专题08 几何体截面与展开最短距离归类（原卷+解析）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc168302377" 一、长方体型截面形状 PAGEREF _Tc168302377 \h 1
\l "_Tc168302378" 二、棱锥截面及形状 PAGEREF _Tc168302378 \h 2
\l "_Tc168302379" 三、棱台形状性质 PAGEREF _Tc168302379 \h 3
\l "_Tc168302380" 四、圆台形状性质 PAGEREF _Tc168302380 \h 4
\l "_Tc168302381" 五、截面：棱柱的截面计算 PAGEREF _Tc168302381 \h 5
\l "_Tc168302382" 六、截面：棱锥的截面计算 PAGEREF _Tc168302382 \h 7
\l "_Tc168302383" 七、截面：棱台的截面计算 PAGEREF _Tc168302383 \h 9
\l "_Tc168302384" 八、截面：圆锥的截面计算 PAGEREF _Tc168302384 \h 9
\l "_Tc168302385" 九、截面最值与范围：棱柱体截面最值 PAGEREF _Tc168302385 \h 10
\l "_Tc168302386" 十、截面最值与范围：棱锥体体截面最值 PAGEREF _Tc168302386 \h 11
\l "_Tc168302387" 十一、截面综合 PAGEREF _Tc168302387 \h 13
\l "_Tc168302388" 十二、柱体与锥体最短距离 PAGEREF _Tc168302388 \h 13
\l "_Tc168302389" 十三、圆锥圆台最短距离 PAGEREF _Tc168302389 \h 14
\l "_Tc168302390" 十四、特殊展开型最短距离 PAGEREF _Tc168302390 \h 15
一、长方体型截面形状
1．（23-24高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（ ）
A．三角形B．正方形C．菱形D．正六边形

2．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面所在四边形的面积为定值；
④棱始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．
其中正确命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5

3．（23-24高一·湖北·阶段练习）一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水面在容器中形成的所有可能的形状是（ ）
①三角形 ②非正方形的菱形 ③五边形 ④正方形 ⑤正六边形
A．②④B．③④⑤C．②④⑤D．①②③④⑤

4．（2023·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

5．（22-23高一下·江苏盐城·期中）如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（ ）

A．三角形B．矩形C．菱形D．梯形

二、棱锥截面及形状
1．（22-23高一下·江苏苏州·期中）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三角形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（22-23高一下·陕西渭南·期末）从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥

3．（22-23高一·广西桂林·期中）下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C．棱锥的底面一定是三角形D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

4．（22-23高一·全国·课后作业）在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个

5．（22-23高一·浙江温州·期末）一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形

三、棱台形状性质
1．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，三棱台截去三棱锥后，剩余部分是（ ）

A．三棱锥B．四棱锥
C．三棱台D．四棱柱

2．（22-23高一下·贵州·期末）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱台C．四棱柱D．四棱台

3．（22-23高一·江苏·课后作业）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点

4．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1

5．（22-23高一下·山西晋城·期末）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A．B．
C．D．

四、圆台形状性质
1．（22-23高一·江西南昌·期末）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（ ）
A．矩形B．圆形C．梯形D．椭圆

2．（23-24高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论正确的是（ ）
A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体
B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线

3．（22-23高一下·湖北孝感·阶段练习）如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（ ）
A．B．
C．D．

4．（22-23高一·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面一点，有无数条母线

5．（22-23高二上·江西宜春·期末）下列结论正确的选项为（ ）
A．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C．直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
D．圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

五、截面：棱柱的截面计算
1．（23-24高一·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为B．的长度为
C．的长度为D．的长度为

2．（22-23高一下·北京大兴·期末）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

3．（22-23高一·北京海淀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论错误的是（ ）
A．平面CMN截正方体ABCD—所得的截面图形是五边形
B．直线到平面CMN的距离是；
C．存在点P，使得
D．△面积的最小值是．

4．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方体中，，，分别为，，上靠近，，的三等分点，，，，，，分别是，，的三等分点，，，为分别是，，的中点，则平面过（ ）
A．，，B．，，C．，，D．以上都不正确

5．（22-23高一下·广西玉林·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（ ）

A．B．C．D．4

六、截面：棱锥的截面计算
1．（20-23·广东茂名·期末）如图所示，正三棱锥，底面边长为2，点Р到平面ABC距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（ ）
A．B．
C．D．

2．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．

3．（20-23高一·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系（ ）
A．B．
C．D．

4．（22-23·江西景德镇·二模）已知正四面体的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为
A．27B．27C．54D．54

5．（22-23高一·全国·课后作业）如图，棱锥的高，截面平行于底面，与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）
A．12B．16C．4D．8
七、截面：棱台的截面计算
1．（22-23高一·全国·单元测试）如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一·广东江门·阶段练习）在三棱台中，截面与底面平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为（ ）
A．5B．8C．9D．10

3．（22-23高一·山西大同·阶段练习）棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么
A．B．
C．D．
4．（22-23高一下·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．B．8C．D．6

5．（2023·河南·二模）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，则与该三棱柱共底面的外接圆锥的轴截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
八、截面：圆锥的截面计算
1．（22-23高一·全国·课后作业）过圆锥顶点的截面三角形面积的取值范围是，该圆锥的母线长为，则该圆锥的顶角的最大值是（ ）
A．B．C．D．

2．（2021·湖北武汉·一模）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1

3．（22-23高一·湖南长沙·阶段练习）圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，则的取值范围是
A．B．
C．D．
4．（22-23高一·北京朝阳·期末）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（ ）
A．B．C．D．

5．（22-23高一下·黑龙江大庆·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），设的面积为则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．

九、截面最值与范围：棱柱体截面最值
1．（22-23·广东·二模）已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2．（2024·浙江温州·模拟预测）边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为（ ）
A．B．C．D．

3．（2023·湖南·期末）将水平放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（ ）
A．B．1C．D．

4．（2024·河南·模拟预测）在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．

5．（2023·山东济南·期末）如图，正四面体的棱与平面平行，且正四面体内的所有点在平面内的射影构成图形面积的最小值是，则该正四面体的棱长为（ ）
A．B．1C．D．2
十、截面最值与范围：棱锥体体截面最值
1．（22-23高一·广东深圳·阶段练习）正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

3．（22-23高一·全国·课后作业）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（ ）
A．B．
C．D．

3．（22-23·江西南昌·一模）如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A．B．C．D．

4．（22-23高二·全国·课后作业）一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为 .
5．（23-24·河北邯郸·二模）在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为 ．

十一、截面综合
1.（山西省长治市第二中学校2022-2023学年高一数学试题）如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A．B．C．D．

2.（吉林省白城市通榆县第一中学2022―2023学年高一期末联考数学试题）棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，、、分别为、、的中点，则平面截球所得圆的半径为（ ）
A．B．C．D．

3.（河北省邢台市南和区第一中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题）若球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A．B．C．D．

4.已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为（ ）
A．B．C．2D．

十二、柱体与锥体最短距离
1.（浙江省杭州第九中学2022-2023学年高一期末数学试题）棱长为2的正方体中，E为的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．

2.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．

3.如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cmB．cmC．9cmD．cm

4.在正三棱锥中，，M是棱PC上的任意一点，则的最小值是___________．

十三、圆锥圆台最短距离
1.如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．

2.如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．

3.（山西省汾阳中学2022-2023学年高一期末数学试题）一块扇形铁皮AOB，，，要剪下一扇环ABCD作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且在剩下的扇形COD内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的下底面，问OD应取多长？

4.（广东省深圳市南方科技大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题）已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为（ ）
A．8B．C．D．4

十四、特殊展开型最短距离
1.在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，在边长为2的正方体中，P是的中点，Q，R分别在，上，则周长的最小值为________．

3.如图，棱长为1的正方体中，为的中点，为对角线上的动点，为棱上的动点，则的最小值为______.

4..如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 _____．