已知中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数．
【分析】由三角形的内角和定理，可求，又由是的平分线，可求，再由是边上的高，可知，可求，所以．
【解答】解：在中，
，
是的平分线，
．
又是边上的高，
，
在中，
．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．
22．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，，交于点，根据“三角形内角和是，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②．
【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．
（1）如图2，，，则的度数是多少呢？
易证，
请你完成后续的推理过程：
，分别是，的平分线
，
又，
度．
（2）在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是：
【类比应用】（3）如图3， 的平分线与 的平分线交于点．
已知：，，则 ．（用、表示）
【分析】【解决问题】
（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据（1）可得结论；
【类比应用】
（3）首先延长交于点，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案．
【解答】解：【解决问题】
（1）如图2，，，
，
、分别是、的平分线，
，．
，
，
又，，
度．
故答案为：，，；
（2）由（1）得：，
故答案为：；
【类比应用】
如图3，延长交于，
，
，
平分，平分
，，
，
，
、，
即．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．
七．三角形的外角性质（共4小题）
23．（2024•湖南模拟）如图，已知点是的边延长线上一点，且满足，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【解答】解：是的外角，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
24．（2023秋•宣汉县期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．
【解答】解：是中的平分线，是的外角的平分线，
又，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为．
25．（2024•城厢区校级模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则等于 ．
【分析】由题意可得，，，从而可求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求的度数．
【解答】解：如图：
由题意得：，，，
，
是的外角，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
26．（2023秋•贵池区期末）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点．
（1）若，．则 50 度， 度．
（2）与的数量关系为 ，并说明理由．
【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点．的外角平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与的数量关系为 ．
【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由角平分线定义得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；
【应用】由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】【探究】
解：（1），，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：50，115；
（2）．理由如下：
、分别平分、，
，，
，
，
，
；
故答案为：；
【应用】
解：．理由如下：
的外角平分线与的外角平分线相交于点，
，
，
中，，
又，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键．
八．直角三角形的性质（共3小题）
27．（2023秋•盘山县期末）如图，，，垂足为点，下列结论错误的是
A．B．和都是的余角
C．D．图中有3个直角三角形
【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等解答．
【解答】解：，，
，
，
，
和都是的余角，
直角有、、共3个，
与只有是等腰直角三角形时相等，
综上所述，错误的结论是．
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余和同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
28．（2023秋•安州区期末）若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角度数为 ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题．
29．（2023秋•青龙县期末）如图，已知于点，于点，，则的度数是 ．
【分析】先证明，可得，从而可得．
【解答】解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
九．多边形（共4小题）
30．（2023秋•南沙区期末）下列图形中具有稳定性的是
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【分析】根据三角形具有稳定性，其他多边形具有不稳定性可得结论．
【解答】解：三角形具有稳定性；
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上的多边形都不具有稳定性．
31．（2023秋•青县校级月考）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，
原多边形的边数为6或7或8，不可能为九边形，故符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
32．（2023秋•浏阳市期中）下列多边形中，对角线是5条的多边形是
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【分析】根据边形的对角线有条，把5代入即可得到结论．
【解答】解：由题意得，，
解得：，（负值舍去），
故选：．
【点评】本题考查了多边形，掌握边形的对角线有条是解题的关键．
33．（2023秋•德惠市校级期末）一个凸多边形的内角中，最多有 3 个锐角．
【分析】根据任意凸多边形的外角和是．可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．
【解答】解：一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．
【点评】注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
一十．多边形内角与外角（共5小题）
34．（2022秋•重庆期末）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据多边形的内角和定理：进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
解得，
故多边形是九边形．
故选：．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理．解题时注意：边形的内角和为：．
35．（2023秋•宾阳县期中）如图，是在五边形的一个外角，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据多边形内角与外角的关系，由，得．再根据多边形的内角和，得．
【解答】解：，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查多边形的外角与内角，熟练掌握多边形的内角和、多边形外角与内角的关系是解决本题的关键．
36．（2023秋•固始县期末）如图，将四边形去掉一个的角得到一个五边形，则 250 ．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据邻补角的性质计算即可．
【解答】解：，
在中，，
，
故答案为：250．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
37．（2024春•道县校级期中）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据内角和定理即可求得．
【解答】解：多边形的内角和公式为，
，
解得，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即，难度适中．
38．（2023秋•克州期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是，
依题意得，
，
．
这个多边形的边数是7．
【点评】任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•滨城区期中）已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【解答】解：三角形的两边长分别为3、7，
第三边的取值范围是则．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
2．（2024•东明县一模）一个多边形的内角和是，这个多边形是
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】利用边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为，由题意，得
，
解得：，模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解并会应用三角形三边间的关系．能够运用三角
形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，
证明问题.
2.掌握多边形的内角和公式与外角和定理,会用多边形的内角和公式与外角和定理进行简单的计算与说理
知识点一、三角形的有关概念和性质
三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边。
推论：三角形任意两边的之差小于第三边。
解题策略：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
三角形的分类：
按“角”分类：
按“边”分类：
三角形的重要线段：
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
三角形的内角和与外角和：
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
知识点二、多边形及其相关概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
解题策略：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
知识点三、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
知识四、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
一．三角形（共3小题）
1．（2023秋•蜀山区期末）的三角之比是，则是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【分析】设，则，，再根据三角形内角和定理求出的值，进而可得出结论．
【解答】解：在中，若，
设，则，，
，
解得，
，
此三角形是直角三角形．
故选：．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
2．（2023秋•临沭县期末）如图，在中，，，则为
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能
【分析】先求得，再由得到，从而可得，最后可得结论．
【解答】解：在中，，
，
，
，
，
即为直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的两个锐角互余．
3．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，．动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是
A．直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形
B．等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形
C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
D．等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
【分析】根据三角形的特征解答即可．
【解答】解：在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）
4．（2023秋•江门期末）如图，四个图形中，线段是的高的图是
A．B．
C．D．
【分析】根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高．
【解答】解：由图可得，线段是的高的图是选项．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
5．（2023秋•桂平市期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个
A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形
C．直角三角形D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：．
【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
6．（2023秋•海珠区期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为
A．B．C．D．
【分析】根据是的中线可知，再由，的周长比的周长大即可得出结论．
【解答】解：是的中线，，
，
的周长，的周长，
的周长比的周长大，
，即，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．
7．（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的
A．角平分线B．中线C．高线D．以上都不是
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
他所作的线段应该是的中线，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
8．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 1 ．
【分析】易得，为面积的一半，同理可得的面积等于面积的一半，那么阴影部分的面积等于的面积的一半．
【解答】解：为中点，根据同底等高的三角形面积相等，
，
同理，
，
为中点，
．
故答案为1．
【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
三．三角形的稳定性（共2小题）
9．（2023秋•青铜峡市期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的
A．全等形B．稳定性C．灵活性D．对称性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
10．（2023秋•潮南区期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是
A．两点之间线段最短B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：工人盖房时常用木条固定矩形门框，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
四．三角形的重心（共2小题）
11．（2023秋•邯郸期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是
A．点B．点C．点D．点
【分析】取的中点，取的中点，连接，，然后根据图形可知与的交点为，即可得到点为的重心．
【解答】解：取的中点，取的中点，连接，，如图所示，
则与的交点为，
故点是的重心，
故选：．
【点评】本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．
12．（2023秋•海淀区校级期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点、、、、、、在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 点 ．
【分析】由三角形中线、重心的定义，即可得到答案．
【解答】解：由勾股定理得：，
是的中线，
，
是的中线，
表示三条中线的交点是点．
故答案为：点．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，关键是掌握三角形中线，重心的定义．
五．三角形三边关系（共4小题）
13．（2024春•郸城县期末）现有两根木条，它们的长分别是和，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为 ，则
A．B．C．D．
【分析】已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：，即．
故选：．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
14．（2023秋•双辽市期末）若一个三角形的三边长分别为2、6、，则的值可以是
A．3B．4C．7D．8
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出的取值范围．
【解答】解：三角形的三边长分别为2，6，，
，即，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
15．（2024•盐都区三模）下列各组线段中，能构成三角形的是
A．2，5，8B．3，3，6C．3，4，5D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
、，不能构成三角形，此项不符题意；
、，不能构成三角形，此项不符题意；
、，能构成三角形，此项符合题意；
、，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
16．（2023秋•公安县期末）如果三角形的两条边长分别为2和7，那么这个三角形的周长可以是
A．14B．18C．15D．20
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设这个三角形的第三边长是，周长是，得到，因此，即可得到答案．
【解答】解：设这个三角形的第三边长是，周长是，
，
，
，
，
这个三角形的周长可以是15．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
六．三角形内角和定理（共6小题）
17．（2023秋•林芝市期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是
A．B．C．D．
【分析】根据高线的定义可得，然后根据，求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【解答】解：为的高，
，，
，
是角平分线，
，
在中，．
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
18．（2023秋•恩平市期末）将两块大小相同的含角的直角三角板按如图所示放置，的直角边恰好平分的直角，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】利用角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【解答】解：平分，
．
在中，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
19．（2023秋•玉林期末）纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），若，则的度数为 ．
【分析】先根据，，求出的度数．再由可求出的度数，由三角形内角和定理及平角的性质即可求解．
【解答】解：中，，，
，
，
，
在中，，
，
故答案为．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是．
20．（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．
【解答】解：在中，，，
，
又是的平分线，
，
又是边上的高，
，
．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用．
21．（2023秋•楚雄州期末）如图，已知中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数．
【分析】由三角形的内角和定理，可求，又由是的平分线，可求，再由是边上的高，可知，可求，所以．
【解答】解：在中，
，
是的平分线，
．
又是边上的高，
，
在中，
．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．
22．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，，交于点，根据“三角形内角和是，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②．
【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．
（1）如图2，，，则的度数是多少呢？
易证，
请你完成后续的推理过程：
，分别是，的平分线
，
又，
度．
（2）在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是：
【类比应用】（3）如图3， 的平分线与 的平分线交于点．
已知：，，则 ．（用、表示）
【分析】【解决问题】
（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据（1）可得结论；
【类比应用】
（3）首先延长交于点，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案．
【解答】解：【解决问题】
（1）如图2，，，
，
、分别是、的平分线，
，．
，
，
又，，
度．
故答案为：，，；
（2）由（1）得：，
故答案为：；
【类比应用】
如图3，延长交于，
，
，
平分，平分
，，
，
，
、，
即．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．
七．三角形的外角性质（共4小题）
23．（2024•湖南模拟）如图，已知点是的边延长线上一点，且满足，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【解答】解：是的外角，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
24．（2023秋•宣汉县期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．
【解答】解：是中的平分线，是的外角的平分线，
又，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为．
25．（2024•城厢区校级模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则等于 ．
【分析】由题意可得，，，从而可求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求的度数．
【解答】解：如图：
由题意得：，，，
，
是的外角，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
26．（2023秋•贵池区期末）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点．
（1）若，．则 50 度， 度．
（2）与的数量关系为 ，并说明理由．
【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点．的外角平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与的数量关系为 ．
【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由角平分线定义得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；
【应用】由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】【探究】
解：（1），，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：50，115；
（2）．理由如下：
、分别平分、，
，，
，
，
，
；
故答案为：；
【应用】
解：．理由如下：
的外角平分线与的外角平分线相交于点，
，
，
中，，
又，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键．
八．直角三角形的性质（共3小题）
27．（2023秋•盘山县期末）如图，，，垂足为点，下列结论错误的是
A．B．和都是的余角
C．D．图中有3个直角三角形
【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等解答．
【解答】解：，，
，
，
，
和都是的余角，
直角有、、共3个，
与只有是等腰直角三角形时相等，
综上所述，错误的结论是．
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余和同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
28．（2023秋•安州区期末）若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角度数为 ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题．
29．（2023秋•青龙县期末）如图，已知于点，于点，，则的度数是 ．
【分析】先证明，可得，从而可得．
【解答】解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
九．多边形（共4小题）
30．（2023秋•南沙区期末）下列图形中具有稳定性的是
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【分析】根据三角形具有稳定性，其他多边形具有不稳定性可得结论．
【解答】解：三角形具有稳定性；
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上的多边形都不具有稳定性．
31．（2023秋•青县校级月考）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，
原多边形的边数为6或7或8，不可能为九边形，故符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
32．（2023秋•浏阳市期中）下列多边形中，对角线是5条的多边形是
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【分析】根据边形的对角线有条，把5代入即可得到结论．
【解答】解：由题意得，，
解得：，（负值舍去），
故选：．
【点评】本题考查了多边形，掌握边形的对角线有条是解题的关键．
33．（2023秋•德惠市校级期末）一个凸多边形的内角中，最多有 3 个锐角．
【分析】根据任意凸多边形的外角和是．可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．
【解答】解：一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．
【点评】注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
一十．多边形内角与外角（共5小题）
34．（2022秋•重庆期末）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据多边形的内角和定理：进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
解得，
故多边形是九边形．
故选：．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理．解题时注意：边形的内角和为：．
35．（2023秋•宾阳县期中）如图，是在五边形的一个外角，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据多边形内角与外角的关系，由，得．再根据多边形的内角和，得．
【解答】解：，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查多边形的外角与内角，熟练掌握多边形的内角和、多边形外角与内角的关系是解决本题的关键．
36．（2023秋•固始县期末）如图，将四边形去掉一个的角得到一个五边形，则 250 ．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据邻补角的性质计算即可．
【解答】解：，
在中，，
，
故答案为：250．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
37．（2024春•道县校级期中）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据内角和定理即可求得．
【解答】解：多边形的内角和公式为，
，
解得，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即，难度适中．
38．（2023秋•克州期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是，
依题意得，
，
．
这个多边形的边数是7．
【点评】任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•滨城区期中）已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【解答】解：三角形的两边长分别为3、7，
第三边的取值范围是则．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
2．（2024•东明县一模）一个多边形的内角和是，这个多边形是
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】利用边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为，由题意，得
，
解得：，模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解并会应用三角形三边间的关系．能够运用三角
形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，
证明问题.
2.掌握多边形的内角和公式与外角和定理,会用多边形的内角和公式与外角和定理进行简单的计算与说理
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