2024江西省多校联考高二下学期6月摸底考试数学含解析

这是一份2024江西省多校联考高二下学期6月摸底考试数学含解析，共25页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知，集合，则“”是“”的， 在中，角的对边分别为， 已知函数在内无极值点，且，则等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2. 对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示：
估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为（ ）
A. 165B. 170C. 175D. 185
3. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在矩形中，过边上的点分别作的垂线，分别交于，过边上点作的垂线，分别交于，，则集合中的元素个数为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 已知，集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6. 在中，角的对边分别为.若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（ ）
A B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（ ）
（参考数据：）
A. 的个位数是3B. 的个位数是1
C. 是173位数D. 是172位数
10. 已知函数在内无极值点，且，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 若不等式在区间上有解，则
D. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称
11. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（ ）
A. 不存在，使得平面
B. 当平面平面时，
C. 线段长的最小值为
D. 当时，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
13. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________.
14. 已知分别为椭圆的上､下焦点，，直线经过点且与交于两点，若垂直平分线段，则的周长为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 学生的安全是关乎千家万户的大事，对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假，某市教体局针对当前的实际情况，组织各学校进行安全教育，并进行了安全知识和意识的测试，满分100分，成绩不低于60分为合格，否则为不合格.为了解安全教育的成效，随机抽查了辖区内某校180名学生的测试成绩，将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图.
（1）若抽查学生中，分数段内的女生人数分别为，完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为测试成绩与性别有关联？
（2）若对抽查学生的测试成绩进行量化转换，“合格”记5分，“不合格”记0分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
16. 已知函数.
（1）若，当时，证明：；
（2）若，讨论的单调性.
17. 如图，在中，分别为边的中点，将沿折起到处，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上.
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
19. 对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和.
（1）若，求数列前项和；
（2）对互不相等的质数，证明：，并求的值.使用寿命（小时）
100
120
150
165
185
200
210
230
个数
8
32
45
35
23
26
19
12
不合格
合格
合计
男生
女生
合计
0.1
005
0.005
2.706
3.841
7.879
高二数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对化简求出其实部和虚部，然后由其在复平面内对应的点位于第四象限，列不等式组可求出实数的取值范围
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点为，
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得.
故选：D.
2. 对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示：
估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为（ ）
A. 165B. 170C. 175D. 185
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.
【详解】因为为整数，所以该组数据的第60百分位数是将这组数据从小到大排列后第120个数据和第121个数据的平均数，由表知，第120个数据为165，第121个数据为185，所以第60百分位数为.
故选：C.
3. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线.
【详解】由得，故抛物线的准线方程为.
故选：D
4. 如图，在矩形中，过边上的点分别作的垂线，分别交于，过边上点作的垂线，分别交于，，则集合中的元素个数为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的几何意义即可求解.
【详解】在上的投影向量仅有4种情况，分别是，
由数量积的几何意义知也仅有4个不同的值，所以该集合中有4个元素.
故选：B.
5. 已知，集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】若，则，或，所以，或.
当时，，不满足集合中元素的互异性，故；
当时，，
故由，可得；
反之，当时，显然也成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
6. 在中，角的对边分别为.若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知条件利用正弦定理化简得，余弦定理把角化边，结合基本不等式求最小值.
【详解】由，有，
由正弦定理，得，
则，有，
所以，
当且仅当时等号成立，即最小值为.
故选：A.
7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当时，令，求导后结合已知可得在上单调递减，再由可得到时，，当时，，再利用为奇函数，可求出结果.
【详解】当时，令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，
于是当时，，即；
当时，，即.
又为上的奇函数，
所以当时，，当时，，
又，
所以的解集为.
故选：A.
8. 已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，由，得点轨迹方程，，故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，点轨迹方程与直线联立方程组，求出点的坐标即可.
【详解】设，由，得，化简得，
由，得，所以，
故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，
此时线段的方程为，由并结合，
解得故此时点的坐标为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（ ）
（参考数据：）
A. 的个位数是3B. 的个位数是1
C. 是173位数D. 是172位数
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB，因为的个位数以4为周期循环往复，则的个位数与的个位数相同，即可判断AB；对于CD，通过对数运算，得即可判断CD.
【详解】对于AB,由，
个位数分别为以4为周期循环往复，
因为余数为1，
故的个位数与的个位数相同，
即的个位数为3，故A正确，B错误；
对于CD，因为，
所以，
因为，
所以为173位数，故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 已知函数在内无极值点，且，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 若不等式在区间上有解，则
D. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】先对函数化简变形得，然后由可得，再由在内无极值点，得，则得，从而可求出，求出的解析式，再逐个分析判断即可.
【详解】，
由，得，
所以的最小正周期，
又在内无极值点，所以，
所以，所以，经验证符合条件，
所以，
对于A，，所以A正确，
对于B，的最小正周期为，所以B错误；
对于C，若，则，由在上有解，
得在上有解，所以，解得，故C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
令，则，
所以为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（ ）
A. 不存在，使得平面
B. 当平面平面时，
C. 线段长的最小值为
D. 当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用举反例可判断A，利用面面平行的性质及向量的线性运算及数量积运算可判断BC选项，通过画正方体的截面判断D选项的正确性，从而确定正确答案.
【详解】当时，与重合，与重合，
易证平面，即存在，使得平面，故A错误；
若平面平面，因为平面平面，平面平面，
所以，设，因为为的中点，
所以为的中点，所以，延长到，使得，
同理可得，又，所以，又为中点，
所以，所以，所以，故B正确；
由题意知，且，
故
（当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立，
所以，故C正确；
当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为，
故的面积为
.，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
【答案】-448
【解析】
【分析】根据展开式，将配为即可根据二项式定理进行计算.
【详解】由题意知为的展开式中项的系数，即展开式中第6项的系数，其为.
故答案为：-448.
13. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点在底面的射影即为的外心,可先由正弦定理求得外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半径,即可求得球的表面积.
【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心，
如下图，又，所以的外接圆的半径，
从而三棱锥的高为.
设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，
故球的表面积为.
故答案为：.
14. 已知分别为椭圆的上､下焦点，，直线经过点且与交于两点，若垂直平分线段，则的周长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线l过，求出c和a的值；连接，根据垂直平分线段得，从而可得的周长为．
【详解】由题意知A为的左顶点，设的半焦距为，则，
所以线段的中点为，直线的斜率为，
所以的斜率为，所以直线的方程为，
又过，所以，解得，
所以.
连接，因为垂直平分线段，所以，
所以的周长为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 学生的安全是关乎千家万户的大事，对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假，某市教体局针对当前的实际情况，组织各学校进行安全教育，并进行了安全知识和意识的测试，满分100分，成绩不低于60分为合格，否则为不合格.为了解安全教育的成效，随机抽查了辖区内某校180名学生的测试成绩，将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图.
（1）若抽查的学生中，分数段内的女生人数分别为，完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为测试成绩与性别有关联？
（2）若对抽查学生的测试成绩进行量化转换，“合格”记5分，“不合格”记0分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，测试成绩与性别无关联
（2）分布列见解析，12
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求出每一组的人数，然后填写列联表，再利用公式求出，与临界值表比较可得答案；
（2）利用分层随机抽样的定义计算出从“合格”与“不合格”的学生中抽取的人数，则可得的取值为，求出相应的概率，从而可求得的分布列和数学期望.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，得分在的人数分别为
，，
由题意知“不合格”的人数为72，“合格”的人数为108，
故列联表为：
零假设：测试成绩与性别无关联，
根据列联表中的数据，计算得
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即测试成绩与性别无关联.
【小问2详解】
在“合格”中抽的人数为，“不合格”中抽的人数为，
故的取值为，则
，
，
故所求分布列为
所以.
16. 已知函数.
（1）若，当时，证明：；
（2）若，讨论的单调性.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调性，进而可得到，即可证明结果；
（2）对求导得到，令，得到或，再对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果.
【小问1详解】
当时，，即证当时，，
令，则，
令，则在区间上恒成立，
所以，当且仅当时取等号，
所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号，
所以在上单调递减，
所以对，所以，即.
【小问2详解】
，令，得或，
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，，令，得，或，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
③当时，，令，得，或，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
17. 如图，在中，分别为边的中点，将沿折起到处，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，即可求解；
（2）以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，即可解出.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，则，且，
由题意知，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
由题意知，
因为分别为的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：设，则，
所以，所以，
因为在中，，所以，
所以，
所以两两垂直，故以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的一个法向量，则，即，
令，解得，所以
设平面的一个法向量，则，即，
令，解得，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上.
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）由渐近线的倾斜角为，可得，从而可求出离心率，则可得，代入双曲线方程，再结合可求得，从而可求出双曲线的方程；
（2）设的方程为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，表示出直线的方程和直线的方程，从而可表示出两点的坐标，然后化简计算即可.
【小问1详解】
因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为，
所以，所以，
又，即在上，所以，
所以，故的方程为.
小问2详解】
由（1）得，设，
由题意知的斜率不为0，设的方程为，
代入的方程并整理，得，
则，
所以，且.
直线的方程为，令，得，故，
直线的方程为，令，得，故，
所以
所以为定值，且定值为.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定值问题，（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简后，再利用根与系数的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
19. 对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和.
（1）若，求数列的前项和；
（2）对互不相等的质数，证明：，并求的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由丰度指数的定义，结合的正因数，求出，再由分组求和与错位相减法求数列的前项和；
（2）由丰度指数的定义，证明，利用结论求的值.
【小问1详解】
因为共有个正因数，它们是，
所以，
即，所以，
所以
令，则；
令，
则，
两式相减，得，
所以，
所以.
小问2详解】
证明：因为为质数，则的正因数有4个，它们是，
的正因数均有2个，分别为和；
的正因数有个，分别为.
所以，
因为，所以
.
使用寿命（小时）
100
120
150
165
185
200
210
230
个数
8
32
45
35
23
26
19
12
不合格
合格
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.005
2.706
3.841
7.879
不合格
合格
合计
男生
42
48
90
女生
30
60
90
合计
72
108
180
0
5
10
15
20