北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)高考解答题专项三　数列

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(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为b2=4,所以a2=2lg2b2=4,所以d=a2-a1=2.
所以an=2+(n-1)×2=2n.
又an=2lg2bn,即2n=2lg2bn,所以n=lg2bn,所以bn=2n.
(2)由(1)得bn=2n=2×2n-1=a2n-1,即bn是数列{an}中的第2n-1项.
设数列{an}的前n项和为Pn,数列{bn}的前n项和为Qn,
因为b7=a26=a64,b8=a27=a128,
所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的,
所以S100=P107-Q7=107×(2+214)2−2-281-2=11 302.
2.(2021广东汕头三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg 499]=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=[lg an],求数列{bn}的前2 021项的和.
解:(1)数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,
所以Snn=12+(n-1)×14=n+14,得Sn=n2+n4,
当n=1时,a1=S1=12,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n4−(n-1)2+n-14=n2,又a1=12也适合上式,
所以an=n2.
(2)由(1)得bn=[lg an]=lgn2,
当n=1时,-1