高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版高考解答题专项六　概率与统计

这是一份高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版高考解答题专项六　概率与统计，共5页。试卷主要包含了820，125>2，一般地,相关系数r的绝对值在0，635等内容，欢迎下载使用。

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350.
(3)根据所给数据,可得2×2列联表:
根据列联表得χ2=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5.820.
由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
2.(2021江苏无锡下学期2月模拟)已知某班有50位学生,现对该班关于举办辩论赛的态度进行调查,他们综合评价成绩(单位:分)的频数分布以及对举办辩论赛的赞成人数如下表:
(1)请根据以上统计数据填写下面2×2列联表,并回答:是否有90%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关?
(2)若采用分层抽样在综合评价成绩在[60,70),[70,80)的学生中随机抽取5人进行追踪调查,并选其中2人担任辩论赛主持人,求担任主持人的2人中至少有1人在[60,70)的概率.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
解:(1)2×2列联表为
则χ2=50×(28×6-4×12)232×18×40×10=3.125>2.706,
所以有90%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关.
(2)采用分层抽样,会在[60,70)里抽3人,用A,B,C表示,[70,80)里抽2人,用D,E表示,设M为事件“担任主持人的2人中没有人在[60,70)内”,则基本事件包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,事件M包含DE,只有1个,则所求事件的概率即为P=1-P(A)=1-110=910.
3.(2021山西太原二模)2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》,规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类.某市在实施垃圾分类之前,对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查.已知该市这样的社区有200个,如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.
(1)根据上述资料,估计当天这50个社区垃圾量的平均值x(精确到整数)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率,请估计这200个社区中“超标”社区的个数;
(3)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查,先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个,再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控,求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率.
解:(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]的频率分别为0.08,0.1,0.2,0.24,0.18,0.12,0.08,所以估计当天这50个社区垃圾量的平均值为x=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08=11.04≈11.
(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2,所以这200个社区中“超标”社区的概率为0.2,所以这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.2=40.
(3)由题意知按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中,垃圾量为[14,16)的社区有3个,分别记为a,b,c,按垃圾量为[16,18]的社区有2个,分别记为d,e,从中任选2个的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7个.所以重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为P=710=0.7.
4.(2021江苏南京二模)某公司对项目A进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据表:
(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明;
(2)该公司计划用7百万元对A,B两个项目进行投资.若公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元所获得的利润y近似满足:y=0.16x-0.49x+1+0.49,求A,B两个项目投资金额分别为多少时,获得的总利润最大?
附:①对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx.
②线性相关系数r=∑i=1nxiyi-nx y(∑i=1nxi2-nx2)(∑i=1nyi2-ny2).一般地,相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.
参考数据:对项目A投资的统计数据表中∑i=15xiyi=11,∑i=15yi2=2.24,4.4≈2.1.
解:(1)由题意可得x=1+2+3+4+55=3,
y=0.3+0.3+0.5+0.9+15=0.6,
代入公式可得∑i=15xiyi-5xy=11-5×3×0.6=2,∑i=15xi2-5x2=55-5×32=10,∑i=15yi2-5y2=2.24-5×0.62=0.44,
所以b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2=210=0.2,a=y-bx=0.6-0.2×3=0,
所以y=bx+a=0.2x,
且r=∑i=1nxiyi-nxy(∑i=1nxi2-nx2)(∑i=1nyi2-ny2)=210×0.44≈22.1≈0.952 4>0.95,
则y与x的线性相关性较强.
(2)由题意,公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元,则对项目A投资(7-x)百万元,
则获得的利润y=0.16x-0.49x+1+0.49+0.2(7-x)=1.89-0.49x+1-0.04x=1.93-0.49x+1+0.04(x+1)≤1.93-20.49x+1×0.04(x+1)=1.93-0.28=1.65,
当且仅当0.49x+1=0.04(x+1),即x=2.5时等号成立,此时取到最大值为1.65百万元,而7-x=4.5百万元.
答:对A,B两个项目投资金额分别为4.5百万元、2.5百万元时,获得的总利润最大,最大为1.65百万元.空气质量等级
锻炼人次
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
空气质量情况
人次≤400
人次>400
好
不好
P(χ2>k)
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
空气质量情况
人次≤400
人次>400
好
33
37
不好
22
8
综合评价
成绩
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
4
3
1
对举办辩论赛的态度
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成
不赞成
合计
P(χ2>k)
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
对举办辩论
赛的态度
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成
28
4
32
不赞成
12
6
18
合计
40
10
50
项目A投资金额
x/百万元
1
2
3
4
5
所获利润y/百万元
0.3
0.3
0.5
0.9
1