甘肃省安阳市环县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份甘肃省安阳市环县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知是第四象限角，且，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章～第三章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，其中为虚数单位，则z在复平面内对应的点的坐标为
A．B．C．D．
2.已知向量，，若，则
A．B．2C．D．
3.如果一架飞机向西飞行400km，再向东飞行500km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么
A．800kmB．700kmC．600kmD．500km
4.
A．B．C．D．
5.在△ABC中，三边长分为3，7，8，则最大角和最小角之和是
A．B．C．D．
6.如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是
A．，B．，C．，D．，
7.已知是第四象限角，且，则
A．B．C．D．
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则此三角形
A．无解B．有一解C．有两解D．解的个数不确定
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知锐角三角形三边长分别为2，7，x，则实数x的可能取值是
A．B．C．7D．
10.如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列结论正确的是
A．B．
C．D．在上的投影向量为
11.已知，则
A．若，则
B．若，则
C．若，，则的最大值为
D．，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数m的值为 .
13.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则 .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设a是实数，复数，（是虚数单位）.
（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围；
（2）求的最小值.
16.（本小题满分15分）
已知向量，，若，，与的夹角为60°
（1）求；
（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？
17.（本小题满分15分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且.
（1）求角C；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
18.（本小题满分17分）
已知.
（1）求的值；
（2）已知，，，求的值.
19.（本小题满分17分）
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，P为△ABC内部（包含边界）的动点，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
环县四中2023～2024学年度第二学期期中考试·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.A
因为，
所以z在复平面内对应的点的坐标为.故选A．
2.B
因为，所以，.故选B．
3.A
如果一架飞机向西飞行400km，再向东飞行500km，
记飞机飞行的路程为，
，所以.故选A．
4.C
，故选C．
5.B
设A为△ABC的最小角，C为△ABC的最大角，
由余弦定理，可得，
因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是.故选B．
6.C
根据平面基底的定义知，向量，为不共线非零向量，即不存在实数，使得，
对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底；
对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；
对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得，解得，所以和不可以作为基底；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底.故选C．
7.B
∵，∴，
∵是第四象限角，∴，∴，故选B．
8.C
由正弦定理，得，解得.
因为，所以．
又因为，所以或，
故此三角形有两解.故选C．
9.BC
，解得.故选BC.
10.ABC
因为ABCDEF为正六边形，即每个内角都为120°.
对于A，，故A正确；
对于B，△BDF为等边三角形，设正六边形边长为a，DF中点为M，连接AM，则，，，所以，即，故B正确；
对于C，易知，，故C正确；
对于D，根据投影向量的定义，AC在AB上的投影向量为，故D不正确.故选ABC．
11.AC
A：与，可得，故A正确；
B：，，故B错误；
C：，当且仅当，时取“＝”，故C正确；
D：若，则，在上无解，故D错误.故选AC．
12.1
，则.
13.
由，又A，B，D三点共线，得，解得.
14.
，故答案为.
15.解：
（1），
则，解得；
（2），则，
∵，
∴，
当时，的最小值为.
16.解：
（1），
；
（2）当向量与向量互相垂直时，
，
即，.
即，解得.
17.解：
（1）由可知，
由正弦定理，得，
即.
所以，
又，
所以；
（2）由（1）知.
所以，，
又，
所以，
所以，即.
所以△ABC的周长为.
18.解：
（1）因为，
所以，
所以，
又因为，
所以；
（2）因为，所以，
因为，
所以，
又因为，，所以，
所以，
由得，
所以.
19.解：
（1）∵
，
∴；
（2）以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则，，，
设，，则，
，，
，
∵，
∴，
∴.
∴.
综上，的取值范围是.