【期末测试卷】人教版（新教材）高一数学下学期期末备考测试卷01

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【期末测试卷】人教版（新教材）
高一数学下学期期末备考测试卷01
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，虚部为，
故选C．
2．已知向量，，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，
因为向量与向量共线，所以，解得，
故选A．
3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
A．10B．09C．71D．20
【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，
所以选出来的第4个个体的编号为09，故选B．
4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有个三个位数，
若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可组成，
所以这个三位数是3的倍数的概率为，故选C．
5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ）
A．s＝s1B．ss1D．不能确定
【答案】C
【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，
即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，
则，
，
若比较与的大小，只需比较与的大小即可，
而，，
所以，
从而，故选C．
6．在中，，，，M为BC中点，O为的内心，
且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由题知，，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径，四边形AEOF为矩形，
则，
又，
则，
则，则，
故选A．
7．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当开关合上时，电路畅通即表示至畅通且至畅通，
至畅通的概率，
至畅通的概率，
所以电路畅通的概率，故选A．
8．如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连接．那么在翻折过程中：
①总有成立；
②存在某个位置，使；
③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①③
C．②③D．以上选项都不对
【答案】B
【解析】①∵，∴，，
又，∴平面，∴，故①正确；
②假设存在某个位置，使得，
连接，则，，
故平面，∴，
又由（1）知，，∴平面，∴，
∴，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误；
③存在点，满足，取的中点，连接，
易得，，
设底面三角形的边长为，则，，，
∵平面，故平面，∴，故是直角三角形，
∴，故③正确，
故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知100个数据的75百分位数是，则下列说法不正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于
B．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第74个数据的平均数
【答案】ABD
【解析】因为为整数，
所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位，
所以A、B不正确；C正确；D不正确，
故选ABD．
10．设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，
C正确；
取，，显然满足，但，D错误，
故选BC．
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，由，可得，利用正弦定理可得，正确；
对于B，在锐角中，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于C，在中，由，
利用正弦定理可得，，
，或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误；
对于D，由于，，
由余弦定理可得，可得，解得，
可得，故正确，
故选ABD．
12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，
则下列说法正确的有（ ）
A．若且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若，则点P在△OBC外
D．若，则点P在△OBC内
【答案】BC
【解析】因为，
若且λ>0，则，
故，即，
又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；
若且λ<0，同上可得，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；
若，，同上可得，
当时，，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，
C正确；
若，不妨令λ=0，，则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，
不在△OBC内，D错误，
故选BC．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是_______．
【答案】
【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得，，
又由函数在上为减函数，则，即，
当取1时，可取2，3，4，5，6；
当取2时，可取4，5，6；
当取3时，可取6，共9种，
又因为的取值共36种情况，
所以所求概率为，故答案为．
14．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为________．
【答案】1
【解析】复数满足为虚数单位），
设，，
则，
当且仅当时取等号，
故答案为1．
15．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为__________．
【答案】
【解析】剔除最高分和最低分后的，
，
则原始平均分，
原始，
原始方差，
即原始方差为88．
16．已知圆锥的底面积为，高为，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________ cm2．
【答案】，
【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，
由题意可得，可得，
由勾股定理可得，
所以圆锥的侧面积为，
作圆锥的轴截面如图所示：、分别与圆相切于两点，
设圆半径为，连接，则，
过点作，则，，
所以，
所以，即，解得，
所以圆锥的内切球半径为，
所以圆锥的内切球的表面积为，
故答案为，．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，，为虚数单位．
（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若，求的共轭复数．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，复数，，
则，
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围．
（2）由，
所以．
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；
（3）估计居民月均用水量的中位数．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为．
同理，在，，，，，的频率分别为，，，，，．
由，解得．
（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为．
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为．
（3）设中位数为，
因为前5组的频率之和为．
而前4组的频率之和为，
所以，
由，解得，
故可估计居民月均用水量的中位数为．
19．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，．
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
所以与相互独立，与相互互斥，
所以，
．
由题意可得，
即，解得或，
由于，所以，．
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2．
由题意得，，，
，．
设{甲乙二人共答对3道题}，则．
由于和相互独立，与相互互斥，
所以，
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为．
20．（12分）如图所示，在三棱柱中，侧棱AA1⊥底面ABC，，D为AC的中点，，．
（1）求证：平面BC1D；
（2）求AB1与BD所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，
∵AA1＝AB＝2，∴，，
在Rt△ABC中，D为AC的中点，则，
同理可得，
在△OBD中，
，
∴AB1与BD所成角的余弦值为．
21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
∴，∴，
△ABC为锐角三角形，于是．
（2）由正弦定理，可得，，
，
∴周长
，
又∵△ABC为锐角三角形，，
，∴，
∴，∴，
∴周长的取值范围为．
22．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面垂直底面，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点在棱上靠近点的三等分点处．
【解析】（1）证明：连接，
四边形为菱形，，
，分别为，的中点，即，
∴，
面为等边三角形，且为的中点，，
又面面，面，
面面，面，
又面，，
又，面，面，
又面，．
（2）解：设交于，交于，
则为的中点，为的中点，
在中，过点作交于点，则点即为所求．
理由如下：
，分别为，的中点，
，面，面，
面，同理面，
，､面，
面面，即面面，
面，面．
，，
故点在棱上靠近点的三等分点处．