天津市和平区2022-2023学年高一（上）期末数学试卷

这是一份天津市和平区2022-2023学年高一（上）期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{0}B．{0，1}
C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4，5}
2．（3分）命题“∃x＞0，x3≥3x+1”的否定是（ ）
A．∀x＞0，x3＜3x+1B．∀x＜0，x3≥3x+1
C．∃x＞0，x3＜3x+1D．∃x＜0，x3＜3x+1
3．（3分）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA＝0.2m，AD＝0.3m，∠AOB＝120°，则该扇环形砖雕的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）设a，b为实数，则“a＜b”是“a2＜b2”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（3分）cs（﹣300°）＝（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）若，，c＝60.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
7．（3分）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）
8．（3分）设f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，当x≥0时，单调递增，若f（1﹣m）﹣f（m）＜0，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线是函数f（x）的图象的一条对称轴
B．函数f（x）在上单调递减
C．函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得到y＝cs2x的图象
D．函数f（x）在上的最小值为﹣1
二、填空题。（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
10．（4分）函数f（x）＝的定义域为 ．
11．（4分）不等式14﹣4x2≥x的解集为 ．
12．（4分）若tanα＝2，则＝ ．
13．（4分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值 ．
14．（4分）已知，则＝ ．
15．（4分）已知函数满足∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题。（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（9分）已知，α为第二象限角．
（1）求csα的值；
（2）求的值．
17．（10分）计算：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）（2lg43+lg83）（lg32+lg92）．
18．（10分）已知函数f（x）＝4x﹣2x+1+3．
（1）当f（x）＝11时，求x的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求f（x）的最大值和最小值．
19．（10分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围；
（3）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），记函数g（x）的最大值h（a），求h（a）的解析式．
20．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y＝f（x）﹣a在存在零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．（3分）设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{0}B．{0，1}
C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4，5}
【解答】解：因为B＝{2，3，4，5}，所以∁UB＝{0，1}，
又A＝{0，1，2，3}，
所以A∪（∁UB）＝{0，1，2，3}．
故选：C．
2．（3分）命题“∃x＞0，x3≥3x+1”的否定是（ ）
A．∀x＞0，x3＜3x+1B．∀x＜0，x3≥3x+1
C．∃x＞0，x3＜3x+1D．∃x＜0，x3＜3x+1
【解答】解：“∃x＞0，x3≥3x+1”的否定是∀x＞0，x3＜3x+1．
故选：A．
3．（3分）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA＝0.2m，AD＝0.3m，∠AOB＝120°，则该扇环形砖雕的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设扇形OCD和扇形OAB的半径分别为R，r，则R＝OA+AD＝0.5m，r＝0.2m，
设α＝∠AOB＝120°＝，
扇环形砖雕的面积S＝αR2﹣αr2＝α（R2﹣r2）＝•（0.52﹣0.22）＝m2．
故选：D．
4．（3分）设a，b为实数，则“a＜b”是“a2＜b2”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：取a＝﹣2，b＝1，满足a＜b，但a2＝4＞1＝b2，故充分性不满足；
取b＝﹣2，a＝1，满足b2＞a2，但不满足a＜b，故必要性不满足；
故“a＜b”是“a2＜b2”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．（3分）cs（﹣300°）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：cs（﹣300°）＝cs300°＝cs（360°﹣60°）＝cs60°＝．
故选：A．
6．（3分）若，，c＝60.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
【解答】解：c＝60.2＞60＝1，＜（）0＝1，且a＞0，
＜lg31＝0，则c＞a＞b，
故选：B．
7．（3分）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）
【解答】解：因为函数，x＞0，且y＝f（x）在（0，+∞）上连续．
f（e）＝lne﹣＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，
所以函数的零点所在区间为（e，3）．
故选：D．
8．（3分）设f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，当x≥0时，单调递增，若f（1﹣m）﹣f（m）＜0，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，
所以f（1﹣m）﹣f（m）＜0⇒f（1﹣m）＜f（m）⇒f（|1﹣m|）＜f（|m|），
又当x≥0时，f（x）单调递增，
则，解得＜m≤2．
故选：D．
9．（3分）已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线是函数f（x）的图象的一条对称轴
B．函数f（x）在上单调递减
C．函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得到y＝cs2x的图象
D．函数f（x）在上的最小值为﹣1
【解答】解：由题意知，f（）＝0，
所以cs（2•+φ）＝0，即+φ＝+kπ，k∈Z，
因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝cs（2x+），
选项A，令2x+＝kπ，k∈Z，则x＝﹣，k∈Z，
当k＝1时，函数f（x）的图象的一条对称轴是x＝，即A正确；
选项B，令2x+∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，则x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
当k＝1时，函数f（x）在[﹣，]上单调递减，
因为⫋[﹣，]，所以选项B正确；
选项C，f（x）的图象向右平移个单位长度可得到y＝cs[2（x﹣）+]＝cs（2x﹣）≠cs2x，即C不正确；
选项D，由x∈，知2x+∈[，]，
当2x+＝π，即x＝时，f（x）取得最小值，为﹣1，即D正确．
故选：C．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
10．（4分）函数f（x）＝的定义域为 （﹣∞，0）∪[1，+∞） ．
【解答】解：要使原函数有意义，则，即，解得：x＜0或x≥1．
∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
11．（4分）不等式14﹣4x2≥x的解集为 ．
【解答】解：∵14﹣4x2≥x，
∴4x2+x﹣14＝（x+2）（4x﹣7）≤0，
解得﹣2．
∴不等式14﹣4x2≥x的解集为[﹣2，]．
故答案为：[﹣2，]．
12．（4分）若tanα＝2，则＝ 3 ．
【解答】解：∵tanα＝2，
∴．
故答案为：3．
13．（4分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值 ．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，
∴＝＝＝．当且仅当y＝2x＝时取等号．
故答案为．
14．（4分）已知，则＝ 0 ．
【解答】解：sin（+α）＝sin[﹣（﹣α）]＝cs（﹣α）＝，
cs（+α）＝cs[π﹣（﹣α）]＝﹣cs（﹣α）＝﹣，
则＝0．
故答案为：0．
15．（4分）已知函数满足∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【解答】解：因∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则f（x）在R上单调递减，
由x≥﹣1，f（x）＝（2a﹣1）x+a知，2a﹣1＜0，则，
当x＜﹣1时，，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，此时3+a≥1﹣a，解得a≥﹣1，则﹣1≤a≤0，
当a＞0时，因函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在（﹣∞，﹣1）上单调递减，必有，解得0≤a≤1，则，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题。（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（9分）已知，α为第二象限角．
（1）求csα的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵，α为第二象限角，
∴．
（2）＝＝﹣．
17．（10分）计算：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）（2lg43+lg83）（lg32+lg92）．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）lg43＝lg23，lg83＝lg23，lg92＝lg32，
原式＝
＝．
18．（10分）已知函数f（x）＝4x﹣2x+1+3．
（1）当f（x）＝11时，求x的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）当f（x）＝11，即4x﹣2x+1+3＝11时，（2x）2﹣2•2x﹣8＝0
∴（2x﹣4）（2x+2）＝0
∵2x＞0，2x+2＞2，
∴2x﹣4＝0，2x＝4，故x＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）f（x）＝（2x）2﹣2•2x+3 （﹣2≤x≤1）
令∴f（x）＝（2x﹣1）2+2
当2x＝1，即x＝0时，函数的最小值fmin（x）＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当2x＝2，即x＝1时，函数的最大值fmax（x）＝3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
19．（10分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围；
（3）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），记函数g（x）的最大值h（a），求h（a）的解析式．
【解答】解：（1）f（x）是定义在 R上的奇函数，则f（0）＝0，
若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+2x，
∴；
（2）由（1）得，作图如下：
要使f（x）在[﹣2，b）上有最大值，即函数图象在区间[﹣2，b）上有最高点，
则﹣2＜b≤0或b＞1，
故实数b的取值范围为（﹣2，0]∪（1，+∞）；
（3）当x∈[1，2]时，g（x）＝f（x）﹣2ax+1＝﹣x2+（2﹣2a）x+1，
则函数g（x）开口向下，且对称轴的方程为x＝1﹣a，
当1﹣a≤1，即 a≥0时，函数g（x）在区间[1，2]单调递减，
故当x＝1时，函数g（x）取得最大值，最大值是h（a）＝g（1）＝﹣2a+2，
当1＜1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0时，函数g（x）在[1，1﹣a]单调递增，在[1﹣a，﹣1]单调递减，
故当x＝1﹣a时，函数g（x）取最大值，最大值是h（a）＝g（1﹣a）＝a2﹣2a+2，
当1﹣a≥2，即 a≤﹣1时，函数g（x）在区间[1，2]单调递增，
故当x＝2时，函数g（x）取得最大值，最大值是h（a）＝g（2）＝1﹣4a，
故函数g（x）的最大值h（a）＝．
20．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y＝f（x）﹣a在存在零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）＝6csx（sinx﹣csx）+＝3sinxcsx﹣3cs2x+＝sin2x﹣（2cs2x﹣1）＝sin2x﹣cs2x＝，
所以函数f（x）的最小正周期为，
令，k∈Z，则，k∈Z，
所以函数f（x）的对称中心为，k∈Z．
（2）令，k∈Z，则，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（3）因为函数y＝f（x）﹣a在上存在零点，
所以方程在上有解，
当时，，所以，
所以，即0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3]．