第05讲 有理数减法（2个知识点+7个考点+易错分析）（原卷版+解析版）-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

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知识点1.有理数的减法法则（重点）
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
【例1】 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)．
【答案与解析】法一：
法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27
【变式1-1】计算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－3eq \f(1,2)－5eq \f(1,4).
解析：先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可．
解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；
(2)－3eq \f(1,2)－5eq \f(1,4)＝－3eq \f(1,2)＋(－5eq \f(1,4))＝－(3eq \f(1,2)＋5eq \f(1,4))＝－8eq \f(3,4).
【变式1-2】上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
A．5℃ B．6℃ C．7℃ D．8℃
解析：由题意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故选C.
【变式1-3】已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号．
解析：判断a，b差的符号，可能不好理解，不妨把它转化为加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法则进行判定．
解：因为b＜0，所以－b＞0.又因为a<0，a－b＝a＋(－b)，所以a与－b是异号两数相加，那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定，因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符号，而a＜0，因此a－b的符号为负号．
知识点2.有理数的加减混合运算（难点）
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【例2】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq \f(1,5)＋(－6eq \f(2,5))＋(－4)＋|－3|；
(2)－14eq \f(2,3)＋11eq \f(2,15)－(－12eq \f(2,3))－14＋(－11eq \f(2,15))；
(3)eq \f(2,3)－eq \f(1,8)－(－eq \f(1,3))＋(－eq \f(3,8))．
解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．
解：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq \f(1,5)＋(－6eq \f(2,5))＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；
(2)－14eq \f(2,3)＋11eq \f(2,15)－(－12eq \f(2,3))－14＋(－11eq \f(2,15))＝－14eq \f(2,3)＋11eq \f(2,15)＋12eq \f(2,3)－14－11eq \f(2,15)＝(－14eq \f(2,3)＋12eq \f(2,3))＋(11eq \f(2,15)－11eq \f(2,15))－14＝－2＋0－14＝－16；
(3)eq \f(2,3)－eq \f(1,8)－(－eq \f(1,3))＋(－eq \f(3,8))＝eq \f(2,3)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,3)－eq \f(3,8)＝(eq \f(2,3)＋eq \f(1,3))＋(－eq \f(1,8)－eq \f(3,8))＝1＋(－eq \f(1,2))＝eq \f(1,2).
【变式2-1】计算：+15−+14+−35−−634.
【答案】6.1
【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：+15−+14+−35−−634
=15−14−35+634
=15−35+6+34−14
=−25+6+12
=−0.4+6+0.5
=6.1．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减的运算法则是解题的关键．
【变式2-2】．计算下列各式：
(1)(−312)+(+713)−8 (2)315+(−0.5)+(−3.2)+512．
【答案】(1)−256 ，(2)5
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答；
（2）利用加法的结合律和交换律，即可解答．
【详解】（1）原式=(−3)+(+7)−8+(−12)+13=−4−16=−256；
（2）原式=3.2+(−3.2)+(−0.5)+5.5=5．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算．
【变式2-3】列式计算：
（1）−3减去−512与2.5的和所得差是多少？
（2）3，−5，−6的和比这三个数和的绝对值大多少？
【答案】（1）0；（2）-16
【分析】（1）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的减法运算法则进行计算即可得解；
（2）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的乘方的定义以及有理数的减法运算法则和绝对值的性质进行计算即可得解．
【详解】解：（1）(−3)−−512+2.5
=(−3)−(−3)
=(−3)+3
=0；
（2）[3+(−5)+(−6)]−|3+(−5)+(−6)|
=(−8)−8
=(−8)+(−8)
=−16．
【点睛】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的加法，熟记运算法则并准确列出算式是解题的关键．
【变式2-4】计算：
（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；
（2）11－12+13－15+16－18+17；
（3）
（4）
（5）；
（6）
【解析】（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．
解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72
＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23
＝0+0－1.23＝－1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11－12+13－15+16－18+17
＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)
＝57+(－45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：
（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；与 易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．
解：
（5）先把整数分离后再分组．
解：
注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 ．
（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：
知识点3.省略加号的和式的写法读法
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
【例3】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
解析：先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．
解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.
读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；
读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.
【变式3-1】有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“−20−−9+−8+10”可以看成________这4个数的和．
【答案】−20+9+−8+10
【分析】根据减法运算法则进行解答即可．
【详解】解： −20−−9+−8+10=−20+9+−8+10．
故答案为：−20+9+−8+10．
【点睛】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌减去一个数等于加上这个数的想法．
【变式3-2】把(−4)−(+13)+(−5)−(−9)写成省略加号和括号的形式是___________；读作：___________或___________．
【答案】 −4−13−5+9﹣4﹣13﹣5+9 负4减13减5加9 负4、负13、负5、9的和
【分析】首先把减法改为加法，省略括号和前面的加号即可．
【详解】解：(−4)−(+13)+(−5)−(−9)
=(−4)+(−13)+(−5)+(+9)
=−4−13−5+9；
读作：负4减13减5加9或负4、负13、负5、9的和．
故答案为：−4−13−5+9﹣4﹣13﹣5+9；负4减13减5加9；负4、负13、负5、9的和．
【点睛】此题考查有理数的加减混合运算混合运算的简写方法，注意简写前后符号的变化，读法按两种意义去读．
易错点1:混淆有理数减法中的运算符号和性质符号
【例4】.计算：．
莉莉的解法如下：
．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确解法．
【答案】莉莉的解法不正确，详见解析，-23
【分析】错误，运算法则运用错误，写出正确的解题过程即可．
【详解】莉莉的解法不正确．
正确解法：．
【点睛】此题考查了有理数的减法法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键
易错点2：错用运算律
【例5】．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）错用运算律，可能会导致计算的结果出错
例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下：
解： ①
②
③
④
以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 .
【答案】②
【分析】根据有理数的加减运算和添括号法则可作出判断．
【详解】解：
，
第②步括号内没变符号导致错误，即开始出现错误的那一步对应的序号是②，
故答案为：②．
【点睛】本题考查有理数的加减，添括号法则，解题的关键是掌握添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变正负号，添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号检验一下．
考点1：有理数的加减混合运算
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)3；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
2．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：
解：原式
启发应用，用上面的方法完成下列计算：
【答案】
【分析】将原式利用“拆项法”得出原式，再根据有理数的加减运算法则计算可得．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算，理解题干中的“拆项法”是解题关键．
考点2：绝对值与有理数的减法的综合问题
4．有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简式子：______．
【答案】
【详解】由数轴可得：c＜a＜0＜b，
∴a-c＞0，a-b＜0，2a＜0，
∴|a-c|-|a-b|+|2a|
=a-c+a-b-2a
=-c-b．
故答案为：-c-b．
5.已知，求的值．
【答案】
【详解】∵，，，
∴，，
解得，，
∴．
6.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①______；
②______；
③=______；
(2)用合理的方法计算：；
(3)用简单的方法计算：．
【答案】(1)①；②；③；
(2)
(3)
【详解】（1）①；
②；
③；
故答案为：①；②；③；
（2）原式
；
（3）原式
=．
7.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中十次行驶纪录如下（单位：）．
(1)最后他们是否回到出发点A？若没有，则他们停留在A地的什么方向？距离A地多远？
(2)在第 _________次纪录时距A地最远．
(3)若每千米耗油0.08升，问共耗油多少升？
【答案】(1)他们没有回到出发点A，停留在A地东边处
(2)五
(3)共耗油5.6升
【详解】（1）解：．
答：他们没有回到出发点A，停留在A地东边处；
（2）解：第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：；
第六次：；
第七次：；
第八次：；
第九次：；
第十次：．
∴在第五次纪录时距A地最远．
故答案为：5；
（3）解：
（升）．
答：共耗油5.6升．
考点3.利用有理数减法求数轴上两点间的距离
8． “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上和5这两点之间的距离为 ．
(2)若x表示一个实数，的最小值为 ．
(3)直接写出所有符合条件的x，使得，则x的值为 ．
【答案】(1)7
(2)6
(3)或3
【详解】（1）．
故答案为：7；
（2）表示x到和4的距离之和，
当时，；
当时，；
当时，，
故最小值为6．
故答案为：6；
（3）表示x到和4的距离之和等于9，
时，，
当时，；
当时，．
故答案为或3．
9.已知数轴上、两点所对应的数分别是和，为数轴上任意一点，对应的数为．
（1）则、两点之间的距离为________；
（2）式子的最小值为________．
【答案】2； ．
【详解】（1）、两点之间的距离为3-1=2，
故答案为：2；
（2）由已知条件可知，表示数x到数的距离，
只有当x到1的距离等于x到2019的距离时，式子即可取最小值，
当时，取最小值，
最小值为：
10.数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝ ．
④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是 ．
⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是 ．
【分析】①利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；
②利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；
③利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；
④利用数形结合思想和题干中的结论将满足条件的所有整数一一列举，并把它们相加即可得出结论；
⑤利用数形结合思想和题干中的结论结合绝对值的意义解答即可．
【解答】解：①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是|1﹣（﹣5）|＝6，
故答案为：6；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|，
数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为|a﹣7|，
故答案为：|x+2|；|x﹣7|；
③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的点到表示2，﹣4两点的距离之和，
∴当x在2和﹣4之间时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值为|2﹣（﹣4）|＝6，
故答案为：6；
④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的点到表示﹣1，4两点的距离之和为5，
又表示﹣1，4两点的距离之和为5，
∴数x在﹣1和4之间，
∵x为整数，
∴满足条件的所有整数x的值为：﹣1，0，1，2，3，4，
∴满足条件的所有整数x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9，
故答案为：9；
⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的点到表示﹣1，3两点的距离之和为8，
又∵3﹣（﹣1）＝4，
∴表示x的点可能在3的右侧或在﹣1的左侧，
即x＞3或x＜﹣1．
当x＞3时，
∵|x﹣3|+|x+1|＝8，
∴x﹣3+x+1＝8，
解得：x＝5；
当x＜﹣1时，
∵|x﹣3|+|x+1|＝8．
∴3﹣x﹣x﹣1＝8，
解得：x＝﹣3，
综上，满足条件的x的所有值是5和﹣3．
故答案为：5和﹣3．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，绝对值，数轴，利用数形结合的方法解答是解题的关键．
考点4：利用数轴信息进行有理数的加减运算
11．邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到邮局．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置；
(2)C村离A村有多远？
(3)邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】(1)答案见解析
(2)6千米
(3)18千米
【详解】（1）解：
（2）解：村离村的距离为；
（3）解：邮递员一共行驶了（千米）．
12.如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是，2，那么金安桥站表示的数是___________．
【答案】0
【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是，2，
∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，
∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，
∴每个单位长度表示，
∴金安桥表示的数是2-2=0，
故答案为：0．
13．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表．
(1)根据题意，填写下列表格：
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？
【答案】(1)见解析
(2)3；4
(3)①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示
【分析】（1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可；
（2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可；
（3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可；
②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可．
【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，
5秒时，点A在数轴上的位置为0，
∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒，
∴7秒时，点A在数轴上的位置为；
∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，
7秒时，点B在数轴上的位置为20，
∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒，
∴0秒时，点B在数轴上的位置为，
（2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为：
（秒）；
相遇时A、B两点对应的数为；
故答案为：3；4．
（3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示，
∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）；
∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示，
∴持续个单位，
∴第一次提示持续时间为（秒），
即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；
②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示，
∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒），
A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据表格中的数据得出A、B两点运动的速度和方向．
考点5：新定义运算问题
14．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查了新定义，有理数的加减；
根据新规定求出，然后计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选：A．
15．阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝ ．
【答案】﹣2017
【详解】解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝a⊕b﹣2c＝n﹣2c，
∵1⊕1＝2，
∴（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021．
又∵2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，
∴2020⊕2020＝﹣2017．
16.设表示不大于的最大整数，如 ，
（1）___________；
（2）__________；
【答案】
【详解】解：（1）由：表示不大于的最大整数，
可得：；
故答案为：6；
（2）解：，
∴；
故答案为：．
考点6：有理数的加减在实际生活中的应用
17．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
A．收入元B．支出元C．收入元D．支出元
【答案】A
【分析】根据收入记作“”，支出记作“”，收入与支出之和就是结余钱数，然后计算得出结果．
【详解】解：
（元），
∴元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是收入元．
故选：A．
【点睛】本题考查了正负数的表示方法以及有理数的加减运算．正确理解正数与负数的相反意义是解题的关键．
18．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（ ）．
A．0B．C．D．50
【答案】D
【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则
，
故选：D．
19．某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）：
(1)伦敦时间中午12点时，北京的当地时间是 _________ 点，纽约的当地时间是 _________ 点：
(2)某人在北京首都机场乘坐中午12点整的航班飞往伦敦，若飞行时间为12小时，则此人到达伦敦时，伦敦的当地时间是几点?（以上时刻均用24小时制作答）
【答案】(1)20，7
(2)16点
【详解】（1）（时），（时）；
答：北京的当地时间是20点，纽约的当地时间是7点；
（2）
（时）；
答：伦敦的当地时间是16点．
20．为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．
(1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度；
(2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演动作过程中，一共消耗了多少升燃油？
【答案】(1)1.5km
(2)25.8升
【详解】（1）解：（千米）；
答：飞机完成这四个表演动作后离地面的高度1.5千米；
（2）解：
（升，
答：一共消耗了25.8升燃油．
21．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）：
(1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具___________个；
(2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具___________个；
(3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？请说明理由 ．
【答案】(1)23
(2)191
(3)选择每日计件工资制更合算，见解析
【详解】（1）小颖星期二生产玩具（个）；
故答案为：23；
（2）本周实际生产玩具：（个）；
故答案为：191；
（3）每日计件工资制：
=
=（元），
每日计件工资制，小颖本周的工资总额是元；
每周计件工资制：
（元），
每周计件工资制，小颖本周的工资总额是元；
，
∴小颖应选择每日计件工资制更合算．
考点7:规律探究创新题
22．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】D
【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案．此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
∴，
故选：D．
23．观察下列各式的特征：；；；
，根据规律，解决相关问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）；
①_____________；
②___________．
（2）当时，___________；当时，__________．
（3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为___________

A． B． C． D．
（4）合理的方法计算：
【答案】（1）①21-7；②；（2）a-b，b-a；（3）C；（4）
【详解】解：（1）①|7-21|=21-7；
②，
（2）当a＞b时，|a-b|=a-b；
当a＜b时，|a-b|=b-a，
故答案为：a-b，b-a；
（3）由数轴上点的位置得到a-2＜0，
则原式=2-a，故选C；
（4）原式=
=
=．
24.已知点A、B在数轴上分别表示数a，b．若A、B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系是d=|a-b|.
(1)数轴上有理数x与有理数－2所对应两点之间的距离可以表示为______；
(2)|x+6|可以表示数轴上有理数x与有理数_______所对应的两点之间的距离；
若|x+6|= |x -2|，则x=______；
(3)若a=1，b=-2，将数轴折叠，使得A点与﹣7表示的点重合，则B点与数______表示的点P重合；
(4)若数轴上M、N两点之间的距离为11(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：_____， N：_______；
(5)在题(3)的条件下，点A为定点，点B、P为动点，若移动点B、P中一点后，能否使相邻两点间距离相等？若能，请写出移动方案.
【答案】（1）|x+2|；（2）表示的是x与(-6)之间的距离，x=-2；（3）P点表示的数为-4；（4），（5）B点向左移动此时P点向右移动或B点向右移动此时P点向左移动.
【详解】（1）|x-(-2)|=|x+2|，故表示为|x+2|；
（2）∵|x+6|=|x-(-6)|,
∴表示的是x与(-6)之间的距离，
∵|x+6|= |x -2|
∴x+6=x-2或x+6=-(x-2)
解x+6=x-2无解，解x+6=-(x-2)得x=-2.
则x=-2.
（3）如下图，易得对称轴为经过-3且与数轴垂直的直线，所以P点表示的数为-4.
（4）根据题意M、N在-3的左右两边，且距离-3的距离为，设距-3的距离为的数为x，则|x+3|=,即x+3=,x=或x=，故M点为时N为.
（5）设B点移动后表示的数为x，P点表示的数为y，则有|x-3|=|y-3|, x-3=y-3或x-3=3-y，解x-3=y-3得x=y，即B、P两点重合舍去，解x-3=3-y得y= -x-6，所以P点表示的数位-x-6所以AB=|1-x|，AP=|1-(-x-6)|=|7+x|，BP=|x-(-x-6)|=|2x+6|.
根据移动后相邻两点间距离相等，可分三类情况
①BP=AP，即|2x+6|=|7+x|即2x+6=7+x或2x+6=-7-x，
解2x+6=7+x得x=1，即A、B两点重合不符合题意舍去，
解2x+6=-7-x得，所以B点向左移动即可，此时P点向右移动；
②BP=AB，即|2x+6|=|1-x|即2x+6=1-x，或2x+6=x-1，
解2x+6=1-x得x=,所以B点向右移动，此时P点向左移动，
解2x+6=x-1得x=-7,此时-x-6=1，A、P两点重合舍去；
③AP=AB，则|1-x|=|7+x|，即1-x=7+x或x-1=7+x
解1-x=7+x得x=3，此时B、P重合舍去，
解x-1=7+x无解舍去.
故B点向左移动此时P点向右移动或B点向右移动此时P点向左移动.
一、单选题
1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）式子的正确读法是（ ）
A．减4减2减1加2B．减2减1加2
C．，，加2D．4，2，1，2的和
【答案】B
【分析】本题考查正负加减的概念理解．根据正负数的读法依次判断解可．
【详解】解：根据有理数的加法运算，
可得出此式子表示，，的和，
或者是减2减1加2.
故选：B．
2．计算：（ ）
A．B．5C．D．1
【答案】D
【分析】此题主要是考查了有理数的减法法则，能够熟练运用减去一个数等于加上这个数的相反数是解答此题的关键．根据有理数的减法法则进行计算可得结果．
【详解】解：
．
故选：D．
3．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）重庆城口县冬季里某天白天的气温为，到晚上的气温达到，那么城口的昼夜温差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的减法运算的应用，解题的关键是掌握有理数的解法运算法则．根据题意列出算式，再利用减法法则计算即可．
【详解】解：这一天的温差为：，
故选：B．
4．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）（ ）
A．B．7C．D．3
【答案】B
【分析】此题主要考查了有理数的减法及绝对值计算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的减法运算法则计算后求绝对值即可得出答案．
【详解】解：，
故选：B．
5．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了数轴与有理数，以及有理数的加减运算，解题的关键是根据数轴，正确的判断出，，，的取值范围以及大小关系．根据有理数，，，在数轴上的位置，确定大小关系，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得：，，，，则A正确，不符合题意；
∵，，
∴，即，B错误，符合题意；
∵，
∴，
∵，C正确，不符合题意；
∵，
∴，D正确，不符合题意；
故选：B．
6．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）周日，李军在家劳动，帮妈妈完成以下家务，最少需要（ ）分钟．
A．34B．35C．39D．65
【答案】B
【分析】把脏衣服放入洗衣机并启动1分钟，洗衣机自动洗涤30分钟，晾晒衣物3分钟，
洗衣机洗衣服30分钟的同时，整理房间需要26分钟，扔垃圾需要5分钟，故一共需要解得即可．
本题考查了时间的统筹，正确统筹解答是解题的关键．
【详解】把脏衣服放入洗衣机并启动1分钟，洗衣机自动洗涤30分钟，晾晒衣物3分钟，
洗衣机洗衣服30分钟的同时，整理房间需要26分钟，扔垃圾需要5分钟，故一共需要，
故选：B．
二、填空题
7．（23-24七年级上·广东广州·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则，进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
8．（22-23七年级上·山东济南·期中）有理数、、在数轴上的位置如图，用“＞”或“＜”填空： ， ．
【答案】 ＜ ＞
【分析】本题考查了借助数轴比较数或式子的大小，熟知数轴上的数越往右越大．根据各点在数轴上的位置判断出、、的大小关系即可解答．
【详解】由数轴可知 ，
，
故答案为：＜，＞．
9．（23-24七年级上·吉林松原·期中）如图是我市十一月份某一天的天气预报，该天的温差是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了有理数的减法，熟知有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键．用最高温度减去最低温度即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：7．
10．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）将写成省略括号的和的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数加减运算中去括号的知识，属于基础题，注意掌握括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号前面是负号则括号里面的各项要变号．
【详解】解：原式，
故答案为：．
11．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
三、解答题
12．（22-23七年级上·河南驻马店·阶段练习）观察以下计算过程：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并改正．
【答案】不正确，错在第一步，改正见解析
【分析】用拆项法把；化为，再用加法的交换律和结合律计算．
【详解】解：不正确，错在第一步，改正如下：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握把有理数加减法统一成加法，巧妙地运用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键．
13．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）（1）计算：
（2）观察以下计算过程：
（第一步）
（第二步）
．（第三步）
以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并写出正确的解题过程．
【答案】（1）；（2）不正确，错在第一步，见解析
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可；
（2）根据有理数的加减混合运算法则判断即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：不正确，错在第一步．
正确解题过程如下：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
14．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的加减运算是解题的关键．先求出绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝．
15．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）
（1）；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）利用绝对值的性质及有理数的加减法则计算即可；
（3）利用有理数的加减法则计算即可；
（4）利用有理数的加减法则计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
16．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修公路，如果规定向东行驶为正，一天中行驶记录如下：（单位：千米）．
(1)求收工时距离A地多少千米？
(2)若每千米耗油0.3升，这天共耗油多少升？
【答案】(1)收工时距离A地1千米
(2)这天共耗油12.3升
【分析】此题考查了正数与负数、绝对值的意义以及有理数的加法运算，解题关键是运用有理数加法运算解决问题．
（1）求出行驶记录中的数据之和即可解决问题．
（2）求出这天行驶的路程之和即可解决问题．
【详解】（1）由题知，
（千米），
所以收工时距离A地1千米．
（2）因为（千米），
所以（升），
故这天共耗油12.3升．
17．（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，．
(1)请通过计算说明A站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
【答案】(1)A站是洪山广场站
(2)小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据按照正、负数表示的意义，相加计算即可得到答案．
（2）利用正、负数表示站数的意义，相加得出总站数，再乘以平均距离即可得出答案．
【详解】（1）解：．
∴A站是洪山广场站．
（2）解：，
（千米）．
∴小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米．
18．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，
(1)数轴上的点A、B、C、D表示的数分别是______、______、______、______；
(2)A、B两点间的距离是______个单位长度；
(3)A、D两点间的距离是______个单位长度．
【答案】(1)1；2.5；；
(2)1.5
(3)4
【分析】此题考查数轴上点与数的一一对应关系，以及在数轴上求两点之间的距离的方法．
（1）根据在数轴上点与数的对应写出即可；
（2）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可；
（3）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可．
【详解】（1）解：由图可知：数轴上的点，，，表示的数分别是：1，2.5，，，
故答案为：1，2.5，，；
（2），
所以，两点间的距离是1.5个单位长度；
故答案为： 1.5；
（3），
所以，两点间的距离是4个单位长度．
故答案为：4．
19．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行10km到达C村，最后回到邮局．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置；
(2)C村离A村有多远？
(3)邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】(1)见解析
(2)7km
(3)16千米
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴两点之间的距离，有理数的加减：
（1）根据实际意义在数轴上表示即可；
（2）从数轴上可直接得出距离；
（3）相加可求出一共骑行了多少千米；
熟练掌握数轴的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：向西骑行3km到达A村，是向左移动3个单位，即处，
继续向西骑行3km到达B村，是从A村再向左移动3个单位，即处，
从B村向东骑行10km到达C村，即处，
如图所示：
；
（2）解：根据（1）中的数轴可知，C村离A村为；
（3）解：根据题意可得，
邮递员一共骑行了(千米)．
20．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题：
(1)计算：
①__________；
②__________．
(2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？
【答案】(1)①；②；
(2)第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的．
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律．
（1）①由每两个数为一组、其和为，共1011组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得；
（2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得．
【详解】（1）解：（1）①；
②；
故答案为：、；
（2）根据题意知第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的
．
21．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
①_______；②_______；③_______；④_______．
【拓广应用】
（2）合适的方法计算：_______．
（3）简便的方法计算：．
【答案】（1）①；②；③；④ （2）（3）
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．
（1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
（3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，；
①∵
∴；
②∵，
∴；
③∵，
∴；
④∵
∴；
故答案为为：；；；．
（2），
故答案为：．
（3）
．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.掌握有理数减法的运算法则,理解减法法则与加法法则的关系,体会转化的思想方法
2.能熟练地进行有理数的减法运算,会进行有理数的加减混合运算,会解决简单的实际问题，
3.能将和式中的括号和加号省略,并利用加法运算律进行相关计算
方法总结：进行有理数减法运算时，将减法转化为加法，再根据有理数加法法则进行计算．要特别注意减数的符号．
方法总结：要根据题意列出算式，再运用有理数的减法法则解答．
方法总结：此类问题如果是填空或选择题，可以采用“特殊值”法进行判断，若是解答题，可以将减法转化为加法通过运算法则来解答．
方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．
方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
第九次
第十次
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
___________
B点在数轴上的位置
___________
12
20
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
B点在数轴上的位置
12
20
微信转账
扫二维码付款
微信红包
便民菜站
城市
伦敦
北京
东京
多伦多
纽约
国际标准时间
0
+8
+9
-4
-5
星期
一
二
三
四
五
六
增减产值
整理房间
扔垃圾
把脏衣服放入洗衣机并启动
洗衣机自动洗涤
晾晒衣物
26分钟
5分钟
1分钟
30分钟
3分钟
小雪
气温：
风向风力：微风