广东省广州市第四十一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省广州市第四十一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了cm等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≤﹣2C．x＜﹣2D．x≥﹣2
3．（3分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，9
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．＝2C．+2＝D．3﹣＝3
5．（3分）下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB＝CD，AD＝BC
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则△ABC的面积为（ ）
A．5B．60C．45D．30
7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝10，E、F分别是AD、DC的中点，若EF＝7（ ）
A．20B．22C．29D．31
8．（3分）如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）
A．4cmB．5cmC．cmD．cm
9．（3分）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5B．6C．D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，EF⊥AB，垂足为F（ ）
A．4﹣2B．3﹣4C．1D．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）若菱形的两条对角线的长分别是10和8，则这个菱形的面积为 ．
13．（3分）若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长 ．
14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BC＝8，则CD＝ ．
15．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简a+＝ ．
16．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是 ．
三．解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（4分）计算：
（1）（）；
（2）．
18．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，AD上，且BE＝FD
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，CD＝15，AD＝9
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（6分）已知x＝2+，y＝2﹣．先化简再求代数式
21．（8分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B
（1）求AB，AC的长；
（2）求∠BAC的度数．
22．（8分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝OC
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，EB＝2，求AO的长．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：∠EBM＝∠FDN．
（2）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（3）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
24．（12分）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？
如图1，在坐标系中A（2，1），B（6，4），构造Rt△ACB，BC＝4﹣1＝3，
∴，
若A（x1，y1），B（x2，y2），则AC＝|x2﹣x1|BC＝|y2﹣y1|，
∴．
这就是两点间的距离公式，例如E（0，1），D（4，0），．
（1）根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值．
小明同学的思路是：如图2，可以看成是点A（12，3）与点C（x，0），可以看成是点B（0，2）与点C（x，0）
请完成如下填空：
作点B关于x轴的对称点B’（ ， ），当A、C、B’三点共线时AC+BC最小，连接AB’，
由两点间的距离公式得AB’＝ ，
∴的最小值是 ．
（2）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：
①最小值．
②的最大值．
25．（12分）▱ABCD在中，AB＝2，E是BC边上一动点
（1）如图1，若AB＝BC，BD交AE于点M
（2）在（1）的条件下，如图2，以AE为边，在AE右侧作正方形AEFG，当点E在BC上运动时（不与B、C重合），∠ECF的大小是否发生变化，请说明理由．如果不变，请求出∠ECF的度数．
（3）如图3，点P在正方形ABCD的边CB延长线上，且BP＝BA＝2，且EQ＝EA，R为线段PQ的中点，求出点R运动路径长度，并简要说明理由．
2023-2024学年广东省广州四十一中集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、被开方数含分母；
B、被开方数不含分母，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式；
故选：B．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≤﹣2C．x＜﹣2D．x≥﹣2
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣5．
故选：D．
3．（3分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，9
【解答】解：A、12+32≠38，故A不符合题意；
B、42+42≠62，故B不符合题意；
C、32+32＝54，故C符合题意；
D、72+22≠95，故D不符合题意．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．＝2C．+2＝D．3﹣＝3
【解答】解：A、+，无法计算；
B、＝2；
C、+2，故此选项错误；
D、8﹣＝7；
故选：B．
5．（3分）下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB＝CD，AD＝BC
【解答】解：A、∵∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D、∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，则△ABC的面积为（ ）
A．5B．60C．45D．30
【解答】解：∵AB＝13，AC＝12，
∴BC＝＝6．
∴△ABC的面积＝×12×3＝30，
故选：D．
7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝10，E、F分别是AD、DC的中点，若EF＝7（ ）
A．20B．22C．29D．31
【解答】解：已知平行四边形ABCD，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝10，
又E、F分别是AD，
∴AE＝AD＝3CD＝5，
∴由三角形中位线定理得：
AC＝2EF＝2×7＝14，
∴四边形EACF的周长为：EA+AC+CF+EF
＝3+14+4+7＝29，
故选：C．
8．（3分）如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）
A．4cmB．5cmC．cmD．cm
【解答】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为：
∵底面圆周长为8cm，
∴AD＝BC＝4cm，
又∵AB＝5cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm，
故选：B．
9．（3分）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5B．6C．D．
【解答】解：设一条直角边长为x cm，则另一条直角边为（7﹣x）cm，
根据题意得：x（7﹣x）＝6，
解得：x2＝3，x2＝3，
斜边的长为＝5（cm）；
方法二：设两直角边为x和y，则xy＝6．
∴xy＝12，
∴（x+y）4＝49，
∴x2+y2+3xy＝49．
∴x2+y2＝49﹣4xy＝25．
∴斜边长＝＝4（cm）；
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，EF⊥AB，垂足为F（ ）
A．4﹣2B．3﹣4C．1D．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝2，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE＝﹣8）＝4﹣2．
故选：A．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ 6 ．
【解答】解：＝|﹣7|＝6．
故答案为：6．
12．（3分）若菱形的两条对角线的长分别是10和8，则这个菱形的面积为 40 ．
【解答】解：如图：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积＝AC•ODAC•OB，
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积＝AC•（OD+OB）＝×8×10＝40．
故答案为：40．
13．（3分）若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长 5或 ．
【解答】解：∵|m﹣3|+＝5，
∴m﹣3＝0且n﹣3＝0，
则m＝3，n＝3，
当4是直角边时，斜边长＝，
当2是斜边时，另一条直角边＝＝，
综上，第三条边长为5或，
故答案为：5或．
14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BC＝8，则CD＝ 4.8 ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
×AC×BC＝×AB×CD，即×10×CD，
解得CD＝4.4．
故答案为：4.8．
15．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简a+＝ 2 ．
【解答】解：原式＝a+|a﹣2|＝a+2﹣a＝8，
故答案为：2．
16．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是 ．
【解答】解：如图所示：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PE+PC的最小值，
∵BE＝2，CE＝1，
∴BC＝AB＝8+1＝3，
在Rt△ABE中，
∵AE＝＝＝，
∴PE与PC的和的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（4分）计算：
（1）（）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝（16﹣9
＝7÷
＝7；
（2）原式＝22﹣（）6
＝9﹣5
＝3．
18．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，AD上，且BE＝FD
【解答】证明：在▱ABCD中，AD＝BC且AD∥BC
∵BE＝FD，∴AF＝CE
∴四边形AECF是平行四边形
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，CD＝15，AD＝9
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵AB＝13，BC＝5，
∴AC＝，
（2）∵AC＝12，CD＝15，
∴CD2＝AC2+AD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝．
20．（6分）已知x＝2+，y＝2﹣．先化简再求代数式
【解答】解：原式＝
＝
＝x+y．
当x＝5+，y＝2﹣时）+（2﹣．
21．（8分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B
（1）求AB，AC的长；
（2）求∠BAC的度数．
【解答】解：（1）由图可知，AB＝＝＝；
（2）连接BC，则BC2＝14+22＝6，
由（1）知，AB＝，
∴AB2＝10，AC3＝5，
∵5+2＝10，
∴AC2+BC2＝AB5
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．
22．（8分）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝OC
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，EB＝2，求AO的长．
【解答】（1）证明：∵AO＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠ACB
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2＝AB5﹣AO2＝BE2﹣OE4，
设OE＝x，
∵AE＝4，AB＝6，AO＝4+x，
∴65﹣（4+x）2＝（8）2﹣x5，
解得：x＝1，
∴AO＝AE+OE＝4+7＝5．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：∠EBM＝∠FDN．
（2）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（3）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
由折叠的性质得：：∠EBM＝∠EBA＝∠ABD∠CDB，
∴∠EBM＝∠FDN；
（2）证明：由（1）得∠ABE＝∠CDF，
又∵∠A＝∠C，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴DE＝BF，DE∥BF．
∴四边形BFDE为平行四边形．
（3）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴EF⊥BD，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴M，N两点重合．
由折叠的性质可知：AB＝BM＝2，
∴BD＝2BM＝4，
在Rt△BDC中，CD＝AB＝2，
BC＝＝＝6．
24．（12分）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？
如图1，在坐标系中A（2，1），B（6，4），构造Rt△ACB，BC＝4﹣1＝3，
∴，
若A（x1，y1），B（x2，y2），则AC＝|x2﹣x1|BC＝|y2﹣y1|，
∴．
这就是两点间的距离公式，例如E（0，1），D（4，0），．
（1）根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值．
小明同学的思路是：如图2，可以看成是点A（12，3）与点C（x，0），可以看成是点B（0，2）与点C（x，0）
请完成如下填空：
作点B关于x轴的对称点B’（ 0 ， ﹣2 ），当A、C、B’三点共线时AC+BC最小，连接AB’，
由两点间的距离公式得AB’＝ ，
∴的最小值是 13 ．
（2）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：
①最小值．
②的最大值．
【解答】解：（1）点B（0，2）关于x轴的对称点B'坐标为（2，
∵A（12，3），
∴AB'＝＝＝13，
故答案为：0，﹣2，；
（2）①如图：
可以看成是点D（8，5）与点F（x，可以看成是点E（0，4）的距离，
连接DE交x轴于F，此时D，E，DF+EF最小，即，最小值为DE的长，
根据两点间距离公式DE＝＝＝10，
∴DF+EF最小值为10，即最小值为10；
②如图：
可以看成是点G（8，5）与点M（x，可以看成是点H（4，0）的距离，
连接GH并延长交x轴于M'，当M与M'重合时，最大值为GH的长度，
根据两点间距离公式GH＝＝＝＝4，
∴|GM﹣HM|的最大值为4，即的最大值为4．
25．（12分）▱ABCD在中，AB＝2，E是BC边上一动点
（1）如图1，若AB＝BC，BD交AE于点M
（2）在（1）的条件下，如图2，以AE为边，在AE右侧作正方形AEFG，当点E在BC上运动时（不与B、C重合），∠ECF的大小是否发生变化，请说明理由．如果不变，请求出∠ECF的度数．
（3）如图3，点P在正方形ABCD的边CB延长线上，且BP＝BA＝2，且EQ＝EA，R为线段PQ的中点，求出点R运动路径长度，并简要说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠ADM＝∠CDM，DA＝DC，
∵DM＝DM，
∴△ADM≌△CDM（SAS），
∴AM＝CM；
（2）解：ECF的大小不会变化，
∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，
∴∠H＝∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠FEH，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB＝EH，BE＝FH，
∴EH＝BC，
∴BE＝CH，
∴CH＝FH，
∴∠FCH＝∠CFH＝45°，
∴∠ECF＝135°；
（3）解：如图中，连接AC，作EJ⊥BC交AC于J，
∵AE⊥EQ，JE⊥EC，
∴∠AEQ＝∠JEC＝90°，
∴AEJ＝∠CEQ，
∵∠JEC＝90°，∠JCE＝45°，
∴∠EJC＝∠JCE＝45°，
∴EJ＝EC，
∴EA＝EO，
∴△AEJ≌△QEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECQ＝135°，AJ＝CQ，
∵PR＝RQ，PB＝BC，
∴BR∥CQ，BR＝，
∴∠PBR＝∠PCQ＝135°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABR＝45°，
∴点R的运动轨迹是线段BR，
∵点E从B运动到C时，AJ＝，
∴CQ＝8，
∴BR＝CQ＝，
∴当点E从点B运动到点C时，点R运动的路径长为．