高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版高考解答题专项五　第2课时　圆锥曲线中的定点(或定值)问题

这是一份高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版高考解答题专项五　第2课时　圆锥曲线中的定点(或定值)问题，共5页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.
解:(1)直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,则aba2+b2=255.
因为三角形OAB的面积为1,所以12ab=1,即ab=2,解得a=2,b=1,
所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.
(2)直线AB的斜率为-12,设直线l的方程为y=-12x+t,C(x1,y1),D(x2,y2),
把方程y=-12x+t与x24+y2=1联立,消去x,整理得2y2-2ty+t2-1=0,Δ=(-2t)2-4×2×(t2-1)=8-4t2>0,
即t2<2,此时有y1+y2=t,y1y2=t2-12,
所以k1k2=y1x1-2·y2-1x2=y1y2-y1x1x2-2x2,
所以x1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]=4[(y1+y2)2-(y1+y2)(y1+y2)+y1y2-(y1+y2)+y2]=4(y1y2-y1),所以k1·k2=14为定值.
2.(2021江苏盐城滨海中学一模,21)在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0),且与直线x=-1相切.设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)过点F的两条直线l1,l2与曲线Γ相交于A,B,C,D四点,且M,N分别为AB,CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1,k2,若k1+k2=-1,求证:直线MN恒过定点.
(1)解设Q(x,y),依题意可得|x+1|=(-1)2+y2,化简得y2=4x.
(2)证明设l1,l2的方程为y=k1(x-1),y=k2(x-1).
联立y=k1(x-1),y2=4x,得k12x2-(2k12+4)x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12,则Mk12+2k12,2k1,
同理Nk22+2k22,2k2,由k1+k2=-1,所以kMN=2k1-2k2k12+2k12-k22+2k22=k1k2k1+k2=-k1k2=-k1(-1-k1)=k1(1+k1),
所以直线MN的方程为y-2k1=k1(1+k1)x-k12+2k12,化简整理得y+2=k1(1+k1)(x-1),所以直线MN恒过定点(1,-2).
3.(2021北京平谷一模,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,并且经过点P(0,3).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点P的直线与x轴交于N点,与椭圆的另一个交点为B,点B关于x轴的对称点为B',直线PB'交x轴于M,求证:|OM|·|ON|为定值.
(1)解由已知ca=12,3b2=1,a2=b2+c2,解得b2=3,a2=4,
所以椭圆C:x24+y23=1.
(2)证明证法1 由已知直线PB的斜率存在,以下给出证明:
由题意,设直线PB的方程为y=kx+3(k≠0),P(0,3),B(x1,y1),则B'(x1,-y1).
由3x2+4y2=12,y=kx+3,得(3+4k2)x2+83kx=0,x1=-83k3+4k2,y1=-83k23+4k2+3,
所以B-83k3+4k2,-83k23+4k2+3,即B-83k3+4k2,-43k2+333+4k2,B'-83k3+4k2,43k2-333+4k2,
直线PB'的方程为y-43k2-333+4k2=34kx--83k3+4k2,
令y=0,得x=(-43k2-33)4k3(3+4k2),
所以M(-43k2-33)4k3(3+4k2),0,
令y=0,由y=kx+3得x=-3k,所以N-3k,0,
所以|OM|·|ON|=(-43k2-33)4k3(3+4k2)·-3k=4.
证法2 设B(x0,y0),B'(x0,-y0),则x024+y023=1,则直线PB的方程为y-3=3-y0-x0(x-0),
令y=0,x=3x03-y0,所以N3x03-y0,0.
同理M3x03+y0,0,
所以|OM|·|ON|=3x03+y0·3x03-y0=3x023-y02,
因为x024+y023=1,所以3x02+4y02=12,所以|OM|·|ON|=3x023-y02=12-4y023-y02=4.
4.(2019全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.
解:(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
5.(2021安徽池州4月模拟,文20)已知平面直角坐标系内动点P到点M(-1,0)的距离比它到直线x=2的距离少1.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知A,B两点在曲线C上,满足OA·OB=-4,直线AB是否经过定点?若经过定点,求M(-1,0)到直线AB距离的最大值;否则,请说明理由.
解:(1)由题意知,点P到点M(-1,0)的距离与它到直线x=1的距离相等,
故点P的轨迹是以M(-1,0)为焦点,以x=1为准线的抛物线,则p=2,
所以抛物线的方程为y2=-4x.
(2)由于A,B两点在曲线C上,则直线AB不平行于x轴,
设AB:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).
由x=my+n,y2=-4x,消去x,整理,得y2+4my+4n=0,Δ=16m2-16n>0,
即m2-n>0,y1+y2=-4m,y1y2=4n.
所以x1x2=-y124-y224=n2,
而OA·OB=x1x2+y1y2=n2+4n,所以n2+4n=-4,得n=-2.
因此直线AB:x=my-2,故直线AB经过定点N(-2,0),
点M(-1,0)到直线AB距离的最大值为|MN|=1.
6.(2021山西太原二模,文21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是点A,B,直线l:x=23与椭圆C相交于D,E两个不同的点,直线DA与直线DB的斜率之积为-14,△ABD的面积为423.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P是直线l:x=23的一个动点(不在x轴上),直线AP与椭圆C的另一个交点为Q,过P作BQ的垂线,垂足为M,在x轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值,若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设D23,y0,由题意得kDA·kDB=y023+a·y023-a=-14,12×2a×|y0|=423,49a2+y02b2=1,
解得a2=4,b2=1,∴椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)假设存在这样的点N,设直线PM与x轴相交于点T(x0,0),由题意得TP⊥BQ,由(1)得B(2,0),设P23,t,Q(x1,y1),由题意可设直线AP的方程为x=my-2(m≠0),
由x=my-2,x24+y2=1得(m2+4)y2-4my=0,Δ>0显然成立,
∴y1=4mm2+4或y1=0(舍去),x1=2m2-8m2+4,
∵23=mt-2,∴t=83m,
∵TP⊥BQ,∴TP·BQ=23-x0(x1-2)+ty1=0,
∴x0=23+ty1x1-2=23+83m·4mm2+4·m2+4-16=0,
∴直线PM过定点T(0,0).
∴存在定点N(1,0),使得|MN|=1.