【期末检测】人教版高一下学期期末数学试题11（原卷版+解析版）

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【期末检测】人教版高一下学期期末数学试题11（解析版）
一､选择题
1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
写出与终边相同角的集合，取k值得答案.
【详解】与角终边相同的角的集合为，
取，可得.
∴与角终边相同的是.
故选：D
【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.
2. 圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式计算即可.
【详解】圆柱的母线长为，底面半径为，
则圆柱的侧面积为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式得答案.
【详解】依题意.
故选：B
【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.
4. 设，且，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】因为，且，
则或.
故选：A
【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
5. 设，均为单位向量，且，则（ ）
A. 3B. C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.
【详解】，均为单位向量，且，
则.
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.
6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：在区间上，，没有单调性，故排除A.
在区间上，，单调递减，故排除B.
在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；
根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除D.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.
7. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】由题意，可得，，
设向量，的夹角为，则，
又因为，所以．
故选：A.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8. 设，，且，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数以及余弦函数在上的单调性求解即可.
【详解】因，，且，
而在上有增有减；故与大小关系不确定，
在上单调递减；若，则成立；
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.
9. 将函数的图象向右平移()个单位，得到函数的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知，，根据函数图象的平移变化法则可知，于是推出，即或，，再结合，解之即可得的值.
【详解】由图可知，，
因为的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以，
所以，
所以或，，
解得或，，
因，所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.
10. 棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设棱锥的体积为V，则，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解.
【详解】设棱锥的体积为V，则V为定值，
所以，即y是关于x的一次函数，且单调递减，
故选：A
【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.
二､填空题
11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知结合弧长公式即可直接求解.
【详解】由弧长公式可得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.
12. 在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，由此能求出结果.
【详解】∵在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于x轴对称，
∴，
故答案为：
【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.
13. 向量，满足，.若，则实数______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.
【详解】解：∵，∴，
即，解得.
故答案为：1.
【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.
14. 已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.
【详解】解：正方体的八个顶点在同一个球面上，
若正方体的棱长是2，
设外接球的半径为r，
则，解得，
故球直径为.
球的表面积为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
15. 已知函数给出下列三个结论：
①是偶函数；
②有且仅有3个零点；
③的值域是.
其中，正确结论的序号是______.
【答案】②③
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.
【详解】函数，
①由于，所以是非奇非偶函数，所以①不正确；
②，可得，，，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；
③函数，的值域是，正确；
正确结论的序号是：②③.
故答案为：②③.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.
16. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值.
【详解】解：若对任意的实数x都成立，
可得的最小值为，
可得，，
即有，，
由，
可得的最小值为2，此时.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
三､解答题
17. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得，再由商的关系求得；
（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.
【详解】（1）∵，且，
∴，
则；
（2）∵，，
∴
.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.
18. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解.
【详解】（1）取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.
【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.
19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据求得的值，再由得到，根据两角和与差的公式可求得即可；
（2）由可求得的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由可求出a，c的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.
【详解】解：（1）因为，，所以.
由已知得.
所以.
（2）由（1）知，所以且.
由正弦定理得.又因为，所以，.
所以.
【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.
20. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）求在区间上的最大值；
（3）求的单调递减区间.
【答案】（1）；（2）1；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由分母不为零得到，即求解.
（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用余弦函数的性质求解.
（3）由（2）知，利用余弦函数的性质，令 求解.
【详解】（1）因，即，
解得，
所以的定义域是
（2）因为，
，
又，
所以，
，
所以区间上的最大值是1；
（3）令 ，
解得 ，
所以的单调递减区间.是
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
21. 如图，在正方体中，E为的中点.
（1）在图中作出平面和底面的交线，并说明理由；
（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，可证平面且平面，得到平面平面；
（2）设，连接，证明，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.设正方体的棱长为2.求出棱台的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.
【详解】（1）在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，
∵，平面，则平面，
∵，平面，∴平面.
∴平面平面.
（2）设，连接，
由E为的中点，得G为的中点，
∴，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.
设正方体的棱长为2.
.
∴另一部分几何体的体积为.
∴两部分的体积比为
【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.
22. 如图，在扇形中，，半径，P为弧上一点.
（1）若，求的值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先通过倒角运算得出，，再在中，由余弦定理可求得，然后根据平面向量数量积的定义，代入数据进行运算即可得解；
（2）以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，其中，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有的式子表示出，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.
【详解】（1）当时，如图所示，
∵，∴，，∴，
在中，由余弦定理，得
，
∴，
又，
∴
（2）以O为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，
∵，，∴，
设，其中，
则
.
∵，∴，，
∴当，即时，取得最小值为.
【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．