西安市第一中学2024届高三下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份西安市第一中学2024届高三下学期4月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设，则( )
A.B.2iC.-2D.0
3．某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，91，97，94，96，其中位数和极差分别为( )
A.92，8B.93.5，9C.93，9D.93.5，8
4．( )
A.B.C.D.
5．圆心为，且与直线相切的圆在x轴上的弦长为( )
A.2B.4C.D.
6．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则( )
A.B.C.D.
7．在中，，，，则点A到边的距离为( )
A.B.C.D.
8．甲、乙两同学欲给贫困地区儿童捐赠图书，若甲捐赠的图书不少于6本，乙至多比甲多捐赠8本图书，且乙捐赠的图书本数至少是甲捐赠的图书本数的2倍，则甲、乙两人共捐赠的图书最多有( )
A.22本B.23本C.24本D.25本
9．已知为递减等比数列，且，则的概率为( )
A.B.C.D.
10．已知O为坐标原点，双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
11．已知a，b为正数，且，，则( )
A.B.C.D.
12．在棱长为2的正方体中，E为的中点，P为线段上的动点，则当时，的长为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知向量，，则_________.
14．函数的最小正周期为_____________.
15．已知函数在单调递增，则a的取值范围是___________.
16．已知抛物线，的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为____________.
三、解答题
17．记为等差数列的前n项和.已知，.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
18．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求C的方程；
（2）设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M，N两点，求的面积.
19．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，E，F，G分别为，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求D到平面的距离.
20．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
（1）求顾客一次抽奖中奖的概率；
（2）若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值.
21．“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点.
已知曲线.
（1）求C的拐点坐标；
（2）证明：C关于其拐点对称；
（3）设l为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于l的直线都与C有且仅有一个公共点.
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，若直线l过点，且与C仅有一个公共点，求l的极坐标方程.
23．设a，b为正数，且.证明：
（1）；
（2）.
参考答案
1．答案：D
解析：，，所以.
2．答案：A
解析：，故.
3．答案：B
解析：92，88，95，93，91，97，94，96的中位数为，极差为.
4．答案：C
解析：.
5．答案：B
解析：圆心到直线的距离为，即圆的半径，所以圆的方程为，令，则或4，故圆在x轴上的弦长为4.
6．答案：D
解析：圆锥的表面积为，球的表面积为，
故，即，
（负舍）.
故选D.
7．答案：A
解析：在中，由，所以，解得，.
由余弦定理有，故.
设点A到边的距离为d，由三角形面积公式得：，
故，
故选：A.
8．答案：C
解析：设甲、乙分别捐赠x，y本图书，则
其可行域为直线：，：，：所围成的区域，如图，
与交于点（8，16），若使的值最大，显然取，，的最大值为24，即甲、乙两人共捐赠图书最多24本.
9．答案：D
解析：设的公比为q，因为是各项为正数的递减等比数列，故，又因为，故，所以的概率为.
10．答案：D
解析：设C的半焦距为c，离心率为e，由条件得，，不妨设，则.当时，，即，所以，解得.
11．答案：C
解析：由，可知，设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，且，
故当时，则，，故，，且当时，，故，只有C满足要求.D
12．答案：B
解析：连接，，，易知平面，
记，则.
易知，，故，.
13．答案：1
解析：因为，，故，.
14．答案：
解析：，因为的最小正周期为，故的最小正周期为.
15．答案：
解析：设，因为单调递增，若在单调递增，则满足，即，故a的取值范围是.
16．答案：
解析：设，，根据题意可知，故，即，又由抛物线的定义可知，，当时，，故，，，所以，四边形是平行四边形，故四边形的面积为.
17．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）因为，，故，.
所以公差，.
所以.
（2）由（1）可知.
所以.
因为当时，，
故.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设C的半焦距为c，则.
故.
将代入C的方程有，故，，.
所以C的方程为.
（2）由（1）可知C的左焦点为.
故过左焦点且斜率为的直线为l：.
将l与C的方程联立有.
设，，则不妨取，.
故.
且P到l的距离.
所以的面积为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：方法1：（1）因为E，F分别为，的中点，所以，平面.
因为G为的中点，且四边形是正方形，
易知是平行四边形，故，平面，
又因为，且平面，平面，
所以平面平面.
因为平面，故平面.
（2）因为E为的中点，故E到平面的距离为P到平面的距离的一半，
故E到平面的距离为1.
易知的面积为2，故三棱锥的体积为.
易知，又因为平面，故，
又，故平面，，
故，，
所以，故，的面积为.
设D到平面的距离为d，
所以，故.
方法2：（1）连接，设，连接.
由条件知，，M是中点.
E是中点，.
平面，平面，
所以平面.
（2）连接，设.
由于，，，
点D到平面的距离是点B到平面的距离的2倍.
由条件得，，，，.
，.
设B到平面的距离为d，根据三棱锥与三棱锥体积相等得
，解得.
所以D到平面的距离为.
20．答案：（1）；
（2）2000元
解析：（1）设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球，从中随机抽取两个小球，则有，，，，，，，，，共10种情况，其中中奖的情况共有7种.
所以顾客一次抽奖中奖的概率为.
（2）由（1）可知，每次中一等奖的概率为.
每次中二等奖的概率为.
故进行500人次抽奖克出奖品价值的估计值为元.
21．答案：（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）设，则.
设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是的极小值点，且为唯一极值点.
所以曲线的拐点为，即.
（2）因为.
所以关于其拐点对称.
（3）C在拐点处的切线方程为.
设平行于l的直线方程为，与C的方程联立有.
设，则，单调递增.
因为，故当时，l与C有唯一公共点.
当时，，且，，
故存在唯一，使得，
此时l与C有唯一公共点.
同理，当时，，且，，
故存在唯一，使得，此时l与C有唯一公共点.
当时，，且，
故存在唯一，使得，此时l与C有唯一公共点.
同理，当时，，且，
故存在唯一，使得，此时l与C有唯一公共点.
综上，所有平行于l的直线都与C有且仅有一个公共点.
22．答案：（1）；
（2）或或或
解析：（1）利用极坐标与直角坐标转换公式，
将代入，
整理可得C的直角坐标方程为.
（2）点在直角坐标系中的坐标为.
当l的斜率不存在时，显然与C没有公共点，不合题意；
当l的斜率存在时，设l的方程为，与C联立有.
当即时，l与C的渐近线平行，l与C仅有一个公共点，此时l的方程为或.
当时，若线l与C仅有一个公共点，则，
解得，故l的方程为或.
将代入l的方程得到极坐标方程为：或或或.
23．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）因a，b为正数，则，故，
所以，
当且仅当，时“=”成立.
（2）等价于.
根据题设有
，
当且仅当，时“=”成立.