2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型一 线段问题（课件）

这是一份2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型一 线段问题（课件），共42页。PPT课件主要包含了t－t＋3，－t2＋2t＋3，t－1，－t2＋3t，例1题图，考向一线段数量关系，考向二线段最值问题，例3题图②，例3题图③，例3题图④等内容，欢迎下载使用。

设点P的横坐标为t，点P的坐标可表示为________________，点Q的坐标可表示为______________；用含t的代数式表示下面的距离：(1)点P到x轴的距离为______________；(2)点P到y轴的距离为______________；(3)点P到对称轴的距离为___________；(4)线段PQ的长为______________；(5)点P到直线BC的距离为______________.
(t，－t2＋2t＋3)
【方法总结】①与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下);_②与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左);_③斜线段时，可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解．
【思维教练】点P位置变化，PQ和QM的代数式表示不相同，需要分点P在BC上方和下方．分别用PQ、QM的代数式代入，构建方程即可；
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得 ，解得 ， ∴y＝－x＋3，∵PM⊥x轴于点M，交直线BC于点Q，且点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，∵PQ＝2QM，当点P在直线BC的上方时，即0PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，QM＝－m＋3，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m＝2或m＝3(舍去)，∴点P的坐标为(2，3)；当点P在直线BC的下方且m>3时，PQ＝m2－3m，QM＝m－3，∴m2－3m＝2(m－3)，解得m＝2(舍去)或m＝3(舍去)，此时点P不存在；当点P在直线BC下方且m<0时，PQ＝m2－3m，QM＝－m＋3，∴m2－3m＝2(－m＋3)，解得m＝－2或m＝3(舍去)，
∴点P的坐标为(－2，－5)．综上所述，点P的坐标为(2，3)或(－2，－5)；
(2)∵点P的横坐标为m， ∴Q(m，3－m)，∵CQ∶QB＝2，C(0，3)，B(3，0)， ∴OM∶MB＝2，当点P在直线BC上方时，即03时，m＝2(m－3)，解得m＝6，此时P(6，－21)；
(2)若CQ∶QB＝2，求点P的坐标
【思维教练】遇到比例线段，找相似，竖直看，水平看，按比例设未知数；
当点P在直线BC下方且m<0时，∵BQ>CQ，∴此情况不存在．综上所述，点P的坐标为(2，3)或(6，－21)；
(3)连接PC，PB，若PC＝PB，求点P的坐标
【思维教练】PC＝PB，则点P在BC的垂直平分线上，由两垂直直线的解析式中k的关系，即可求得该垂直平分线的解析式，与抛物线解析式联立即可求解；
∴直线BC垂直平分线的解析式为y＝x，联立得 ，解得 或 .∴点P坐标为 或 ；
(4)是否存在点P，使点 P到直线 BC的距离是点 M到直线 BC的距离的 3倍？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】通过相似将斜线段的比值转化为竖直线段的比值，表示出线段长，分情况列比例式求解即可．
(4)存在．如解图，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点M作直线BC的垂线，垂足为点F，
∵∠PEQ＝∠MFQ＝90°，∠PQE＝∠MQF，∴△PEQ∽△MFQ，
PQ＝m2－3m，MQ＝－m＋3，∴m2－3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)或m＝－3，∴点P的坐标为(－3，－12)；同理，当点P在点B右侧抛物线上即m>3时，PQ＝m2－3m，MQ＝m－3，∴m2－3m＝3(m－3)，解得m＝3(舍去)．综上所述，点P的坐标为(－3，－12)．
解：(1)①∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得 ，解得 ，∴y＝－x＋3，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，3－m)(0∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵PE∥y轴，PH⊥BC，∴∠HEP＝45°，∠EHP＝90°，
②作PH⊥BC于点H，求PH的最大值；
斜线段最值【思维教练】过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，易证∠HEP＝45°，要求PH的最大值，可先求得PE的最大值，再结合三角函数即可求解；
②解：如解图①，过点P作y轴的平行线交BC于点E，
∴PH＝PE·sin∠HEP＝ PE，∴要求PH的最大值，即求PE的最大值，由①可得PE的最大值为 ，∴PH的最大值为 PE＝ ；
(2) 在抛物线对称轴 l上是否存在一点 F，使得△ACF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△ACF周长的最小值；若不存在，请说明理由；
将军饮马求最值【思维教练】因为AC长为定值， 要使 △ACF周长最小，即要使 CF＋AF的值最小，由点 A、B关于对称轴l对称，可知直线BC与对称轴l的交点即为点F，即可使 CF＋AF最小；
(2)解：存在．如解图②，连接BC交对称轴l于点F，连接AF，
由①知直线BC的解析式为y＝－x＋3，∵点F在直线BC上，抛物线对称轴l为直线x＝1，∴令x＝1，则y＝2， ∴点F的坐标为(1，2)．∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)， ∴OA＝1，OB＝3，OC＝3，由勾股定理得AC＝ ，BC＝ ，∴点F的坐标为(1，2)时，△ACF的周长最小，最小值为 ；
(3)解：如解图③，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AD，过点N作AD的垂线，垂足为点K，过点B作AD的垂线，垂足为点T，交对称轴于点N′，
∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点D的坐标为(1，4)，∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AE＝EB＝2，AB＝4，
由勾股定理得AD＝ ，∴sin∠ADE＝ ，∵NK⊥AD，∴sin∠NDK＝ ， ∴NK＝ DN，∴BN＋ DN＝BN＋NK，∴当B、N、K三点共线时，BN＋ DN取得最小值，即线段BT，
∵S△ABD＝ AB·DE＝ AD·BT，∴ ×4×4＝ ×2 BT，∴BT＝ ，∴BN＋ DN的最小值为 .
1. (2023黔西南州26题16分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
∴y＝－x2＋5x＋6＝－(x－ )2＋ ，∴抛物线的顶点坐标为( ， )； (4分)
(2)由抛物线解析式可求得点C坐标为(0，6)，∴OC＝OA＝6，∠OAC＝45°.∵PD∥x轴，PE∥y轴，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，PD＝PE,(5分)
(2)如图①，点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
∴PD＋PE＝2PE.∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．(6分)设直线AC的解析式为y＝kx＋m，将A(6，0)、C(0，6)两点代入，得 ，解得 .∴y＝－x＋6. (7分)设E点坐标为(t，－t＋6)，则P点坐标为(t，－t2＋5t＋6)，且0∴PE是关于t的二次函数，－1<0，∴当t＝3时，PE有最大值，最大值为9.当t＝3时，－t2＋5t＋6＝12.∴当PD＋PE取最大值时，点P的坐标为(3，12)；(10分)
(3)如图②，点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
∵∠HAC＝45°，∴∠QAC＝∠OCA＝45°，∵AC垂直平分线段MN，∴AM＝AN，∠NAC＝∠MAC，∴∠HAN＝∠MAQ，∴Rt△ANH≌Rt△AMQ，(12分)
(3)解：如解图①，过点A，M分别作y轴、x轴的平行线交于点Q，过点N作x轴的垂线，垂足为点H. 则∠MQA＝∠NHA＝90°，
∴NH＝MQ.∵MQ＝xQ－xM＝6－ ＝ ， ∴NH＝ .设点N的坐标为(t，－t2＋5t＋6)，由NH＝ ，得－t2＋5t＋6＝ .解得t1＝ ，t2＝ .t1，t2均符合题意．∴点N的坐标为( ， )或( ， ).(16分)
【一题多解】如解图②，设直线AC交对称轴l于点F，连接NF.∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC.∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠NFC＝45°，∠MFN＝∠MFC＋∠NFC＝90°，∴NF∥x轴．由(2)可得直线AC的解析式为y＝－x＋6， 当x＝ 时，代入求得y＝ ，