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人教版八年级数学下册同步精讲精练专题方程思想在勾股定理中的应用(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题方程思想在勾股定理中的应用(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了翻折问题中的方程思想，实际问题中的方程思想等内容，欢迎下载使用。
题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长
【例题1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．12C．28D．30
【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm
【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 ．
【变式1-3】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（ ）
A．8B．10C．24D．48
【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为2+6．则其面积是（ ）
A．12B．1C．62D．2
【变式1-5】（2022秋•遂川县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC=42，AB＝3AC，求AC的长．
【变式1-6】（2022春•虞城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c，
（1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值．
（2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值．
【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD＝1，BD=17，则BC的长为 ．
【变式1-8】（2021秋•重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝ ．
【变式1-9】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．3B．5C．2.4D．2.5
【变式1-10】（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度
【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．
（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；
（2）若BC＝20，求CD的长．
【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．
【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【变式2-3】如图，在△ABC中，AC=61，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式2-4】（2021秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 ．
【变式2-5】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
【变式2-6】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠B＝2∠CAD．
（2）求BD的长度；
（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．
题型三 翻折问题中的方程思想
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（ ）
A．5B．34C．3 5D．61
【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．154cmB．254cmC．74cmD．无法确定
【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）
A．95B．125C．165D．185
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的．若AB＝4，BC＝6，则OD的长为 ．
【变式3-5】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求CE的长；
（2）求点D的坐标．
【变式3-6】（2022秋•锦江区校级期中）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，2），折叠长方形使得点C与点A重合，折痕交BC于点D、交OA于点E，点O的对应点为F．
（1）求点D的坐标；
（2）求折痕DE的长度．
题型四 实际问题中的方程思想
【例题4】（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
【变式4-1】（2021秋•源城区月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图②）．量得BC=5米，求旗杆AB的高度．
【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
【变式4-4】（2022春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【变式4-5】（2021秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）
【变式4-6】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【变式4-7】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【变式4-8】（2021秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．
（1）判断△ACM的形状，并说明理由；
（2）求公路AB的长．
【变式4-9】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【变式4-10】（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 方程思想在勾股定理中的应用
题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长
【例题1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．12C．28D．30
【分析】由a与b的比值，设a＝3k，b＝4k，再由c的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，得出a、b的长，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：∵a：b＝3：4，
设a＝3k，b＝4k，
在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
即9k2+16k2＝100，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
则a＝3k＝6，b＝4k＝8，
∴△ABC的面积=12ab=12×6×8＝24．
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出a和b是解本题的关键．
【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm
【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
【解答】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，
根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，
整理得：x2＝16，
解得：x＝4，
∴两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 ．
【分析】根据a+c＝32和a：c＝3：5可以准确计算a、c的长度，根据a、c的长度计算b的长度，即可求得a+b+c．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，即c2＝b2+a2，
∵a+c=32a：c=3：5，
∴a＝12，c＝20，
∵c2＝b2+a2，
∴b＝16．
∴a+b+c＝12+16＝20＝48．
故答案为：48．
【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据a、c的两个等量关系式计算a、c的长度是解题的关键．
【变式1-3】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（ ）
A．8B．10C．24D．48
【分析】设另一直角边长为x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设另一直角边长为x，则斜边长为（x+2），
由勾股定理得，x2+62＝（x+2）2，
解得，x＝8，
∴该三角形的面积=12×6×8＝24，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为2+6．则其面积是（ ）
A．12B．1C．62D．2
【分析】根据已知可得到两直角边的和，根据完全平方公式即可求得两直角边的乘积，从而不难求得其面积．
【解答】解：设两直角边分别为：a，b，斜边为c，
∵直角三角形的斜边为2，周长为2+6，
∴a+b=6，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝4+2ab＝6，
∴ab＝1，
∵三角形有面积=12ab=12，
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理及完全平方和公式的运用．
【变式1-5】（2022秋•遂川县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC=42，AB＝3AC，求AC的长．
【分析】根据勾股定理直接求解即可．
【解答】解：设AC的长为x，则AB的长为3x．
在直角△ABC中，∠C＝90°．
∴AC2+BC2＝AB2．
∵BC=42，
∴x2+(42)2=(3x)2，
x2+32＝9x2，
解得x＝±2（﹣2舍去）．
∴AC＝2．
【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1-6】（2022春•虞城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c，
（1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值．
（2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值．
【分析】（1）设a＝3x，则b＝4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
（2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b＝3：4，
∴设a＝3x，则b＝4x．
∵a2+b2＝c2，即（3x）2+（4x）2＝152，
解得x＝9，
∴a＝3x＝27，b＝4x＝36；
（2）∵△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴a2+b2＝c2，
∵c﹣a＝4，b＝16，
∴a2+256＝（a+4）2，
解得：a＝30．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD＝1，BD=17，则BC的长为 ．
【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD＝CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得CD＝CB（设为λ）；
由勾股定理得：
AB2＝BD2﹣AD2，而BD=17，AD＝1，
∴AB＝4，AC＝4﹣λ；由勾股定理得：
λ2＝12+（4﹣λ）2，
解得：λ=178．
故答案为178．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【变式1-8】（2021秋•重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝ ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BDE，根据等式的性质得到∠CAE＝∠DEB，求得AC＝EC，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝BD＝4，
∴∠BAE＝∠BDE，
∵CB⊥BD，
∴∠DBE＝∠CAB＝90°，
∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠DEB，
∵∠AEC＝∠DEB，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴AC＝EC，
∵BE＝1，
∴BC＝AC+1，
∵AC2+AB2＝BC2，
∴AC2+42＝（AC+1）2，
∴AC=152，
故答案为：152．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键．
【变式1-9】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．3B．5C．2.4D．2.5
【分析】连接CE，由矩形的性质可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE＝CE；设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．
【解答】解：连接CE，如图：
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，
∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴DE的长为3．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相相关性质及定理是解题的关键．
【变式1-10】（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，
∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，
∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴（AD+5）2＝AD2+122，
∴AD=11910，
∴AC=11910+5=16910．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
关性质及定理是解题的关键．
题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度
【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．
（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；
（2）若BC＝20，求CD的长．
【分析】（1）由勾股定理可得出答案；
（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，由勾股定理可得出102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，
∴AD=AC2−CD2=102−62=8，
∴BD=AB2−AD2=172−82=15．
故答案为：8，15；
（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，
∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，
∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，
解得x=21140，
∴CD=21140．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．
【分析】设BD＝x，则CD＝14﹣x，根据勾股定理得出方程，解方程求出x的值，再由勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△ADB与△ACD均为直角三角形，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
∴BD＝9，
∴AD=AB2−BD2=152−92=12．
【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出BD是解决问题的关键．
【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；
（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．
【解答】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE．
∵BE2﹣AE2＝AC2，
∴AE2+AC2＝CE2．
∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）在Rt△BDE中，BE=BD2+DE2=5．
所以CE＝BE＝5．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，
所以AC2＝25﹣x2．
∵BD＝4，
∴BC＝2BD＝8．
在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，
即64＝（5+x）2+25﹣x2，
解得x＝1.4．
即AE＝1.4．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．
【变式2-3】如图，在△ABC中，AC=61，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB＝2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，得到AB＝2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．
【解答】解：连接DE，
∵AD⊥BC，点E是AB的中点，
∴AB＝2DE，
∵DF⊥CE，点F是线段CE的中点，
∴DE＝DC，
∴AB＝2CD，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即（2CD）2﹣（13﹣CD）2＝（61）2﹣DC2，
解得，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【变式2-4】（2021秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 ．
【分析】连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形，由勾股定理求出AD，AF，DF的长，设EF＝x，则AE＝5﹣x，得出(25)2−(5−x)2=(5)2−x2，求出EF＝1，证明Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），由全等三角形的性质得出EG＝BG，设BG＝y，则EG＝3﹣y，由勾股定理得出12+y2＝（3﹣y）2，解方程求出y=43，则可得出答案．
【解答】解：连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形，
∴DM＝BC＝4，
∴AD=AM2+DM2=22+42=25，
∵CF＝1，BC＝AB＝4，
∴BF＝3，
∴AF=AB2+BF2=42+32=5，
∵DC＝2，
∴DF=DC2+CF2=5，
设EF＝x，则AE＝5﹣x，
∵AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2，
∴(25)2−(5−x)2=(5)2−x2，
∴x＝1，
∴EF＝1，
∴AE＝4，
∴AE＝AB，
在Rt△AEG和Rt△ABG中，
AE=ABAG=AG，
∴Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），
∴EG＝BG，
设BG＝y，则EG＝3﹣y，
∵EF2+EG2＝FG2，
∴12+y2＝（3﹣y）2，
∴y=43，
∴BG=43，
故答案为：43；
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2-5】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
【分析】设BC＝xcm，则CD＝（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，
∵BC+CD＝34，
∴CD＝34﹣x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，
∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，
解得x＝8．
∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
【变式2-6】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠B＝2∠CAD．
（2）求BD的长度；
（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．
【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明；
（2）设CD＝x（x＞0），由勾股定理得到AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，列出关于x的方程，求出x的值，即可得到答案；
（3）由三角形面积公式得到12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，
∴∠B+2∠C＝180°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
∴2∠C+2∠CAD＝180°，
∴∠B＝2∠CAD，
（2）解：设CD＝x（x＞0），
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2＝AD2，
∴102﹣（10﹣x）2=(210)2−x2，
∴x＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣2＝8；
（3）解：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，且PM＝PN，连接AP，
在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=102−82=6，
∵△ABC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积，
∴12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN，
∴10×6＝（10+210）PM，
∴PM＝10﹣210，
∴P到AB的距离是10﹣210．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程；由三角形面积公式得到12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN．
题型三 翻折问题中的方程思想
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（ ）
A．5B．34C．3 5D．61
【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC=AB2+BC2=62+82=10，
∵将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，
∴AD＝DE，∠DEB＝∠A＝90°，BE＝AB＝6，
∴∠CED＝90°，CE＝10﹣6＝4，
∵CD2＝DE2+CE2，
∴（8﹣AD）2＝AD2+42，
∴AD＝3，
∴BD=AB2+AD2=62+32=35，
故选：C．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．154cmB．254cmC．74cmD．无法确定
【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．
【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，
∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD＝8﹣x，
在△ACD中，∠C＝90°，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x=74，
即CD的长为74cm．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）
A．95B．125C．165D．185
【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长．
【解答】解：连接BD交AC于点F，
∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∴BF＝DF，∠BFC＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC=AB2+BC2=42+32=5，
设CF＝x，则AF＝5﹣x，
∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，
∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，
∴x=95，
∴CF=95，
∵CE＝BC，
∴CF=12DE，
∴DE=185．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【分析】在Rt△OAB中，OA＝4，OB＝3，用勾股定理计算出AB＝5，再根据折叠的性质得BA′＝BA＝5，CA′＝CA，则OA′＝BA′﹣OB＝2，设OC＝t，则CA＝CA′＝4﹣t，在Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t2+22＝（4﹣t）2，解得t=32，则C点坐标为（0，32）．
【解答】解：∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△OAB中，AB=OA2+OB2=42+32=5，
∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴BA′＝BA＝5，CA′＝CA，
∴OA′＝BA′﹣OB＝5﹣3＝2，
设OC＝t，则CA＝CA′＝OA﹣OC＝4﹣t，
在Rt△OA′C中，由勾股定理得：OC2+OA′2＝CA′2，
即t2+22＝（4﹣t）2，
解得：t=32，
∴C点坐标为（0，32）．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的．若AB＝4，BC＝6，则OD的长为 ．
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠OAC＝∠ACB，
由折叠可得∠ACO＝∠ACB，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴AO＝CO，
在Rt△DOC中，CO2＝DO2+CD2，
即（6﹣OD）2＝DO2+16，
解得OD=53，
故答案为：53．
【点评】本题考查了翻折变换，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【变式3-5】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求CE的长；
（2）求点D的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质以及勾股定理即可求出线段C的长；
（2）在Rt△DCE中，由DE＝OD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标．
【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，
∴BE=AE2−AB2=102−82=6，
∴CE＝BC﹣BE＝4；
（2）在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，
又∵DE＝OD，
∴（8﹣OD）2+42＝OD2，
∴OD＝5，
∴D（0，5）．
【点评】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
【变式3-6】（2022秋•锦江区校级期中）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，2），折叠长方形使得点C与点A重合，折痕交BC于点D、交OA于点E，点O的对应点为F．
（1）求点D的坐标；
（2）求折痕DE的长度．
【分析】（1）由勾股定理得AD2﹣BD2＝AB2，由折叠性质得AD＝CD，进而得出CD的方程求得CD，便可得出D点坐标；
（2）连接AC，与DE交于点H，由勾股定理依次求得AC，DH便可．
【解答】解：（1）∵A（6，0），B（6，2），
∴OA＝BC＝6，OC＝AB＝2，
由折叠性质得，AD＝CD，
∵∠ABD＝90°，
∴AD2﹣BD2＝AB2，
∴CD2﹣（6﹣CD）2＝22，
∴CD=103，
∴D（103，2）；
（2）连接AC，与DE交于点H，
则DE⊥AC，CH＝AH，
∵CD∥AE，
∴∠DCH＝∠EAH，
∵∠CHD＝∠AHE，
∴△CDH≌△AEH（ASA），
∴DH＝EH，
∵AC=AB2+BC2=22+62=210，
∴CH=12AC=10，
∴DH=CD2−CH2=(103)2−(10)2=103，
∴DE＝2DH=2103．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出CD的方程．
题型四 实际问题中的方程思想
【例题4】（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．
【解答】解：设门高为x尺，则竹竿的长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：
x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，
解得：x＝7.5，
∴门高7.5尺，竹竿的长＝7.5+1＝8.5（尺）．
【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
【变式4-1】（2021秋•源城区月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图②）．量得BC=5米，求旗杆AB的高度．
【分析】设旗杆AB的高度为x m,在Rt△ABC中，由勾股定理可求出x=12，由此即可解决问题．
【解答】解：设AB=x m,则AC=（x+1）m,
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
∴旗杆AB的高度为12米．
【点评】本题考查勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【分析】由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．
【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，
设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°，
∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，
又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，
∴62+（18﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝10（cm）．
答：机器人行走的路程BC是10cm．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．
【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x．
【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
则10+a＝x+b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，
∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）
答：树高AB为12米．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．
【变式4-4】（2022春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【分析】本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解．
【解答】解：如图所示：
根据题意，得
AC＝AD﹣BE＝13﹣8＝5m，BC＝12m．
根据勾股定理，得
AB=AC2+BC2=13m．
则小鸟所用的时间是13÷2＝6.5（s）．
答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．
【点评】此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间＝路程÷速度．
【变式4-5】（2021秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）
【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．
【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°．
设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm，
由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm．
∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25（cm），
∴CF=A′C2−A′F2=60（cm）．
又∵EF＝AD＝3cm，
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴点C离地面的距离为63cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
【变式4-6】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12米，
∴DM＝8米，
∴BM=DM2+BD2=82+152=17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
【变式4-7】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得．
【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，
解得x＝15，
∴E站应建在距A站15km处．
【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．
【变式4-8】（2021秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．
（1）判断△ACM的形状，并说明理由；
（2）求公路AB的长．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下：
∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米，
∴CM2+AM2＝AC2，
∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°；
（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，
由（1）可知，∠AMC＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2，
解得：x＝16.9，
答：公路AB的长为16.9千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式4-9】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．
（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC＝AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2＝BC2，解方程即可．
【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；
（2）连接BC，
由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．
由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．
∵OA⊥OB，
∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，
即：122+（36﹣BC）2＝BC2，
解得BC＝20．
答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．
【变式4-10】（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；
（2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），
故答案为：1.6，3，1；
（2）∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为xm，
则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5（m），
即秋千的长度是5m；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，
∵DE＝0.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−AC2=52−32=4（m），
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长
【例题1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．12C．28D．30
【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm
【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 ．
【变式1-3】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（ ）
A．8B．10C．24D．48
【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为2+6．则其面积是（ ）
A．12B．1C．62D．2
【变式1-5】（2022秋•遂川县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC=42，AB＝3AC，求AC的长．
【变式1-6】（2022春•虞城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c，
（1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值．
（2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值．
【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD＝1，BD=17，则BC的长为 ．
【变式1-8】（2021秋•重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝ ．
【变式1-9】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．3B．5C．2.4D．2.5
【变式1-10】（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度
【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．
（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；
（2）若BC＝20，求CD的长．
【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．
【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【变式2-3】如图，在△ABC中，AC=61，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式2-4】（2021秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 ．
【变式2-5】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
【变式2-6】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠B＝2∠CAD．
（2）求BD的长度；
（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．
题型三 翻折问题中的方程思想
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（ ）
A．5B．34C．3 5D．61
【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．154cmB．254cmC．74cmD．无法确定
【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）
A．95B．125C．165D．185
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的．若AB＝4，BC＝6，则OD的长为 ．
【变式3-5】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求CE的长；
（2）求点D的坐标．
【变式3-6】（2022秋•锦江区校级期中）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，2），折叠长方形使得点C与点A重合，折痕交BC于点D、交OA于点E，点O的对应点为F．
（1）求点D的坐标；
（2）求折痕DE的长度．
题型四 实际问题中的方程思想
【例题4】（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
【变式4-1】（2021秋•源城区月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图②）．量得BC=5米，求旗杆AB的高度．
【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
【变式4-4】（2022春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【变式4-5】（2021秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）
【变式4-6】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【变式4-7】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【变式4-8】（2021秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．
（1）判断△ACM的形状，并说明理由；
（2）求公路AB的长．
【变式4-9】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【变式4-10】（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 方程思想在勾股定理中的应用
题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长
【例题1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．12C．28D．30
【分析】由a与b的比值，设a＝3k，b＝4k，再由c的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，得出a、b的长，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：∵a：b＝3：4，
设a＝3k，b＝4k，
在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
即9k2+16k2＝100，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
则a＝3k＝6，b＝4k＝8，
∴△ABC的面积=12ab=12×6×8＝24．
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出a和b是解本题的关键．
【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm
【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
【解答】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，
根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，
整理得：x2＝16，
解得：x＝4，
∴两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 ．
【分析】根据a+c＝32和a：c＝3：5可以准确计算a、c的长度，根据a、c的长度计算b的长度，即可求得a+b+c．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，即c2＝b2+a2，
∵a+c=32a：c=3：5，
∴a＝12，c＝20，
∵c2＝b2+a2，
∴b＝16．
∴a+b+c＝12+16＝20＝48．
故答案为：48．
【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据a、c的两个等量关系式计算a、c的长度是解题的关键．
【变式1-3】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（ ）
A．8B．10C．24D．48
【分析】设另一直角边长为x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设另一直角边长为x，则斜边长为（x+2），
由勾股定理得，x2+62＝（x+2）2，
解得，x＝8，
∴该三角形的面积=12×6×8＝24，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为2+6．则其面积是（ ）
A．12B．1C．62D．2
【分析】根据已知可得到两直角边的和，根据完全平方公式即可求得两直角边的乘积，从而不难求得其面积．
【解答】解：设两直角边分别为：a，b，斜边为c，
∵直角三角形的斜边为2，周长为2+6，
∴a+b=6，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝4+2ab＝6，
∴ab＝1，
∵三角形有面积=12ab=12，
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理及完全平方和公式的运用．
【变式1-5】（2022秋•遂川县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC=42，AB＝3AC，求AC的长．
【分析】根据勾股定理直接求解即可．
【解答】解：设AC的长为x，则AB的长为3x．
在直角△ABC中，∠C＝90°．
∴AC2+BC2＝AB2．
∵BC=42，
∴x2+(42)2=(3x)2，
x2+32＝9x2，
解得x＝±2（﹣2舍去）．
∴AC＝2．
【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1-6】（2022春•虞城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c，
（1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值．
（2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值．
【分析】（1）设a＝3x，则b＝4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
（2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b＝3：4，
∴设a＝3x，则b＝4x．
∵a2+b2＝c2，即（3x）2+（4x）2＝152，
解得x＝9，
∴a＝3x＝27，b＝4x＝36；
（2）∵△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴a2+b2＝c2，
∵c﹣a＝4，b＝16，
∴a2+256＝（a+4）2，
解得：a＝30．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD＝1，BD=17，则BC的长为 ．
【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD＝CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得CD＝CB（设为λ）；
由勾股定理得：
AB2＝BD2﹣AD2，而BD=17，AD＝1，
∴AB＝4，AC＝4﹣λ；由勾股定理得：
λ2＝12+（4﹣λ）2，
解得：λ=178．
故答案为178．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【变式1-8】（2021秋•重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝ ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BDE，根据等式的性质得到∠CAE＝∠DEB，求得AC＝EC，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝BD＝4，
∴∠BAE＝∠BDE，
∵CB⊥BD，
∴∠DBE＝∠CAB＝90°，
∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠DEB，
∵∠AEC＝∠DEB，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴AC＝EC，
∵BE＝1，
∴BC＝AC+1，
∵AC2+AB2＝BC2，
∴AC2+42＝（AC+1）2，
∴AC=152，
故答案为：152．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键．
【变式1-9】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．3B．5C．2.4D．2.5
【分析】连接CE，由矩形的性质可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE＝CE；设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．
【解答】解：连接CE，如图：
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，
∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴DE的长为3．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相相关性质及定理是解题的关键．
【变式1-10】（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，
∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，
∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴（AD+5）2＝AD2+122，
∴AD=11910，
∴AC=11910+5=16910．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
关性质及定理是解题的关键．
题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度
【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．
（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；
（2）若BC＝20，求CD的长．
【分析】（1）由勾股定理可得出答案；
（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，由勾股定理可得出102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，
∴AD=AC2−CD2=102−62=8，
∴BD=AB2−AD2=172−82=15．
故答案为：8，15；
（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，
∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，
∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，
解得x=21140，
∴CD=21140．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．
【分析】设BD＝x，则CD＝14﹣x，根据勾股定理得出方程，解方程求出x的值，再由勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△ADB与△ACD均为直角三角形，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
∴BD＝9，
∴AD=AB2−BD2=152−92=12．
【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出BD是解决问题的关键．
【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；
（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．
【解答】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE．
∵BE2﹣AE2＝AC2，
∴AE2+AC2＝CE2．
∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）在Rt△BDE中，BE=BD2+DE2=5．
所以CE＝BE＝5．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，
所以AC2＝25﹣x2．
∵BD＝4，
∴BC＝2BD＝8．
在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，
即64＝（5+x）2+25﹣x2，
解得x＝1.4．
即AE＝1.4．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．
【变式2-3】如图，在△ABC中，AC=61，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB＝2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，得到AB＝2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．
【解答】解：连接DE，
∵AD⊥BC，点E是AB的中点，
∴AB＝2DE，
∵DF⊥CE，点F是线段CE的中点，
∴DE＝DC，
∴AB＝2CD，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即（2CD）2﹣（13﹣CD）2＝（61）2﹣DC2，
解得，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【变式2-4】（2021秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 ．
【分析】连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形，由勾股定理求出AD，AF，DF的长，设EF＝x，则AE＝5﹣x，得出(25)2−(5−x)2=(5)2−x2，求出EF＝1，证明Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），由全等三角形的性质得出EG＝BG，设BG＝y，则EG＝3﹣y，由勾股定理得出12+y2＝（3﹣y）2，解方程求出y=43，则可得出答案．
【解答】解：连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形，
∴DM＝BC＝4，
∴AD=AM2+DM2=22+42=25，
∵CF＝1，BC＝AB＝4，
∴BF＝3，
∴AF=AB2+BF2=42+32=5，
∵DC＝2，
∴DF=DC2+CF2=5，
设EF＝x，则AE＝5﹣x，
∵AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2，
∴(25)2−(5−x)2=(5)2−x2，
∴x＝1，
∴EF＝1，
∴AE＝4，
∴AE＝AB，
在Rt△AEG和Rt△ABG中，
AE=ABAG=AG，
∴Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），
∴EG＝BG，
设BG＝y，则EG＝3﹣y，
∵EF2+EG2＝FG2，
∴12+y2＝（3﹣y）2，
∴y=43，
∴BG=43，
故答案为：43；
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2-5】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
【分析】设BC＝xcm，则CD＝（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，
∵BC+CD＝34，
∴CD＝34﹣x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，
∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，
解得x＝8．
∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
【变式2-6】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠B＝2∠CAD．
（2）求BD的长度；
（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．
【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明；
（2）设CD＝x（x＞0），由勾股定理得到AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，列出关于x的方程，求出x的值，即可得到答案；
（3）由三角形面积公式得到12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，
∴∠B+2∠C＝180°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
∴2∠C+2∠CAD＝180°，
∴∠B＝2∠CAD，
（2）解：设CD＝x（x＞0），
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2＝AD2，
∴102﹣（10﹣x）2=(210)2−x2，
∴x＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣2＝8；
（3）解：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，且PM＝PN，连接AP，
在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=102−82=6，
∵△ABC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积，
∴12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN，
∴10×6＝（10+210）PM，
∴PM＝10﹣210，
∴P到AB的距离是10﹣210．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程；由三角形面积公式得到12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN．
题型三 翻折问题中的方程思想
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（ ）
A．5B．34C．3 5D．61
【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC=AB2+BC2=62+82=10，
∵将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，
∴AD＝DE，∠DEB＝∠A＝90°，BE＝AB＝6，
∴∠CED＝90°，CE＝10﹣6＝4，
∵CD2＝DE2+CE2，
∴（8﹣AD）2＝AD2+42，
∴AD＝3，
∴BD=AB2+AD2=62+32=35，
故选：C．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．154cmB．254cmC．74cmD．无法确定
【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．
【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，
∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD＝8﹣x，
在△ACD中，∠C＝90°，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x=74，
即CD的长为74cm．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）
A．95B．125C．165D．185
【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长．
【解答】解：连接BD交AC于点F，
∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∴BF＝DF，∠BFC＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC=AB2+BC2=42+32=5，
设CF＝x，则AF＝5﹣x，
∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，
∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，
∴x=95，
∴CF=95，
∵CE＝BC，
∴CF=12DE，
∴DE=185．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【分析】在Rt△OAB中，OA＝4，OB＝3，用勾股定理计算出AB＝5，再根据折叠的性质得BA′＝BA＝5，CA′＝CA，则OA′＝BA′﹣OB＝2，设OC＝t，则CA＝CA′＝4﹣t，在Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t2+22＝（4﹣t）2，解得t=32，则C点坐标为（0，32）．
【解答】解：∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△OAB中，AB=OA2+OB2=42+32=5，
∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴BA′＝BA＝5，CA′＝CA，
∴OA′＝BA′﹣OB＝5﹣3＝2，
设OC＝t，则CA＝CA′＝OA﹣OC＝4﹣t，
在Rt△OA′C中，由勾股定理得：OC2+OA′2＝CA′2，
即t2+22＝（4﹣t）2，
解得：t=32，
∴C点坐标为（0，32）．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的．若AB＝4，BC＝6，则OD的长为 ．
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠OAC＝∠ACB，
由折叠可得∠ACO＝∠ACB，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴AO＝CO，
在Rt△DOC中，CO2＝DO2+CD2，
即（6﹣OD）2＝DO2+16，
解得OD=53，
故答案为：53．
【点评】本题考查了翻折变换，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【变式3-5】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求CE的长；
（2）求点D的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质以及勾股定理即可求出线段C的长；
（2）在Rt△DCE中，由DE＝OD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标．
【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，
∴BE=AE2−AB2=102−82=6，
∴CE＝BC﹣BE＝4；
（2）在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，
又∵DE＝OD，
∴（8﹣OD）2+42＝OD2，
∴OD＝5，
∴D（0，5）．
【点评】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
【变式3-6】（2022秋•锦江区校级期中）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，2），折叠长方形使得点C与点A重合，折痕交BC于点D、交OA于点E，点O的对应点为F．
（1）求点D的坐标；
（2）求折痕DE的长度．
【分析】（1）由勾股定理得AD2﹣BD2＝AB2，由折叠性质得AD＝CD，进而得出CD的方程求得CD，便可得出D点坐标；
（2）连接AC，与DE交于点H，由勾股定理依次求得AC，DH便可．
【解答】解：（1）∵A（6，0），B（6，2），
∴OA＝BC＝6，OC＝AB＝2，
由折叠性质得，AD＝CD，
∵∠ABD＝90°，
∴AD2﹣BD2＝AB2，
∴CD2﹣（6﹣CD）2＝22，
∴CD=103，
∴D（103，2）；
（2）连接AC，与DE交于点H，
则DE⊥AC，CH＝AH，
∵CD∥AE，
∴∠DCH＝∠EAH，
∵∠CHD＝∠AHE，
∴△CDH≌△AEH（ASA），
∴DH＝EH，
∵AC=AB2+BC2=22+62=210，
∴CH=12AC=10，
∴DH=CD2−CH2=(103)2−(10)2=103，
∴DE＝2DH=2103．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出CD的方程．
题型四 实际问题中的方程思想
【例题4】（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．
【解答】解：设门高为x尺，则竹竿的长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：
x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，
解得：x＝7.5，
∴门高7.5尺，竹竿的长＝7.5+1＝8.5（尺）．
【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
【变式4-1】（2021秋•源城区月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图②）．量得BC=5米，求旗杆AB的高度．
【分析】设旗杆AB的高度为x m,在Rt△ABC中，由勾股定理可求出x=12，由此即可解决问题．
【解答】解：设AB=x m,则AC=（x+1）m,
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
∴旗杆AB的高度为12米．
【点评】本题考查勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【分析】由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．
【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，
设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°，
∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，
又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，
∴62+（18﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝10（cm）．
答：机器人行走的路程BC是10cm．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．
【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x．
【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
则10+a＝x+b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，
∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）
答：树高AB为12米．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．
【变式4-4】（2022春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【分析】本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解．
【解答】解：如图所示：
根据题意，得
AC＝AD﹣BE＝13﹣8＝5m，BC＝12m．
根据勾股定理，得
AB=AC2+BC2=13m．
则小鸟所用的时间是13÷2＝6.5（s）．
答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．
【点评】此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间＝路程÷速度．
【变式4-5】（2021秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）
【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．
【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°．
设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm，
由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm．
∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25（cm），
∴CF=A′C2−A′F2=60（cm）．
又∵EF＝AD＝3cm，
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴点C离地面的距离为63cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
【变式4-6】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12米，
∴DM＝8米，
∴BM=DM2+BD2=82+152=17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
【变式4-7】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得．
【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，
解得x＝15，
∴E站应建在距A站15km处．
【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．
【变式4-8】（2021秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．
（1）判断△ACM的形状，并说明理由；
（2）求公路AB的长．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下：
∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米，
∴CM2+AM2＝AC2，
∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°；
（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，
由（1）可知，∠AMC＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2，
解得：x＝16.9，
答：公路AB的长为16.9千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式4-9】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．
（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC＝AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2＝BC2，解方程即可．
【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；
（2）连接BC，
由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．
由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．
∵OA⊥OB，
∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，
即：122+（36﹣BC）2＝BC2，
解得BC＝20．
答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．
【变式4-10】（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；
（2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），
故答案为：1.6，3，1；
（2）∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为xm，
则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5（m），
即秋千的长度是5m；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，
∵DE＝0.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−AC2=52−32=4（m），
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
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