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高考物理一轮复习第十一章交变电流传感器第讲交变电流的产生及描述学案新人教版
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这是一份高考物理一轮复习第十一章交变电流传感器第讲交变电流的产生及描述学案新人教版，共12页。
第1讲 交变电流的产生及描述
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识点1 交变电流
1．定义：
大小和方向都随时间做周期性变化的电流叫作交变电流。
2．图像：如图所示，
图甲、乙、丙、丁所示电流都属于交变电流，图戊所示电流属于恒定电流。
知识点2 正弦式交变电流的产生和变化规律
1．产生：如图所示，在匀强磁场里，线圈绕垂直磁场方向的轴匀速转动时，可产生正弦式交变电流。
注意：交变电流的种类有很多，但同时具备这三个条件才会产生正弦式交变电流：匀强磁场；线圈转轴和磁场垂直；匀速转动。
2．中性面及其特点。
(1)定义：与磁场方向垂直的平面。
(2)特点：
①线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零。
②线圈转动一周，2次经过中性面，线圈每经过中性面一次，电流的方向就改变一次。
3．图像：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图像为正弦曲线，如图所示。
4．变化规律(线圈从中性面位置开始计时)
(1)电动势e随时间变化的规律：e＝E msin ωt。
(2)电压u随时间变化的规律：u＝U msin ωt。
(3)电流i随时间变化的规律：i＝I msin ωt。
其中ω是线圈转动的角速度，E m＝nBSω。
知识点3 描述交变电流的物理量
1．周期和频率
(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化，即线圈转一周所需要的时间，单位是秒(s)，公式T＝eq \f(2π,ω)。
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz)。
(3)周期和频率的关系：T＝eq \f(1,f)或f＝eq \f(1,T)。
2．交变电流的“四值”
(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数。
(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值。
(3)有效值：让交变电流与恒定电流分别通过相同的电阻，如果它们在交变电流的一个周期内产生的热量相等，则这个恒定电流I、恒定电压U就是这个交变电流的有效值。
(4)正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系
I＝eq \f(I m,\r(2))，U＝eq \f(U m,\r(2))，E＝eq \f(E m,\r(2))。
(5)平均值：交变电流图像中波形与横轴所围面积跟时间的比值，其数值可以用eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)计算。
思考：如图为交流发电机线圈的平面图，设磁感应强度为B，线圈边长为l，匝数为n，以O1O2为起点、角速度ω匀速转动，经过时间t转至实线位置，试推导此时线圈中感应电动势的表达式。
[答案] AB边产生的感应电动势e1＝n·B·l·υsin θ，θ为线圈转过的角度，因为v＝ω·r＝eq \f(1,2)ω·l，θ＝ω·t，可得e1＝eq \f(1,2)nBl2ω·sin ωt；同理CD边产生的感应电动势e2＝eq \f(1,2)nBl2ω·sin ωt。则线圈中感应电动势e＝nBl2ω·sin ωt。
双基自测
一、堵点疏通
1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流。( × )
2．线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大。( × )
3．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时，线圈中的感应电动势为零，电流方向发生改变。( √ )
4．交流电气设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。( √ )
5．交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值。( × )
6．交变电流的峰值总是有效值的eq \r(2)倍。( × )
二、对点激活
1．图中闭合线圈都在匀强磁场中绕虚线所示的固定转轴匀速转动，不能产生正弦式交变电流的是( C )
[解析] 只要闭合线圈绕垂直磁感线的轴匀速转动，就能产生正弦式交流电，与轴的位置、线圈的形状无关。除C项的轴与磁感线平行外，其他都能产生正弦式交流电。 所以C项正确，A、B、D三项错误。
2．(多选)关于中性面，下列说法正确的是( AC )
A．线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零
B．线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大
C．线圈每经过一次中性面，感应电流的方向就改变一次
D．线圈每转动一周经过中性面一次，所以线圈每转动一周，感应电流的方向就改变一次
[解析] 中性面是线圈平面与磁感线垂直的位置，线圈经过该位置时，穿过线圈的磁通量最大，各边都不切割磁感线，不产生感应电动势，所以磁通量的变化率为零，A项正确，B项错误；线圈每经过一次中性面，感应电流的方向改变一次，但线圈每转一周时要经过中性面两次，所以每转一周，感应电流方向就改变两次，C项正确，D项错误。
3．(2023·陕西商洛期末)一交流电压的瞬时值表达式为u＝200eq \r(2)sin 50πt(V)，下列判断正确的是( D )
A．该交流电压的频率为50 Hz
B．t＝0.01 s时，该交流电压的瞬时值为50eq \r(2) V
C．直接用电压表测该交流电压，其示数为200eq \r(2) V
D．若将该交流电压加在阻值为2 kΩ的电阻两端，则电阻的发热功率为20 W
[解析] 本题考查交变电流的相关物理量的计算问题。由交流电压的瞬时值表达式可知ω＝50 π rad/s，由ω＝2 πf可得该交流电压的频率为f＝25 Hz，选项A错误；在t＝0.01 s时，该交流电压的瞬时值为200eq \r(2) V，选项B错误；直接用电压表测量交流电压，测量的结果为有效值，示数为U＝200 V，选项C错误；若将该交流电压加在阻值为2 kΩ的电阻两端，由P＝eq \f(U2,R)可知发热功率为20 W，选项D正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 交变电流的产生及变化规律
1．正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
2．两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，eq \f(ΔΦ,Δt)＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变。
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，eq \f(ΔΦ,Δt)最大，e、i都最大。
例1 如图所示，图(a)→图(b)→图(c)→图(d)过程是交流发电机发电的示意图，线圈的ab边连在金属滑环K上，cd边连在金属滑环L上，用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接。下列说法正确的是( C )
A．图(a)中，线圈平面与磁感线垂直，磁通量变化率最大
B．从图(b)开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系是i＝Imsin ωt
C．当线圈转到图(c)位置时，感应电流为0，且感应电流方向改变
D．当线圈转到图(d)位置时，感应电动势最小，ab边感应电流方向为b→a
[解析] 图(a)中，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化率为0，选项A错误；图(b)不是中性面，从线圈在中性面位置开始计时的表达式才是i＝Imsin ωt，选项B错误；当线圈转到图(c)位置时，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电流最小，为零，电流方向将改变，选项C正确；当线圈转到图(d)位置时，磁通量最小，磁通量的变化率最大，故感应电动势最大，ab边感应电流方向为b→a，选项D错误。
考点二 交变电流有效值的求解
1．正弦交变电流的有效值的计算
利用I＝eq \f(I m,\r(2))，U＝eq \f(U m,\r(2))，E＝eq \f(E m,\r(2))计算。
2．非正弦交变电流的有效值的计算
根据电流的热效应计算，注意“三同”：即“相同电阻”，“相同时间”内产生“相同热量”，利用公式Q＝I2Rt或Q＝eq \f(U2,R)t列式求解，“相同时间”一般取一个周期。
3．几种常用的电流及其有效值
例2 如图所示电路，电阻R1与电阻R2的阻值都为R，理想二极管D(正向电阻可看作为0，反向电阻可看作无穷大)与R1并联，在A、B间加一正弦交流电压u＝20 sin(100 πt)V，则加在R2上的电压有效值为( B )
A．5eq \r(2) V B．5eq \r(5) V
C．10eq \r(2) V D．5eq \r(10) V
[解析] 当电源在正半轴时二极管导通，R1被短路，R2电压为电源电压eq \f(20,\r(2))V＝10eq \r(2) V；电源在负半轴时二极管截止，R1和R2串联，R2两端的电压为5eq \r(2) V，根据有效值的定义：
eq \f(U2,R)T＝eq \f(10\r(2)2,R)·eq \f(T,2)＋eq \f(5\r(2)2,R)·eq \f(T,2)
解得：U＝5eq \r(5)V，故B项正确，A、C、D三项错误。
规律总结 计算交变电流有效值的方法
(1)分段计算电热，再求和得出一个周期内产生的总热量。
(2)利用两个公式Q＝I2Rt和Q＝eq \f(U2,R)t可分别求得电流有效值和电压有效值。
(3)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的eq \f(1,4)(但必须是从零至最大值或从最大值至零)和eq \f(1,2)周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝eq \f(I m,\r(2))、U＝eq \f(U m,\r(2))求解。
〔变式训练1〕如图所示，将一根均匀导线围成圆心角为60°的扇形导线框OMN，O为圆心，半径为R，线框总电阻为r，将线框O点置于坐标系的原点，在第二、四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。从t＝0时刻开始，导线框绕O点以角速度ω匀速转动，则导线框中感应电流的有效值为( C )
A．eq \f(BωR2,2r) B．eq \f(\r(2)BωR2,4r)
C．eq \f(\r(6)BωR2,6r) D．eq \f(\r(15)BωR2,6r)
[解析] 本题考查旋转线框切割磁感线产生交变电流有效值的计算。线框转动一周过程中，两次进入磁场、两次离开磁场，所以产生感应电流的时间为t＝eq \f(4×60°,360°)T＝eq \f(2,3)T；转动切割磁感线产生的感应电动势E′＝eq \f(1,2)BR2ω，设感应电动势的有效值为E，根据有效值的计算公式可得eq \f(E2,r)T＝eq \f(E′2,r)t，解得E＝eq \f(\r(6)BωR2,6)，则导线框中感应电流的有效值为I＝eq \f(E,r)＝eq \f(\r(6)BωR2,6r)，故C正确，A、B、D错误。
考点三 交变电流“四值”的比较
交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
例3 如图所示，线圈平面与磁感线平行，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈的总电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路中的电阻R＝4 Ω，不计摩擦，求：
(1)由图示位置计时感应电动势的瞬时表达式；
(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势；
(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势；
(4)交流电压表的示数；
(5)线圈转动一周产生的总热量；
(6)从图示位置开始的eq \f(1,6)周期内通过R的电荷量；
(7)外力使线圈转动一周所做的功．
[解析] (1)感应电动势的最大值为
Em＝nBSω＝100×0.5×0.12×2π V≈3.14 V
感应电动势瞬时表达式为e＝Emcsωt＝3.14 cs2πt(V)。
(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势为
e＝Emcs60°＝3. 14×0.5 V＝1. 57 V。
(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势为
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(BSsin60°,\f(1,6)T)＝100×eq \f(0.5×0.1×0.1×\f(\r(3),2),\f(1,6)×\f(2π,2π))V≈2.6 V。
(4)交流电压表的示数为外电路两端电压的有效值，即
U＝eq \f(E,R＋r)R＝eq \f(3.14,\r(2))×eq \f(4,4＋1)V≈1.78 V。
(5)线圈转动一周产生的总热量为
Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Em,\r(2))))2,R＋r)T≈0.99 J。
(6)在eq \f(1,6)周期内通过电阻R的电荷量为
q＝I×eq \f(T,6)＝eq \f(E,R＋r)×eq \f(T,6)＝eq \f(2.6,4＋1)×eq \f(1,6)C≈0.087 C
(7)外力使线圈转动一周所做的功等于线圈转动一周产生的总热量，为0.99 J。
[答案] (1)e＝3.14 cs2πt (V)
(2)1. 57 V (3)2.6 V
(4)1. 78 V (5)0. 99 J (6)0. 087 C (7)0. 99 J
名师点拨 书写交变电流瞬时值表达式的基本思路
(1)求出角速度，ω＝eq \f(2π,T)＝2πf。
(2)根据公式Em＝nBSω求出相应峰值。
(3)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。
①开始计时线圈与中性面重合，则i－t函数式为i＝Imsinωt；
②开始计时线圈与中性面垂直，则i－t函数式为i＝Imcsωt；
③开始计时线圈与中性面夹角为θ，则i－t函数式为i＝Imsin(ωt＋θ)。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
交变电流规律的“等效”应用
有些题目中，产生交变电流的方式与发电机不同，但产生的交变电流相似，可以等效应用交变电流规律求解相应的物理量。
例4 (2023·安徽模拟)如图所示，两根金属直导轨OM和PN平行放置且OM与x轴重合，两导轨间距为d，两导轨间垂直纸面向里的匀强磁场沿y轴方向的宽度按y＝d|sin eq \f(π,2d)x|的规律分布，两金属圆环固定在同一绝缘平面内，外圆环与两导轨接触良好，现有一根与两导轨接触良好的导体棒从OP开始始终垂直导轨沿x轴正方向以速度v做匀速运动，规定内圆环a端电势高于b端时，a、b间的电压uab为正，下列uab－x图像可能正确的是( D )
[解析] 本题考查交变电流的产生和交变电流图像问题。导体棒向右匀速运动切割磁感线产生感应电动势，e＝Byv＝Bdv|sineq \f(π,2d)x|，外圆环内的电流为正弦交变电流；在通过第一个磁场区域的前一半时间内，通过外圆环的电流为顺时针增加的，由楞次定律可判断内环内a端电势高于b端，因电流的变化率逐渐减小，故Uab逐渐减小，同理可知，在通过第一个磁场区域的后一半时间内，通过大圆环的电流为顺时针减小的，则由楞次定律可知，a端电势低于b端，Uab为负值，因电流的变化率逐渐变大，故内环的电动势变大，D正确。
〔变式训练2〕(多选)面积都为S且电阻相同的正方形线圈和圆形线圈，分别放在如图所示的磁场中，图甲中是磁感应强度为B0的匀强磁场，线圈在磁场中以周期T绕OO′轴做匀速转动，图乙中磁场变化规律为B＝B0cseq \f(2πt,T)，从图示位置开始计时，则 ( ACD )
A．两线圈的磁通量变化规律相同
B．两线圈中感应电动势达到最大值的时刻不同
C．经相同的时间t(t>T)，两线圈产生的热量相同
D．从图示位置时刻起，经eq \f(T,4)时间，流过两线圈横截面的电荷量相同
[解析] 图甲中通过线圈的磁通量变化规律为Φ甲＝B0Scseq \f(2π,T)t，图乙中通过线圈的磁通量变化规律为Φ乙＝B0Scseq \f(2π,T)t。由于两线圈的磁通量变化规律相同，则两线圈中感应电动势的变化规律相同，达到最大值的时刻也相同，有效值E也相同。又因两线圈电阻相同，所以Q＝eq \f(E2,R)t也相同，经过eq \f(T,4)时间，流过两线圈横截面的电荷量q＝eq \f(ΔΦ,R)也相同，故A、C、D三项正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2023·天津卷，8)(多选)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图所示。下列说法正确的是( BC )
A．eq \f(T,2)时刻线框平面与中性面垂直
B．线框的感应电动势有效值为eq \f(\r(2)πΦm,T)
C．线框转一周外力所做的功为eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)
D．从t＝0到t＝eq \f(T,4)过程中线框的平均感应电动势为eq \f(πΦm,T)
[解析] A错：中性面的特点是线框平面与磁场垂直，穿过的磁通量最大，磁通量变化率最小，则eq \f(T,2)时刻线框在中性面上。B对：电动势最大值为Em＝Φmω＝Φmeq \f(2π,T)，对正弦交流电，E有＝eq \f(Em,\r(2))＝eq \f(\r(2)πΦm,T)。C对：由功能关系知，线框转一周外力做的功等于产生的电能，W＝E电＝eq \f(E\\al(2,有),R)·T＝eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)。D错：由法拉第电磁感应定律知，eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(Φm,\f(T,4))＝eq \f(4Φm,T)。
2．(2023·北京朝阳质检)大型发电机几乎都是旋转磁极式发电机，如图为其原理简图。竖直平面内闭合线圈abcd固定不动，磁铁绕图中的虚线旋转，线圈中就会产生感应电流。若条形磁铁以10πrad/s的角速度匀速转动，且图示时刻N极正在向里转。现以图示时刻为计时起点，则下列推断正确的是( B )
A．该发电机产生的交流电频率是10 Hz
B．t＝0时线圈中的电流方向为abcda
C．t＝0.5 s时线圈中的电流方向发生变化
D．t ＝5 s时线圈中的电流最小
[解析] 该发电机产生的交流电频率是f＝eq \f(ω,2π)＝5 Hz，选项A错误；由右手定则可知，t＝0时线圈中的电流方向为abcda，选项B正确；t＝0.5 s时线圈转过的角度为5π，此位置线圈中的电流最大，电流方向没有发生变化，选项C错误；t＝5 s时线圈转过的角度为50π，线圈恰在题图位置，此位置线圈中的电流最大，选项D错误。故选B。
课程标准
命题热点
1．通过实验，认识交变电流。能用公式和图像描述正弦交变电流。
2．通过实验，探究并了解变压器原、副线圈电压与匝数的关系。了解从变电站到用户的输电过程，知道远距离输电时用高电压的道理。
3．了解发电机和电动机工作过程中的能量转化。认识电磁学在人类生活和社会发展中的作用。
4．知道非电学量转化成电学量的技术意义。
5．通过实验，了解常见传感器的工作原理。会利用传感器设计并制作简单的自动控制装置。
6．列举传感器在生产生活中的应用。
(1)交变电流的图像、表达式及其“四值”的应用。
(2)理想变压器的基本原理及动态分析。
(3)远距离输电问题。
规律物理量
函数表达式
图像
磁通量
Φ＝Φmcs ωt＝BScs ωt
电动势
e＝E msin ωt＝nBSωsin ωt
电压
u＝U msin ωt＝eq \f(RE m,R＋r)sin ωt
电流
i＝I msin ωt＝eq \f(E m,R＋r)sin ωt
名称
电流(电压)图像
有效值
正弦式交
变电流
I＝eq \f(I m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
正弦式半波
脉冲电流
I＝eq \f(I m,2)
U＝eq \f(U m,2)
正弦式单向
脉冲电流
I＝eq \f(I m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
矩形脉
冲电流
I＝eq \r(\f(t1,T))I1
U＝eq \r(\f(t1,T))U1
非对称性
交变电流
I＝eq \r(\f(1,2)I\\al(2,1)＋I\\al(2,2))
U＝eq \r(\f(1,2)U\\al(2,1)＋U\\al(2,2))
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝E msin ωt
i＝I msin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
E m＝nBSω
I m＝eq \f(E m,R＋r)
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝eq \f(E m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
I＝eq \f(I m,\r(2))
(只适用于正弦式交变电流)
(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是指有效值
(3)保险丝的熔断电流为有效值
(4)交流电压表和电流表的读数为有效值
平均值
某段时间内感应电动势或电流的平均值大小
eq \x\t(E)＝BLeq \x\t(v)
eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)
计算通过电路截面的电荷量
第1讲 交变电流的产生及描述
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识点1 交变电流
1．定义：
大小和方向都随时间做周期性变化的电流叫作交变电流。
2．图像：如图所示，
图甲、乙、丙、丁所示电流都属于交变电流，图戊所示电流属于恒定电流。
知识点2 正弦式交变电流的产生和变化规律
1．产生：如图所示，在匀强磁场里，线圈绕垂直磁场方向的轴匀速转动时，可产生正弦式交变电流。
注意：交变电流的种类有很多，但同时具备这三个条件才会产生正弦式交变电流：匀强磁场；线圈转轴和磁场垂直；匀速转动。
2．中性面及其特点。
(1)定义：与磁场方向垂直的平面。
(2)特点：
①线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零。
②线圈转动一周，2次经过中性面，线圈每经过中性面一次，电流的方向就改变一次。
3．图像：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图像为正弦曲线，如图所示。
4．变化规律(线圈从中性面位置开始计时)
(1)电动势e随时间变化的规律：e＝E msin ωt。
(2)电压u随时间变化的规律：u＝U msin ωt。
(3)电流i随时间变化的规律：i＝I msin ωt。
其中ω是线圈转动的角速度，E m＝nBSω。
知识点3 描述交变电流的物理量
1．周期和频率
(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化，即线圈转一周所需要的时间，单位是秒(s)，公式T＝eq \f(2π,ω)。
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz)。
(3)周期和频率的关系：T＝eq \f(1,f)或f＝eq \f(1,T)。
2．交变电流的“四值”
(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数。
(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值。
(3)有效值：让交变电流与恒定电流分别通过相同的电阻，如果它们在交变电流的一个周期内产生的热量相等，则这个恒定电流I、恒定电压U就是这个交变电流的有效值。
(4)正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系
I＝eq \f(I m,\r(2))，U＝eq \f(U m,\r(2))，E＝eq \f(E m,\r(2))。
(5)平均值：交变电流图像中波形与横轴所围面积跟时间的比值，其数值可以用eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)计算。
思考：如图为交流发电机线圈的平面图，设磁感应强度为B，线圈边长为l，匝数为n，以O1O2为起点、角速度ω匀速转动，经过时间t转至实线位置，试推导此时线圈中感应电动势的表达式。
[答案] AB边产生的感应电动势e1＝n·B·l·υsin θ，θ为线圈转过的角度，因为v＝ω·r＝eq \f(1,2)ω·l，θ＝ω·t，可得e1＝eq \f(1,2)nBl2ω·sin ωt；同理CD边产生的感应电动势e2＝eq \f(1,2)nBl2ω·sin ωt。则线圈中感应电动势e＝nBl2ω·sin ωt。
双基自测
一、堵点疏通
1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流。( × )
2．线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大。( × )
3．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时，线圈中的感应电动势为零，电流方向发生改变。( √ )
4．交流电气设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。( √ )
5．交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值。( × )
6．交变电流的峰值总是有效值的eq \r(2)倍。( × )
二、对点激活
1．图中闭合线圈都在匀强磁场中绕虚线所示的固定转轴匀速转动，不能产生正弦式交变电流的是( C )
[解析] 只要闭合线圈绕垂直磁感线的轴匀速转动，就能产生正弦式交流电，与轴的位置、线圈的形状无关。除C项的轴与磁感线平行外，其他都能产生正弦式交流电。 所以C项正确，A、B、D三项错误。
2．(多选)关于中性面，下列说法正确的是( AC )
A．线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零
B．线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大
C．线圈每经过一次中性面，感应电流的方向就改变一次
D．线圈每转动一周经过中性面一次，所以线圈每转动一周，感应电流的方向就改变一次
[解析] 中性面是线圈平面与磁感线垂直的位置，线圈经过该位置时，穿过线圈的磁通量最大，各边都不切割磁感线，不产生感应电动势，所以磁通量的变化率为零，A项正确，B项错误；线圈每经过一次中性面，感应电流的方向改变一次，但线圈每转一周时要经过中性面两次，所以每转一周，感应电流方向就改变两次，C项正确，D项错误。
3．(2023·陕西商洛期末)一交流电压的瞬时值表达式为u＝200eq \r(2)sin 50πt(V)，下列判断正确的是( D )
A．该交流电压的频率为50 Hz
B．t＝0.01 s时，该交流电压的瞬时值为50eq \r(2) V
C．直接用电压表测该交流电压，其示数为200eq \r(2) V
D．若将该交流电压加在阻值为2 kΩ的电阻两端，则电阻的发热功率为20 W
[解析] 本题考查交变电流的相关物理量的计算问题。由交流电压的瞬时值表达式可知ω＝50 π rad/s，由ω＝2 πf可得该交流电压的频率为f＝25 Hz，选项A错误；在t＝0.01 s时，该交流电压的瞬时值为200eq \r(2) V，选项B错误；直接用电压表测量交流电压，测量的结果为有效值，示数为U＝200 V，选项C错误；若将该交流电压加在阻值为2 kΩ的电阻两端，由P＝eq \f(U2,R)可知发热功率为20 W，选项D正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 交变电流的产生及变化规律
1．正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
2．两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，eq \f(ΔΦ,Δt)＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变。
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，eq \f(ΔΦ,Δt)最大，e、i都最大。
例1 如图所示，图(a)→图(b)→图(c)→图(d)过程是交流发电机发电的示意图，线圈的ab边连在金属滑环K上，cd边连在金属滑环L上，用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接。下列说法正确的是( C )
A．图(a)中，线圈平面与磁感线垂直，磁通量变化率最大
B．从图(b)开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系是i＝Imsin ωt
C．当线圈转到图(c)位置时，感应电流为0，且感应电流方向改变
D．当线圈转到图(d)位置时，感应电动势最小，ab边感应电流方向为b→a
[解析] 图(a)中，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化率为0，选项A错误；图(b)不是中性面，从线圈在中性面位置开始计时的表达式才是i＝Imsin ωt，选项B错误；当线圈转到图(c)位置时，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电流最小，为零，电流方向将改变，选项C正确；当线圈转到图(d)位置时，磁通量最小，磁通量的变化率最大，故感应电动势最大，ab边感应电流方向为b→a，选项D错误。
考点二 交变电流有效值的求解
1．正弦交变电流的有效值的计算
利用I＝eq \f(I m,\r(2))，U＝eq \f(U m,\r(2))，E＝eq \f(E m,\r(2))计算。
2．非正弦交变电流的有效值的计算
根据电流的热效应计算，注意“三同”：即“相同电阻”，“相同时间”内产生“相同热量”，利用公式Q＝I2Rt或Q＝eq \f(U2,R)t列式求解，“相同时间”一般取一个周期。
3．几种常用的电流及其有效值
例2 如图所示电路，电阻R1与电阻R2的阻值都为R，理想二极管D(正向电阻可看作为0，反向电阻可看作无穷大)与R1并联，在A、B间加一正弦交流电压u＝20 sin(100 πt)V，则加在R2上的电压有效值为( B )
A．5eq \r(2) V B．5eq \r(5) V
C．10eq \r(2) V D．5eq \r(10) V
[解析] 当电源在正半轴时二极管导通，R1被短路，R2电压为电源电压eq \f(20,\r(2))V＝10eq \r(2) V；电源在负半轴时二极管截止，R1和R2串联，R2两端的电压为5eq \r(2) V，根据有效值的定义：
eq \f(U2,R)T＝eq \f(10\r(2)2,R)·eq \f(T,2)＋eq \f(5\r(2)2,R)·eq \f(T,2)
解得：U＝5eq \r(5)V，故B项正确，A、C、D三项错误。
规律总结 计算交变电流有效值的方法
(1)分段计算电热，再求和得出一个周期内产生的总热量。
(2)利用两个公式Q＝I2Rt和Q＝eq \f(U2,R)t可分别求得电流有效值和电压有效值。
(3)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的eq \f(1,4)(但必须是从零至最大值或从最大值至零)和eq \f(1,2)周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝eq \f(I m,\r(2))、U＝eq \f(U m,\r(2))求解。
〔变式训练1〕如图所示，将一根均匀导线围成圆心角为60°的扇形导线框OMN，O为圆心，半径为R，线框总电阻为r，将线框O点置于坐标系的原点，在第二、四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。从t＝0时刻开始，导线框绕O点以角速度ω匀速转动，则导线框中感应电流的有效值为( C )
A．eq \f(BωR2,2r) B．eq \f(\r(2)BωR2,4r)
C．eq \f(\r(6)BωR2,6r) D．eq \f(\r(15)BωR2,6r)
[解析] 本题考查旋转线框切割磁感线产生交变电流有效值的计算。线框转动一周过程中，两次进入磁场、两次离开磁场，所以产生感应电流的时间为t＝eq \f(4×60°,360°)T＝eq \f(2,3)T；转动切割磁感线产生的感应电动势E′＝eq \f(1,2)BR2ω，设感应电动势的有效值为E，根据有效值的计算公式可得eq \f(E2,r)T＝eq \f(E′2,r)t，解得E＝eq \f(\r(6)BωR2,6)，则导线框中感应电流的有效值为I＝eq \f(E,r)＝eq \f(\r(6)BωR2,6r)，故C正确，A、B、D错误。
考点三 交变电流“四值”的比较
交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
例3 如图所示，线圈平面与磁感线平行，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈的总电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路中的电阻R＝4 Ω，不计摩擦，求：
(1)由图示位置计时感应电动势的瞬时表达式；
(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势；
(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势；
(4)交流电压表的示数；
(5)线圈转动一周产生的总热量；
(6)从图示位置开始的eq \f(1,6)周期内通过R的电荷量；
(7)外力使线圈转动一周所做的功．
[解析] (1)感应电动势的最大值为
Em＝nBSω＝100×0.5×0.12×2π V≈3.14 V
感应电动势瞬时表达式为e＝Emcsωt＝3.14 cs2πt(V)。
(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势为
e＝Emcs60°＝3. 14×0.5 V＝1. 57 V。
(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势为
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(BSsin60°,\f(1,6)T)＝100×eq \f(0.5×0.1×0.1×\f(\r(3),2),\f(1,6)×\f(2π,2π))V≈2.6 V。
(4)交流电压表的示数为外电路两端电压的有效值，即
U＝eq \f(E,R＋r)R＝eq \f(3.14,\r(2))×eq \f(4,4＋1)V≈1.78 V。
(5)线圈转动一周产生的总热量为
Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Em,\r(2))))2,R＋r)T≈0.99 J。
(6)在eq \f(1,6)周期内通过电阻R的电荷量为
q＝I×eq \f(T,6)＝eq \f(E,R＋r)×eq \f(T,6)＝eq \f(2.6,4＋1)×eq \f(1,6)C≈0.087 C
(7)外力使线圈转动一周所做的功等于线圈转动一周产生的总热量，为0.99 J。
[答案] (1)e＝3.14 cs2πt (V)
(2)1. 57 V (3)2.6 V
(4)1. 78 V (5)0. 99 J (6)0. 087 C (7)0. 99 J
名师点拨 书写交变电流瞬时值表达式的基本思路
(1)求出角速度，ω＝eq \f(2π,T)＝2πf。
(2)根据公式Em＝nBSω求出相应峰值。
(3)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。
①开始计时线圈与中性面重合，则i－t函数式为i＝Imsinωt；
②开始计时线圈与中性面垂直，则i－t函数式为i＝Imcsωt；
③开始计时线圈与中性面夹角为θ，则i－t函数式为i＝Imsin(ωt＋θ)。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
交变电流规律的“等效”应用
有些题目中，产生交变电流的方式与发电机不同，但产生的交变电流相似，可以等效应用交变电流规律求解相应的物理量。
例4 (2023·安徽模拟)如图所示，两根金属直导轨OM和PN平行放置且OM与x轴重合，两导轨间距为d，两导轨间垂直纸面向里的匀强磁场沿y轴方向的宽度按y＝d|sin eq \f(π,2d)x|的规律分布，两金属圆环固定在同一绝缘平面内，外圆环与两导轨接触良好，现有一根与两导轨接触良好的导体棒从OP开始始终垂直导轨沿x轴正方向以速度v做匀速运动，规定内圆环a端电势高于b端时，a、b间的电压uab为正，下列uab－x图像可能正确的是( D )
[解析] 本题考查交变电流的产生和交变电流图像问题。导体棒向右匀速运动切割磁感线产生感应电动势，e＝Byv＝Bdv|sineq \f(π,2d)x|，外圆环内的电流为正弦交变电流；在通过第一个磁场区域的前一半时间内，通过外圆环的电流为顺时针增加的，由楞次定律可判断内环内a端电势高于b端，因电流的变化率逐渐减小，故Uab逐渐减小，同理可知，在通过第一个磁场区域的后一半时间内，通过大圆环的电流为顺时针减小的，则由楞次定律可知，a端电势低于b端，Uab为负值，因电流的变化率逐渐变大，故内环的电动势变大，D正确。
〔变式训练2〕(多选)面积都为S且电阻相同的正方形线圈和圆形线圈，分别放在如图所示的磁场中，图甲中是磁感应强度为B0的匀强磁场，线圈在磁场中以周期T绕OO′轴做匀速转动，图乙中磁场变化规律为B＝B0cseq \f(2πt,T)，从图示位置开始计时，则 ( ACD )
A．两线圈的磁通量变化规律相同
B．两线圈中感应电动势达到最大值的时刻不同
C．经相同的时间t(t>T)，两线圈产生的热量相同
D．从图示位置时刻起，经eq \f(T,4)时间，流过两线圈横截面的电荷量相同
[解析] 图甲中通过线圈的磁通量变化规律为Φ甲＝B0Scseq \f(2π,T)t，图乙中通过线圈的磁通量变化规律为Φ乙＝B0Scseq \f(2π,T)t。由于两线圈的磁通量变化规律相同，则两线圈中感应电动势的变化规律相同，达到最大值的时刻也相同，有效值E也相同。又因两线圈电阻相同，所以Q＝eq \f(E2,R)t也相同，经过eq \f(T,4)时间，流过两线圈横截面的电荷量q＝eq \f(ΔΦ,R)也相同，故A、C、D三项正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2023·天津卷，8)(多选)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图所示。下列说法正确的是( BC )
A．eq \f(T,2)时刻线框平面与中性面垂直
B．线框的感应电动势有效值为eq \f(\r(2)πΦm,T)
C．线框转一周外力所做的功为eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)
D．从t＝0到t＝eq \f(T,4)过程中线框的平均感应电动势为eq \f(πΦm,T)
[解析] A错：中性面的特点是线框平面与磁场垂直，穿过的磁通量最大，磁通量变化率最小，则eq \f(T,2)时刻线框在中性面上。B对：电动势最大值为Em＝Φmω＝Φmeq \f(2π,T)，对正弦交流电，E有＝eq \f(Em,\r(2))＝eq \f(\r(2)πΦm,T)。C对：由功能关系知，线框转一周外力做的功等于产生的电能，W＝E电＝eq \f(E\\al(2,有),R)·T＝eq \f(2π2Φ\\al(2,m),RT)。D错：由法拉第电磁感应定律知，eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(Φm,\f(T,4))＝eq \f(4Φm,T)。
2．(2023·北京朝阳质检)大型发电机几乎都是旋转磁极式发电机，如图为其原理简图。竖直平面内闭合线圈abcd固定不动，磁铁绕图中的虚线旋转，线圈中就会产生感应电流。若条形磁铁以10πrad/s的角速度匀速转动，且图示时刻N极正在向里转。现以图示时刻为计时起点，则下列推断正确的是( B )
A．该发电机产生的交流电频率是10 Hz
B．t＝0时线圈中的电流方向为abcda
C．t＝0.5 s时线圈中的电流方向发生变化
D．t ＝5 s时线圈中的电流最小
[解析] 该发电机产生的交流电频率是f＝eq \f(ω,2π)＝5 Hz，选项A错误；由右手定则可知，t＝0时线圈中的电流方向为abcda，选项B正确；t＝0.5 s时线圈转过的角度为5π，此位置线圈中的电流最大，电流方向没有发生变化，选项C错误；t＝5 s时线圈转过的角度为50π，线圈恰在题图位置，此位置线圈中的电流最大，选项D错误。故选B。
课程标准
命题热点
1．通过实验，认识交变电流。能用公式和图像描述正弦交变电流。
2．通过实验，探究并了解变压器原、副线圈电压与匝数的关系。了解从变电站到用户的输电过程，知道远距离输电时用高电压的道理。
3．了解发电机和电动机工作过程中的能量转化。认识电磁学在人类生活和社会发展中的作用。
4．知道非电学量转化成电学量的技术意义。
5．通过实验，了解常见传感器的工作原理。会利用传感器设计并制作简单的自动控制装置。
6．列举传感器在生产生活中的应用。
(1)交变电流的图像、表达式及其“四值”的应用。
(2)理想变压器的基本原理及动态分析。
(3)远距离输电问题。
规律物理量
函数表达式
图像
磁通量
Φ＝Φmcs ωt＝BScs ωt
电动势
e＝E msin ωt＝nBSωsin ωt
电压
u＝U msin ωt＝eq \f(RE m,R＋r)sin ωt
电流
i＝I msin ωt＝eq \f(E m,R＋r)sin ωt
名称
电流(电压)图像
有效值
正弦式交
变电流
I＝eq \f(I m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
正弦式半波
脉冲电流
I＝eq \f(I m,2)
U＝eq \f(U m,2)
正弦式单向
脉冲电流
I＝eq \f(I m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
矩形脉
冲电流
I＝eq \r(\f(t1,T))I1
U＝eq \r(\f(t1,T))U1
非对称性
交变电流
I＝eq \r(\f(1,2)I\\al(2,1)＋I\\al(2,2))
U＝eq \r(\f(1,2)U\\al(2,1)＋U\\al(2,2))
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝E msin ωt
i＝I msin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
E m＝nBSω
I m＝eq \f(E m,R＋r)
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝eq \f(E m,\r(2))
U＝eq \f(U m,\r(2))
I＝eq \f(I m,\r(2))
(只适用于正弦式交变电流)
(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是指有效值
(3)保险丝的熔断电流为有效值
(4)交流电压表和电流表的读数为有效值
平均值
某段时间内感应电动势或电流的平均值大小
eq \x\t(E)＝BLeq \x\t(v)
eq \x\t(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R＋r)
计算通过电路截面的电荷量
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