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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题14等腰三角形中的动点问题(人教版)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题14等腰三角形中的动点问题(人教版)(原卷版+解析)，共21页。
等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。
做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：
先把动点走过的路程用时间表示出来；
把剩余路程也用时间表示出来；
根据题目中的等量关系列方程。
有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。
【例】1．（2023·贵州遵义·八年级期末）如图，已知中，厘米．厘米，点为的中点．
(1)如果点P在边上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在边上由C点向A点运动．
①若点Q与点P的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等？请说明理由：
②若点Q与点P的运动速度不相等，要使与全等，点Q的运动速度应为多少？并说明理由；
若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都沿的三边按逆时针方向运动，当点P与点Q第一次相遇时，求它们运动的时间，并说明此时点P与点Q在的哪条边上．
【思路】：
【方法总结】：
【跟踪训练】．(2023·吉林白城·八年级期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：
(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．
(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；
(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．
【思路】：
【方法总结】：
【变式训练】
变式1．（2023·湖南永州·八年级期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D．
(1)当时，______度．
(2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由．
(3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB＝90°，点A（3，3）．
(1)求点B的坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP＝2PB；
(3)在（2）的条件下，当OP＝2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；（写出四个即可）若不存在，请说明理由．
变式3．(2023·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为．过点A作轴，垂足为D．
(1)求OD的长及点A的坐标；
(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
(3)连接OA，已知，试探究在x轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式4．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，满足
(1)求两点的坐标；
(2)的平分线与的外角平分线AM交于点，求的度数；
(3)在平面内是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式5．(2023·贵州贵阳·八年级期末）（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点，图中与全等的三角形是______，与全等的三角形是______；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为，探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点，求证：．
变式6．(2023·吉林·长春外国语学校七年级期末）在△ABC中，AB=10，BC=6，点M为AB的中点，动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，点N在边AC上，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段CP的长度；
(2)当点P在线段BC上，AB=AC时，若△BPM与△CNP全等时，求t的值；
(3)当∠ACP=70°，△CPN为等腰三角形时，请直接写出∠CPN的度数．
变式7．(2023·河北邯郸·八年级期末）如图，在等腰中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．（友情提示：连接CF）
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)在此运动变化的过程中，四边形的面积是否保持不变？若不变，请求出四边形的面积；若改变，试说明理由．
变式8．(2023·河北沧州·八年级期末）如图．在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）点D从B向C的运动过程中，逐渐变____（填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当的度数是_____________ 时，是等腰三角形
专题14 等腰三角形中的动点问题
【解题技巧】
等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。
做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：
先把动点走过的路程用时间表示出来；
把剩余路程也用时间表示出来；
根据题目中的等量关系列方程。
有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。
【例】1．（2023·贵州遵义·八年级期末）如图，已知中，厘米．厘米，点为的中点．
(1)如果点P在边上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在边上由C点向A点运动．
①若点Q与点P的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等？请说明理由：
②若点Q与点P的运动速度不相等，要使与全等，点Q的运动速度应为多少？并说明理由；
若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都沿的三边按逆时针方向运动，当点P与点Q第一次相遇时，求它们运动的时间，并说明此时点P与点Q在的哪条边上．
【思路】：
【方法总结】：
答案：(1)①△BPD≌△CQP，理由见解析；②点Q的运动速度为4cm/s，理由见解析；
(2)经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
【解析】
分析：
（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
（1）①1秒钟时，△BPD与△CQP全等；理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=3（cm）∵AB=12cm，D为AB中点，∴BD=6cm，又∵PC=BC-BP=9-3=6（cm），∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中， ，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=6．∴点P的运动时间（秒），此时（cm/s）．
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得：4x=3x+2×12，解得：x=24，此时P运动了24×3=72（cm）又∵△ABC的周长为33cm，72=33×2+6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用；熟练掌握三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
【跟踪训练】．(2023·吉林白城·八年级期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：
(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．
(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；
(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．
【思路】：
【方法总结】：
答案：(1)（24－5t），（5t－24）
(2)t值为3或者12
(3)存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．
【解析】
分析：
（1）根据题意得：点F在线段BC上运动时CF＝24－5t；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝5t－24．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
当点F在C的右侧时，用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，平行线之间垂线最短则EF⊥BC，再利用矩形和等边三角形得性质找出BD＝DF．
（1）（24－5t），（5t－24）．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），根据题意得，CF＝24－5t，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝24－5t，解得t＝3．当点F在C的右侧时，根据题意得，CF＝5t－24，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝5t－24，解得t＝12．综上可得，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t值为3或者12．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小．若E、F两点间的距离最小，则EF⊥BC．过A作AD⊥BC于D，可得四边形AEFD为矩形，此时AE＝FD，在等边三角形ABC中，AB＝24，∴BD＝12，DF＝5t－12，∴3t＝5t－12解得t＝6∴存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．
【点睛】
此题考查了用含t的式子表示线段，平行四边形、矩形和等边三角形的性质，解题的关键是应用平行四边形、矩形和等边三角形的性质找出相等的边长，求得t．
【变式训练】
变式1．（2023·湖南永州·八年级期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D．
(1)当时，______度．
(2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由．
(3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小．
答案：(1)90
(2)，理由见解析
(3)可以，或90°或0°
【解析】
分析：
（1）由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；
（2）当AP＝4时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证；
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可．
（1）解：当PNBC时，∠α＝∠NPM＝30°，又∵∠ACB＝120°，∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，故答案为：90；
（2）解：当AP＝4时，△ADP≌△BPC，理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，又∵∠APC是△BPC的一个外角，∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，∴∠α＝∠APD，又∵AP＝BC＝4，∴△ADP≌△BPC；
（3）解：的形状可以是等腰三角形．由题意得，，①当时，是等腰三角形，∴，即，∴．②当时，是等腰三角形，∴，即，∴．③当时，是等腰三角形，∴，∴，即，∴，此时点P与点B重合，点D和点A重合．综上所述，当或90°或0°时，是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB＝90°，点A（3，3）．
(1)求点B的坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP＝2PB；
(3)在（2）的条件下，当OP＝2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；（写出四个即可）若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)或
(3)的坐标为或或或或或
【解析】
分析：
（1）过点作轴于点，根据等腰三角形的性质可得，即可求得点的坐标，
（2）根据题意求得，根据OP＝2PB，建立方程解方程即可求解；
（3）由（2）可得或，分别以为直角顶点，分类讨论结合图形即可求解．
（1）解：如图，过点作轴于点，是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点A（3，3），
（2）解：如图，点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，， OP＝2PB解得或或时，OP＝2PB
（3）解：①如图，当时，，，则当为等腰的顶点时，，，当为等腰的顶点时，，的横坐标为，纵坐标为，，当为等腰的顶点时，，，②如图，当时，，，则，当为等腰的顶点时，， ，当为等腰的顶点时，，的横坐标为，纵坐标为，，当为等腰的顶点时，， ，综上所述，的坐标为或或或或或．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，等腰三角的性质，一元一次方程的应用，掌握以上知识，数形结合是解题的关键．
变式3．(2023·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为．过点A作轴，垂足为D．
(1)求OD的长及点A的坐标；
(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
(3)连接OA，已知，试探究在x轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，
(2)且，证明见解析
(3)Q的坐标为：或或
【解析】
分析：
（1）根据题目所给条件证明，即可得出OD的长及点A的坐标．
（2）过E作轴于F，证明，得到，再根据角度关系得到，便可得出．
（3）分别讨论A为顶角顶点、A为底角顶点时的不同情况，根据轴对称的性质讨论即可．
（1）∵点B坐标为，点C坐标为，∴，，∵，∴，且，∴，且，，∴（AAS），∴，∴，，∴点A的坐标；
（2）且；
证明：过E作轴于F，并交AD于G，则且，∵，，E为AB中点，∴，∴，，又∵，∴，且和都为等腰直角三角形，∴，，∴，∴；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，∵轴，∴点，O关于直线AD对称，即：；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则，∴；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则，∴，综上所述：Q的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质，解决本题的关键是辅助线的合理添加及各性质的综合应用．
变式4．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，满足
(1)求两点的坐标；
(2)的平分线与的外角平分线AM交于点，求的度数；
(3)在平面内是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)；
(2)45°；
(3)存在；满足条件的点有6个；或
【解析】
分析：
（1）将用完全平方公式变形为，得出，即可求解；
（2）由的平分线与的外角平分线AM交于点，可得出，再由三角形外角和定理，得 ,即，即可求解；
（3）根据A、B、P构成等腰三角形，设点P坐标为当点B与点A为顶点时，就有两个点，由图形中的三角形的全等性求出点P的坐标即可．
（1） ，∴，， ．
（2）平分，平分， ， ，
（3）存在；满足条件的点共有6个；设B点为顶点， ，， ， ， 过点P作 于点C，， ， ， 在中 ， ，， ， ； 当时，过点作于点D，同①，证明出， ，，， ；故点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角和定理，等腰直角三角形的判断等知识点，拥有分类讨论思想时解题关键，属于较难题．
变式5．(2023·贵州贵阳·八年级期末）（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点，图中与全等的三角形是______，与全等的三角形是______；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为，探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点，求证：．
答案：（1）；（2），见解析；（3）见解析
【解析】
分析：
（1）由HL证明≌，结合同角的余角相等可得，继而由ASA证明≌，据此解答；
（2）利用AAS证明≌，根据全等三角形对应边相等的性质结合线段的和差即可解答；
（3）延长，交于点，由ASA证明≌，≌，再根据全等三角形对应边相等的性质．
【详解】
解：（1），
，
，，
≌，
，
，
，
，
又，
≌，
故答案为：，；
（2），理由如下：
，，
，
，
，
，
平分，
，
又，，
≌，
，，
；
（3）如图，延长，交于点，
平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
变式6．(2023·吉林·长春外国语学校七年级期末）在△ABC中，AB=10，BC=6，点M为AB的中点，动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，点N在边AC上，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段CP的长度；
(2)当点P在线段BC上，AB=AC时，若△BPM与△CNP全等时，求t的值；
(3)当∠ACP=70°，△CPN为等腰三角形时，请直接写出∠CPN的度数．
答案：(1)当点P在线段BC上时，CP＝6−2t；当点P在点C的上方时，CP＝2t−6；
(2)或；
(3)55°或70°或40°或35°．
【解析】
分析：
（1）由题意得BP＝2t，分两种情况讨论可求CP的长；
（2）根据△BPM与△CNP全等，可得BM＝CP或BP＝CP，分别列式求出BP即可；
（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
（1）解：∵动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，∴BP＝2t，当点P在线段BC上时，CP＝6−2t，当点P在点C的上方时，CP＝2t−6；
（2）∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝5，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△BPM与△CNP全等，∴BM＝CP或BP＝CP，当BM＝CP＝5时，则BP＝1，∴t＝，当BP＝CP时，∵BC＝6，∴BP＝CP＝3，∴t＝，综上所述：t＝或；
（3）若点P线段BC上时，当CP＝CN时，则∠CPN＝∠CNP＝＝55°，当CN＝NP时，则∠NCP＝∠CPN＝70°，当CP＝PN时，则∠NCP＝∠CNP＝70°，∴∠CPN＝40°，若点P在线段BC的延长线时，∵∠NCP＝180°−70°＝110°，∴只存在CN＝CP时，△CNP是等腰三角形，∵CN＝CP，∴∠CPN＝＝35°，综上所述：∠CPN的度数为55°或70°或40°或35°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
变式7．(2023·河北邯郸·八年级期末）如图，在等腰中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．（友情提示：连接CF）
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)在此运动变化的过程中，四边形的面积是否保持不变？若不变，请求出四边形的面积；若改变，试说明理由．
答案：(1)见解析
(2)不变，16
【解析】
分析：
（1）连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF，所以△DEF是等腰直角三角形；
（2）由割补法可知S四边形CEFD=S△AFC，再利用面积公式计算．
（1）解：连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．
（2）不变，理由是：当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC==16．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是根据题目添加辅助线，简化思路．
变式8．(2023·河北沧州·八年级期末）如图．在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）点D从B向C的运动过程中，逐渐变____（填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当的度数是_____________ 时，是等腰三角形
答案： 小 110°或80°
【解析】
分析：
（1）由题意易得，由点D从B向C的运动过程中，逐渐变大可求解问题；
（2）由题意可分①若时，②若时，③若时，则点D与点B重合，点E与点C重合，与题意矛盾，故不符合题意；然后根据等腰三角形的性质及角的等量关系可进行求解；
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵点D从向的运动过程中，逐渐变大，
∴逐渐变小；
故答案为：小；
（2）若时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
若时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
若时，则点D与点B重合，点E与点C重合，与题意矛盾，故不符合题意；
综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形；
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。
做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：
先把动点走过的路程用时间表示出来；
把剩余路程也用时间表示出来；
根据题目中的等量关系列方程。
有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。
【例】1．（2023·贵州遵义·八年级期末）如图，已知中，厘米．厘米，点为的中点．
(1)如果点P在边上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在边上由C点向A点运动．
①若点Q与点P的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等？请说明理由：
②若点Q与点P的运动速度不相等，要使与全等，点Q的运动速度应为多少？并说明理由；
若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都沿的三边按逆时针方向运动，当点P与点Q第一次相遇时，求它们运动的时间，并说明此时点P与点Q在的哪条边上．
【思路】：
【方法总结】：
【跟踪训练】．(2023·吉林白城·八年级期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：
(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．
(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；
(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．
【思路】：
【方法总结】：
【变式训练】
变式1．（2023·湖南永州·八年级期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D．
(1)当时，______度．
(2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由．
(3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB＝90°，点A（3，3）．
(1)求点B的坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP＝2PB；
(3)在（2）的条件下，当OP＝2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；（写出四个即可）若不存在，请说明理由．
变式3．(2023·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为．过点A作轴，垂足为D．
(1)求OD的长及点A的坐标；
(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
(3)连接OA，已知，试探究在x轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式4．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，满足
(1)求两点的坐标；
(2)的平分线与的外角平分线AM交于点，求的度数；
(3)在平面内是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式5．(2023·贵州贵阳·八年级期末）（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点，图中与全等的三角形是______，与全等的三角形是______；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为，探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点，求证：．
变式6．(2023·吉林·长春外国语学校七年级期末）在△ABC中，AB=10，BC=6，点M为AB的中点，动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，点N在边AC上，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段CP的长度；
(2)当点P在线段BC上，AB=AC时，若△BPM与△CNP全等时，求t的值；
(3)当∠ACP=70°，△CPN为等腰三角形时，请直接写出∠CPN的度数．
变式7．(2023·河北邯郸·八年级期末）如图，在等腰中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．（友情提示：连接CF）
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)在此运动变化的过程中，四边形的面积是否保持不变？若不变，请求出四边形的面积；若改变，试说明理由．
变式8．(2023·河北沧州·八年级期末）如图．在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）点D从B向C的运动过程中，逐渐变____（填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当的度数是_____________ 时，是等腰三角形
专题14 等腰三角形中的动点问题
【解题技巧】
等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。
做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：
先把动点走过的路程用时间表示出来；
把剩余路程也用时间表示出来；
根据题目中的等量关系列方程。
有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。
【例】1．（2023·贵州遵义·八年级期末）如图，已知中，厘米．厘米，点为的中点．
(1)如果点P在边上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在边上由C点向A点运动．
①若点Q与点P的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等？请说明理由：
②若点Q与点P的运动速度不相等，要使与全等，点Q的运动速度应为多少？并说明理由；
若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都沿的三边按逆时针方向运动，当点P与点Q第一次相遇时，求它们运动的时间，并说明此时点P与点Q在的哪条边上．
【思路】：
【方法总结】：
答案：(1)①△BPD≌△CQP，理由见解析；②点Q的运动速度为4cm/s，理由见解析；
(2)经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
【解析】
分析：
（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
（1）①1秒钟时，△BPD与△CQP全等；理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=3（cm）∵AB=12cm，D为AB中点，∴BD=6cm，又∵PC=BC-BP=9-3=6（cm），∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中， ，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=6．∴点P的运动时间（秒），此时（cm/s）．
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得：4x=3x+2×12，解得：x=24，此时P运动了24×3=72（cm）又∵△ABC的周长为33cm，72=33×2+6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用；熟练掌握三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
【跟踪训练】．(2023·吉林白城·八年级期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：
(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．
(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；
(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．
【思路】：
【方法总结】：
答案：(1)（24－5t），（5t－24）
(2)t值为3或者12
(3)存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．
【解析】
分析：
（1）根据题意得：点F在线段BC上运动时CF＝24－5t；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝5t－24．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
当点F在C的右侧时，用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，平行线之间垂线最短则EF⊥BC，再利用矩形和等边三角形得性质找出BD＝DF．
（1）（24－5t），（5t－24）．
（2）当点F在C的左侧时（含点C），根据题意得，CF＝24－5t，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝24－5t，解得t＝3．当点F在C的右侧时，根据题意得，CF＝5t－24，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝5t－24，解得t＝12．综上可得，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t值为3或者12．
（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小．若E、F两点间的距离最小，则EF⊥BC．过A作AD⊥BC于D，可得四边形AEFD为矩形，此时AE＝FD，在等边三角形ABC中，AB＝24，∴BD＝12，DF＝5t－12，∴3t＝5t－12解得t＝6∴存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．
【点睛】
此题考查了用含t的式子表示线段，平行四边形、矩形和等边三角形的性质，解题的关键是应用平行四边形、矩形和等边三角形的性质找出相等的边长，求得t．
【变式训练】
变式1．（2023·湖南永州·八年级期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D．
(1)当时，______度．
(2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由．
(3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小．
答案：(1)90
(2)，理由见解析
(3)可以，或90°或0°
【解析】
分析：
（1）由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；
（2）当AP＝4时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证；
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可．
（1）解：当PNBC时，∠α＝∠NPM＝30°，又∵∠ACB＝120°，∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，故答案为：90；
（2）解：当AP＝4时，△ADP≌△BPC，理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，又∵∠APC是△BPC的一个外角，∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，∴∠α＝∠APD，又∵AP＝BC＝4，∴△ADP≌△BPC；
（3）解：的形状可以是等腰三角形．由题意得，，①当时，是等腰三角形，∴，即，∴．②当时，是等腰三角形，∴，即，∴．③当时，是等腰三角形，∴，∴，即，∴，此时点P与点B重合，点D和点A重合．综上所述，当或90°或0°时，是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB＝90°，点A（3，3）．
(1)求点B的坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP＝2PB；
(3)在（2）的条件下，当OP＝2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；（写出四个即可）若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)或
(3)的坐标为或或或或或
【解析】
分析：
（1）过点作轴于点，根据等腰三角形的性质可得，即可求得点的坐标，
（2）根据题意求得，根据OP＝2PB，建立方程解方程即可求解；
（3）由（2）可得或，分别以为直角顶点，分类讨论结合图形即可求解．
（1）解：如图，过点作轴于点，是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点A（3，3），
（2）解：如图，点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，， OP＝2PB解得或或时，OP＝2PB
（3）解：①如图，当时，，，则当为等腰的顶点时，，，当为等腰的顶点时，，的横坐标为，纵坐标为，，当为等腰的顶点时，，，②如图，当时，，，则，当为等腰的顶点时，， ，当为等腰的顶点时，，的横坐标为，纵坐标为，，当为等腰的顶点时，， ，综上所述，的坐标为或或或或或．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，等腰三角的性质，一元一次方程的应用，掌握以上知识，数形结合是解题的关键．
变式3．(2023·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为．过点A作轴，垂足为D．
(1)求OD的长及点A的坐标；
(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
(3)连接OA，已知，试探究在x轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，
(2)且，证明见解析
(3)Q的坐标为：或或
【解析】
分析：
（1）根据题目所给条件证明，即可得出OD的长及点A的坐标．
（2）过E作轴于F，证明，得到，再根据角度关系得到，便可得出．
（3）分别讨论A为顶角顶点、A为底角顶点时的不同情况，根据轴对称的性质讨论即可．
（1）∵点B坐标为，点C坐标为，∴，，∵，∴，且，∴，且，，∴（AAS），∴，∴，，∴点A的坐标；
（2）且；
证明：过E作轴于F，并交AD于G，则且，∵，，E为AB中点，∴，∴，，又∵，∴，且和都为等腰直角三角形，∴，，∴，∴；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，∵轴，∴点，O关于直线AD对称，即：；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则，∴；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则，∴，综上所述：Q的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质，解决本题的关键是辅助线的合理添加及各性质的综合应用．
变式4．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，满足
(1)求两点的坐标；
(2)的平分线与的外角平分线AM交于点，求的度数；
(3)在平面内是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请写出点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)；
(2)45°；
(3)存在；满足条件的点有6个；或
【解析】
分析：
（1）将用完全平方公式变形为，得出，即可求解；
（2）由的平分线与的外角平分线AM交于点，可得出，再由三角形外角和定理，得 ,即，即可求解；
（3）根据A、B、P构成等腰三角形，设点P坐标为当点B与点A为顶点时，就有两个点，由图形中的三角形的全等性求出点P的坐标即可．
（1） ，∴，， ．
（2）平分，平分， ， ，
（3）存在；满足条件的点共有6个；设B点为顶点， ，， ， ， 过点P作 于点C，， ， ， 在中 ， ，， ， ； 当时，过点作于点D，同①，证明出， ，，， ；故点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角和定理，等腰直角三角形的判断等知识点，拥有分类讨论思想时解题关键，属于较难题．
变式5．(2023·贵州贵阳·八年级期末）（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点，图中与全等的三角形是______，与全等的三角形是______；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为，探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点，求证：．
答案：（1）；（2），见解析；（3）见解析
【解析】
分析：
（1）由HL证明≌，结合同角的余角相等可得，继而由ASA证明≌，据此解答；
（2）利用AAS证明≌，根据全等三角形对应边相等的性质结合线段的和差即可解答；
（3）延长，交于点，由ASA证明≌，≌，再根据全等三角形对应边相等的性质．
【详解】
解：（1），
，
，，
≌，
，
，
，
，
又，
≌，
故答案为：，；
（2），理由如下：
，，
，
，
，
，
平分，
，
又，，
≌，
，，
；
（3）如图，延长，交于点，
平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
变式6．(2023·吉林·长春外国语学校七年级期末）在△ABC中，AB=10，BC=6，点M为AB的中点，动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，点N在边AC上，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段CP的长度；
(2)当点P在线段BC上，AB=AC时，若△BPM与△CNP全等时，求t的值；
(3)当∠ACP=70°，△CPN为等腰三角形时，请直接写出∠CPN的度数．
答案：(1)当点P在线段BC上时，CP＝6−2t；当点P在点C的上方时，CP＝2t−6；
(2)或；
(3)55°或70°或40°或35°．
【解析】
分析：
（1）由题意得BP＝2t，分两种情况讨论可求CP的长；
（2）根据△BPM与△CNP全等，可得BM＝CP或BP＝CP，分别列式求出BP即可；
（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
（1）解：∵动点P以2个单位长度每秒的速度从点B出发在射线BC上运动，∴BP＝2t，当点P在线段BC上时，CP＝6−2t，当点P在点C的上方时，CP＝2t−6；
（2）∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝5，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△BPM与△CNP全等，∴BM＝CP或BP＝CP，当BM＝CP＝5时，则BP＝1，∴t＝，当BP＝CP时，∵BC＝6，∴BP＝CP＝3，∴t＝，综上所述：t＝或；
（3）若点P线段BC上时，当CP＝CN时，则∠CPN＝∠CNP＝＝55°，当CN＝NP时，则∠NCP＝∠CPN＝70°，当CP＝PN时，则∠NCP＝∠CNP＝70°，∴∠CPN＝40°，若点P在线段BC的延长线时，∵∠NCP＝180°−70°＝110°，∴只存在CN＝CP时，△CNP是等腰三角形，∵CN＝CP，∴∠CPN＝＝35°，综上所述：∠CPN的度数为55°或70°或40°或35°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
变式7．(2023·河北邯郸·八年级期末）如图，在等腰中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．（友情提示：连接CF）
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)在此运动变化的过程中，四边形的面积是否保持不变？若不变，请求出四边形的面积；若改变，试说明理由．
答案：(1)见解析
(2)不变，16
【解析】
分析：
（1）连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF，所以△DEF是等腰直角三角形；
（2）由割补法可知S四边形CEFD=S△AFC，再利用面积公式计算．
（1）解：连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．
（2）不变，理由是：当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC==16．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是根据题目添加辅助线，简化思路．
变式8．(2023·河北沧州·八年级期末）如图．在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）点D从B向C的运动过程中，逐渐变____（填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当的度数是_____________ 时，是等腰三角形
答案： 小 110°或80°
【解析】
分析：
（1）由题意易得，由点D从B向C的运动过程中，逐渐变大可求解问题；
（2）由题意可分①若时，②若时，③若时，则点D与点B重合，点E与点C重合，与题意矛盾，故不符合题意；然后根据等腰三角形的性质及角的等量关系可进行求解；
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵点D从向的运动过程中，逐渐变大，
∴逐渐变小；
故答案为：小；
（2）若时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
若时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
若时，则点D与点B重合，点E与点C重合，与题意矛盾，故不符合题意；
综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形；
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
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