河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高一下学期6月数学期末冲刺试题

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高一下学期6月数学期末冲刺试题，共16页。试卷主要包含了已知，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，对任意实数，则“”是“”成立的（ ）
A.充分且必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
2.若，，，则（ ）
A.B.
C.D.
3.已知f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，若当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A.2021B.2020C.4043D.4044
4.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）
A.B.C.D.
5.已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A.B.C.D.
6.已知，则（ ）
A.B.C.D.
7.锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
8.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A.
B.的最大值为2
C.复数在复平面内对应的点位于第二象限
D.若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.对于函数给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
A.该函数是以为最小正周期的周期函数
B.当且仅当时，该函数取得最小值
C.该函数的图象关于直线对称
D.当且仅当时，
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则△ABC为钝角三角形
C.若，，，则符合条件的△ABC有两个
D.若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形
11.如图，圆台，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（ ）
A.线段
B.该圆台的表面积为
C.该圆台的体积为
D.沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.若点在函数的图象上，则 .
13.在中，角,,的对边分别为,,，若且，则的取值范围为 .
14.已知为钝角，且，角，，满足，则 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求；
(2)若，，求的面积的最大值.
16.某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）；
(2)现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数.
17.已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数所在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围，并计算的值.
18.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile.为钝角，且.
(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积；
(3)记为，为，求的值.
19.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】由，可得，
所以的图象关于点中心对称，
又由函数为递增函数，可得在单增，所以在上也单调递增，
当时，则，可得，即充分性成立；
反之：因为，
所以，当时，可得，即，
又因为在上为增函数，所以，即，即必要性成立，
所以是“成立的充分必要条件.
故选：A.
2.【答案】A
【解析】，
，，
因为，则，
所以，即；
而，，所以，
所以，即；
综上：.
故选：A.
3.【答案】C
【解析】当时，，
函数在上的图象与函数的图象如图：
由图可知，函数在上的图象与函数的图象有个交点，
又因为f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，
因为，
所以函数的图象与函数的图象在上的交点个数为.
故选C.
4.【答案】B
【解析】从的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从到的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共次.所以从到的最近的行走线路，总的方法数有种.
不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：.
所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为.
故选：B
5.【答案】A
【解析】

，
，，
，且，
当时，时，也取得最大值,
此时， ，
.
故选：A
6.【答案】A
【解析】假设，则，
则，
矛盾，所以.
由已知有，
故，而，故，即.
故选：A.
7.【答案】B
【解析】因为，所以，
整理可得，即有.
又，所以，解得，所以，
于是.
因为三角形是锐角三角形，所以，所以，
所以的取值范围是.
故选B.
8.【答案】B
【解析】对于A，，A错误；
对于B，
，当时取等号，B正确；
对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误；
对于D，，，
，，
因此的面积为：，面积的最大值为，D错误.
故选：B.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】CD
【解析】函数 ,
可得，当，时，，
当，时，，
则的最小正周期为，故A错误；
画出在一个周期内的图象，
当或，时，取得最小值，故B错误；
由图可知的图象关于直线对称，故C正确；
当且仅当时，，
的最大值为，可得，故D正确.
故选：CD.
10.【答案】ABD
【解析】A选项，根据大角对大边，，
根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，
于是，A选项正确；
B选项，根据余弦定理结合选项可知，，
由，进而，B选项正确；
C选项，根据正弦定理，，结合选项数据，得出，
故这样的三角形不存在，C选项错误；
D选项，若，由正弦定理，，
则，则或者，
即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，D选项正确.
故选ABD.
11.【答案】ACD
【解析】对于A，如图：
在截面ABCD中，，
因为为CD的中点，所以，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，所以为等边三角形，
所以，，
在等腰中，，正确；
对于B，设圆台上底面半径为，下底面半径为，母线为l，则，，，
则圆台的表面积，错误；
对于C，由B知圆台的高为，
所以圆台的体积，正确；
对于D，将圆台一半侧面展开，如图中ABCD，且E为AD的中点，
而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD，且，，
所以在中，，即C到AD中点的最短距离为5，正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】因为点在函数的图象上，所以，
故答案为：4.
13.【答案】
【解析】由余弦定理得，
将代入，得，故，
又由正弦定理得，且，
整理得，
因为，所以或(舍去)，得，
于是，
因为，则，
所以.
14.【答案】/
【解析】因为
所以，
则，
即.
因为，所以，且为钝角，.
所以，
故.
所以，又为锐角，所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，
在中，，
∵，
∴,即，
∴，
∵，
∴，可得，解得：.
（2）由题意及（1）得
在中，，，，
∴为边的中点，
∴,
∴，即，
设，，则，
所以，当且仅当时，等号成立.
∴，当且仅当时，等号成立，
∴的面积的最大值为.
16.【答案】(1)平均数为72.5，中位数为72.9； (2)14
【解析】（1）由题意知，
解得.
估计这200名员工所得分数的平均数.
[40，70）的频率为，
[40，80）的频率为，
所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.
（2）[70，80）的人数：，[80，90）的人数：，
[90，100]的人数：，
所以[70，80）这组中抽取的人数为：.
17.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）m∈[，2），tan（x1′+x2′）＝.
【解析】函数f（x）＝4sin（x）csx.
化简可得：f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x
＝sin2x（cs2x）
＝sin2xcs2x
＝2sin（2x）
（1）函数的最小正周期T，
由2x时单调递增，
解得：
∴函数的单调递增区间为：[，]，k∈Z.
（2）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1′，x2′，
转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点
令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]
可得f（x）＝sinu的图象（如图）.
从图可知：m在[，2），函数f（x）与函数y＝m有两个交点，
其横坐标分别为x1′，x2′.
故得实数m的取值范围是m∈[，2），
由题意可知x1′，x2′是关于对称轴是对称的：
那么函数在[0，]的对称轴x
∴x1′+x2′2
那么：tan（x1′+x2′）＝tan
18.【答案】(1)2nmile；
(2)18平方海里；
(3).
【解析】（1），且A为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）.
小岛A与小岛之间的距离为2nmile.
（2）四点共圆，与互补，则
.
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或.
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.
（3）方法1：在中，由正弦定理得：，即，解.
，为锐角，则，
又，
，
.
方法2
在三角形中，；；；
由余弦定理可得：；
；
又，
，
.
19.【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面平面；
（3）由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.