吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期期末联合考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期期末联合考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的虚部为( )
A.1B.C.3D.i
2．某纺织厂4月份生产了三种类型的纱线，分别为大卷纱线､中卷纱线和小卷纱线，其中大卷纱线有2000卷，中卷纱线有8000卷，小卷纱线有20000卷.为检查该纺织厂4月份生产的这三种类型纱线的质量，按比例用分层随机抽样的方法从中抽检240卷，则被抽检的小卷纱线有( )
A.120卷B.150卷C.160卷D.200卷
3．有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在A处测得灯塔P在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达B处，测得灯塔P在该船的东偏北方向上，则( )
A.海里B.海里C.50海里D.海里
4．小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则( )
A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72
B.小唐这7天每天运动时长的极差是42
C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75
D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92
5．若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，O是该正五角星的中心，则( )
A.B.C.12D.18
7．如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8．如图，在平面四边形中，，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为( )
A.1B.C.D.
二、多项选择题
9．若复数，则( )
A.B.
C.为实数D.
10．在正三棱锥中，，则下列结论正确的是( )
A.若，则二面角是
B.若二面角是，则正三棱锥的体积是
C.荅，则正三棱锥内切球的半径是
D.若，则正三棱锥外接球的表面积为
11．欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线上，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设O，H，G分别是的外心､垂心和重心，则( )
A.B.
C.D.
三、双空题
12．已知复数，，，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，D，若，则实数________；若，则实数________.
四、填空题
13．某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为________.
14．在棱长为4的正方体中，E，F分别为线段，上的动点，点O为侧面的中心，则的周长的最小值为________.
五、解答题
15．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，M为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点B到平面的距离.
16．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的最大值.
17．近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.
（1）求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.
18．对任意两个非零向量，，定义：
（1）若向量，，求的值；
（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；
（3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，，，，，M在线段上（不含端点），底面.
（1）证明：平面平面.
（2）设，，请写出三棱锥的体积V关于x的函数表达式，并求出V的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以的虚部为1.
故选：A.
2．答案：C
解析：依题意，被抽检的小卷纱线有（卷）.
故选：C.
3．答案：A
解析：由题可知，，，海里，在中，由正弦定理可得，
则海里.
故选：A.
4．答案：D
解析：，A错误；
B选项，小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误；
C选项，将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为45，58，60，70，80，92，100，
则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，C错误；
D选项，因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确.
故选：D.
5．答案：B
解析：设该圆台的高为h，则该圆台的体积.
因为该圆台的体积不小于，所以，解得.
故选：B.
6．答案：A
解析：如图，交于点F，则F是中点且，
由题意可得.
故选：A.
7．答案：D
解析：连接，因为在直三棱柱中，E，F分别是棱，的中点，
故，，即四边形为平行四边形，
所以，则即为异面直线与所成角或其补角；
直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为2，
连接，，则，，而平面，故平面，
平面，故，
D是棱的中点，故，则，
而，又，
故在中，，
由于异面直线所成角的范围为大于，小于等于，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：D.
8．答案：B
解析：法一：设，则，，
在中，，
因为，所以.
四边形的面积为
，
当，即时，
四边形的面积取得最大值，最大值为.
法二：四边形的面积.
故选：B.
9．答案：BC
解析：由，得，A错误.
，B正确.
因为，所以为实数，C正确.
，D错误.
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：如图，取的中点M，连接，，则是二面角的平面角.
作平面，垂足为H，点H在上，且.
对于A，由，得，则，从而，故A正确.
对于B，二面角是，即，得，
则3，从而三棱锥的体积，故B正确.
由，得.对于C，设三棱锥内切球的半径为r，则，所以，故C错误.
设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，且在上，连接，
则，即，
解得，所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：对于A，连接并延长，交于点D，则D是的中点，，
于是，当时，A，O，D不共线，即，A错误；
对于B，由欧拉线定理得，有，，则，B正确；
对于C，H是的垂心，即，则，
于是，即，C正确；
对于D，由欧拉线定理知，则，即，D正确.
故选：BCD.
12．答案：；0
解析：依题意得，，，，则，.
若，则，解得；
若，则，解得.
故答案为：，0.
13．答案：20
解析：依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为，
方差为.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图①，设侧面的中心为M，根据正方体的结构特征可得，
则周长的最小值即的最小值.
将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，
将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，
过点O作于点S，则，其中，
如图②，则，
故的周长的最小值为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，因为，，故四边形为平行四边形，
设与交于点O，则O为的中点，连接.
因为M为的中点，所以为的中位线，则，
因为平面，平面，所以平面.
（2）延长交于点N，连接，，取的中点P，连接，
则，而，故四边形为平行四边形，
故.
因为四边形为菱形，故，故，
故为等边三角形，所以且.
因为平面，平面
所以，而，，平面，
所以平面，因为平面，
则点M到平面的距离为.
.
因为，，所以.
设点B到平面的距离为h，则.
由，得，解得.
故点B到平面的距离为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以.
因为，所以，
所以，解得或.
因为，所以，则.
（2）因为，所以，即，则.
因为，，所以.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
则的面积，故面积的最大值为.
17．答案：（1），中位数为74，平均数为72.5
（2）方案一受到奖励的商家更多，理由见解析
解析：（1）由题意可知，解得.
设中位数为n，则，解得，所以中位数为74，
平均数为
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为，所以方案一受到奖励的商家更多.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为，，所以，
所以，
故的值为.
（2）因为向量、是单位向量，所以，，
由，
可得，
解得，
由，可得，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
（3）设向量与的夹角为，由题意可知，则，
因为，所以，.
因为，所以，.
因为是整数，所以，
所以，，
而，即，所以，
因为，
，所以，即，
故的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）见解析
解析：（1）因为底面，底面，所以.
又因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）过点P作，交于N，连接，.
由，得，因为，，，，所以，则，所以，
则，，
.
因为底面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，
所以.
中由余弦定理得，所以，
则，，
所以.
因为，所以，，
所以当时，V取得最大值，最大值为.